Mostra la font per a Arrel quadrada de 2

{{Infotaula nombre
| factoritzacio    = No
| binari           = 1.0110101000001001111...<ref>{{OEIS|id=A004539}}</ref>
| hexadecimal      = 1.6A09E667F3BCC908B2F...
| fraccio_continua = <math>1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}}}</math>
}}
[[Fitxer:Dedekind cut- square root of two.png|miniatura|L'arrel quadrada de 2 (la línia dels nombres no està a escala)]]
L''''arrel quadrada de 2''' (o '''constant pitagòrica''')  anotada com <math>\sqrt 2</math> és definit com l'únic [[nombre algebraic]] positiu que, multiplicat per si mateix, dóna el nombre [[dos|2]], altrament dit, √2 × √2 = 2. És un nombre irracional, que té un valor aproximat de:
: <math>\sqrt{2} \approx 1{,}414213562373095048801688724209698078569\dots</math>.<ref>{{OEIS|id=A002193}}</ref>

El càlcul del valor aproximat de √2 ha estat un problema matemàtic durant segles. Aquesta recerca ha permès perfeccionar els algorismes de càlcul d'extracció d'arrels quadrades. En informàtica, han servit per optimitzar dels algoritmes en la reducció del temps de càlcul i el consum de memòria.<ref name="appro"> La majoria del programari matemàtic, en ordinadors o en màquines de càlcul, utilitzen les aproximacions preestablertes d'aquesta constant, almenys fins a un cert rang</ref>

La longitud d'√2 pot ser construïda geomètricament de diverses maneres: per exemple, com la diagonal d'un quadrat de costat la unitat, que és la [[hipotenusa]] d'un [[triangle rectangle]] isòsceles, val √2 segons el [[teorema de Pitàgores]].
[[Fitxer:Square root of 2 triangle.svg|miniatura|La [[hipotenusa]] d'un  [[triangle rectangle]] isòsceles de costat 1 val √2]]
[[Fitxer:Número raiz de dos.svg|miniatura|Representació numèrica d'√2]]
[[Fitxer:10,000 digits of square root of 2 - poster.svg|miniatura|Amb l'aproximació es pot conèixer un gran nombre de xifres decimals d'aquest número]]

L'arrel de dos, també és anomenada '''constant de Pitàgores'''<ref name="GOU01b"/> en honor al filòsof i matemàtic grec [[Pitàgores]] (582 aC - 496 aC), va ser estudiada des de fa molt temps pels 
babilònics, experts en [[Equació de segon grau|qüestions de segon grau]] i disposaven d'un algoritme d'aproximació precís. Des de l'[[Pitagòrics|escola de Pitàgores]], els grecs del [[segle V aC]] i del [[segle IV aC]] l'estudien per tal d'entendre millor la incommensurabilitat, concepte equivalent al d'irracionalitat que es coneix actualment. Van trobar fins a tres demostracions diferents de la irracionalitat del nombre, que van conduir a diversos avenços, com el desenvolupament del [[Reducció a l'absurd|raonament per l'absurd]], el [[mètode del descens infinit]] o l'antifèresi, un algoritme comparable a la [[fracció contínua]] actual. Per als grecs, ni les fraccions ni els nombres irracionals són nombres. Aquest pas es va donar pels matemàtics àrabs, en el que va ser l'inici a l'[[àlgebra]].

Aquest nombre intervé en diverses aplicacions de la vida quotidiana:
* Per les seves propietats geomètriques, és present en un gran nombre d'obres arquitectòniques. Un exemple d'elles és la [[Sala de les Cent Columnes|Sala Hipòstila]] del [[Park Güell]] de Barcelona, obra de l'arquitecte [[Antoni Gaudí]], on la raó entre la distància entre dues columnes no seguides entre la distància de dues columnes consecutives és igual a l'arrel de dos.     
* En astrofísica s'obté que la velocitat mínima que un cos necessita per poder escapar de l'atracció de la gravetat entre la velocitat d'un cos en una òrbita circular és igual a l'arrel de dos.    
* Els fulls de paper de [[Mida de paper#Estàndard internacional ISO 216|format internacional]] ([[ISO 216]]) tenen una [[proporcionalitat|proporció]] entre la llargària i l'amplada igual a l'√2.   
* En [[música]], la raó entre les freqüències de la [[quarta]] augmentada de l'[[temperament igual|escala temperada]] val √2.   
* En [[electricitat]], la [[Diferència de potencial|tensió]] màxima del [[corrent altern]] [[sistema monofàsic|monofàsic]] domèstic val √2 de la [[valor eficaç|tensió eficaç]] indicada (generalment 110 o 230 [[Volt|V]].
* En fotografia, la sèrie de valors d'[[Número f|obertura]] del diafragma són valors aproximats d'una [[progressió geomètrica]] de raó igual a √2.   

== Història ==
=== Període babilònic antic ===
[[Fitxer:Ybc7289-bw.jpg|miniatura|La tauleta babilònica d'argila YBC 7289 amb anotacions. A part de mostrar l'arrel quadrada de 2 en  [[Sistema sexagesimal|sexagesimal]] (1 24 51 10), la tauleta també dóna un exemple en què el costat del quadrat val 30 i la diagonal llavors  val 42 25 35. El dígit sexagesimal 30 també pot significar 1/2, en tal cas 42 25 35 és aproximadament 0,7071065]]
La cultura matemàtica [[babilònia|babilònica]] va ser, sobretot, algorítmica. Disposava d'un sistema de [[Numeració babilònica|numeració]] en [[notació posicional]].<ref>{{ref-publicació
  | cognom = Proust
  | nom = Christine
  | enllaçautor =     
  | article = Mathématiques en Mésopotamie
  | url = http://www.math.ens.fr/culturemath/histoire%20des%20maths/pdf/chrono_mesopotamie.pdf
  | consulta =       
  | publicació =  CultureMath, École normale supérieure (Paris)
  | lloc =    
  | exemplar =    
  | data = 2006     
  | pàgina =    
  | issn =     
}}</ref> Algunes tauletes, com la BM 13901, mostren una bona coneixença de les [[equació de segon grau|equacions de segon grau]], probablement tractades a partir de mètodes geomètrics simples. Per tal de disposar de mètodes de resolució, els babilonis sabien calcular aproximacions d'arrels quadrades. La tauleta YBC 7289, redactat en el primer terç del segon mil·lenni abans de Crist, dóna una aproximació de l'arrel de dos, interpretada com la raó entre la diagonal d'un quadrat i el costat, sota la forma següent:<ref name="RF">{{ref-publicació |cognom=Fowler |nom=David |enllaçautor= |cognom2=Robson |nom2=Eleanor |autor2= |enllaçautor2= |cognom3= |nom3= |autor3= |enllaçautor3= |cognom4= |nom4= |autor4= |enllaçautor4= |cognom5= |nom5= |autor5= |enllaçautor5= |coautors= |article=Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context |url=http://www.hps.cam.ac.uk/people/robson/fowler-square.pdf |format= |llengua= anglès |consulta= 5 abril 2015|publicació= |editorial= |lloc=Historia Mathematica |volum=25 |exemplar= |data= |mes= |any=1998 |pàgina= |pàgines=366-378 |issn= |doi= |citació= |ref= }}<!--http://math.berkeley.edu/~lpachter/128a/Babylonian_sqrt2.pdf-->.</ref>
<center>
[[Fitxer:Babylonian 1.svg|20px]] [[Fitxer:Babylonian 20.svg|20px]][[Fitxer:Babylonian 4.svg|20px]][[Fitxer:Babylonian 50.svg|20px]] [[Fitxer:Babylonian 1.svg|20px]] [[Fitxer:Babylonian 10.svg|20px]]
</center>
Aquesta escriptura correspon a la millor aproximació possible d'√2 amb quatre xifres significatives en numeració babilònica ([[sistema sexagesimal|sexagesimal]], de base 60).<ref>Fowler and Robson, p. 368.<br />[http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html Fotografía, ilustración, y descripción de la ''root(2)'' tablilla procedente de la "''Yale Babylonian Collection''"]<br />[http://www.math.ubc.ca/%7Ecass/Euclid/ybc/ybc.html Fotografías de alta resolución y análisis descriptivo de las tablas de la ''root(2)'' (YBC 7289) procedente de la "'''Y'''"ale '''B'''abylonian '''C'''ollection"]</ref>

:<math>1 +  \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1,41421\overline{296}</math>.

L'aproximació és precisa a la mil·lionèssima. Denota la coneixença d'un algoritme d'aproximació de l'arrel quadrada, pero s'ignora de quin. Podria tractar-se del mètode d'[[Heró d'Alexandria|Heró]],<ref name="RF"/> encara avui en dia un dels més eficaços.<ref name=RittaudBibnum>{{Lien web|auteur=Benoît Rittaud|url=http://www.bibnum.education.fr/sites/default/files/RITTAUD_YBC7289.pdf|titre=À un mathématicien inconnu !|site=[[Bibnum]]}}</ref>

Una altra aproximació antiga a aquest nombre irracional es dóna a l'[[Història de l'Índia|Antiga Índia]] en el text matemàtic ''Baudhaiana-sulba-sutra'' (d'entre el 600 i el 300 aC) que diu:
incrementa la longitud (del costat) per la seva tercera part, i la seva tercera per les seves tre quartes i la seva tercera per la seva trenta-quatrena part de quatre.<ref>Henderson</ref> És a dir:

:<math>1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3 \cdot4 \cdot 34} = \frac{577}{408} \approx 1,414215686.</math>

=== Grècia antiga ===
Els matemàtics de l'[[Antiga Grècia]] van descobrir i demostrar la irracionalitat de l'arrel de 2, en una època que resulta difícil de determinar, a tot tardar en les primeres dècades del [[segle IV aC]] i sembla que no abans del [[segle V aC]].<ref name="Caveing75">{{harvsp|Caveing|1998|p=75}}</ref> Però ells no el van expressar mai d'aquesta forma, com a nombre √2, sinó com una raó (en el sentit de proporció) entre la diagonal i el costat d'un quadrat. I van mostrar com les dues mesures són ''incommensurables'', és a dir, que no es pot trobar un segment unitat, per petit que sigui, que permeti mesurar de manera exacta les dues magnituds.

El descobriment de la irracionalitat, la data, les circumstàncies que van conduir a ella, les seves conseqüències, la naturalesa de les primeres demostracions,... tot això ha generat molt treball entre els historiadors,<ref name="Caveing75"/> però no han estat capaços d'arribar a un consens.<ref>{{harvsp|Berggren|1984|}}</ref>

No existeixen evidències arqueològiques anàlogues a les tauletes babilòniques pel cas dels matemàtics de l'Antiga Grècia, però sí que s'han trobat textos transmesos per tradició, per còpia i recòpia. Els més antics que han sortit a la llum daten del segle IV aC. Entre aquestes obres, en què les matemàtiques no són l'objectiu principal, hi trobem els treballs de [[Plató]] i els d'[[Aristòtil]].

==== Plató i Aristòtil ====
En un passatge molt conegut del ''[[Menó (diàleg)|Menó]]'', [[Plató]] posa en escena [[Sòcrates]] fent descobrir un jove esclau la duplicació d'un quadrat, mitjançant la construcció d'un quadrat sobre la diagonal de l'original. Sòcrates vol convèncer Ménon que el jove esclau troba un coneixement que ja és en ell mateix (mitjançant la tècnica retòrica coneguda com la [[maièutica]]). David Fowler, matemàtic historiador de la matemàtica anglès, data el text al 385 aC i el considera també la primera prova material directa de la pràctica de la matemàtica grega.<ref>{{Harvsp|Fowler|1999|p=7-8}}, una traducció al francès del segle XIX és  [http://remacle.org/bloodwolf/philosophes/platon/cousin/menon.htm accessible en línia], veure p 173-191.</ref>

La primera menció coneguda de la incommensurabilitat és igualment deguda a Plató, en una obra més tardana, el ''[[Teetet]]'', on descriu [[Teodor de Cirene]] exposant allò que correspon a la irracionalitat de les arrels quadrades dels nombres del 3 al 17 que no són quadrats perfectes.<ref>{{harvsp|Fowler|1999|p=359}}, una edició bilingüe del segle XIX és [http://remacle.org/bloodwolf/philosophes/platon/cousin/theetete2.htm accessible en línia], vegeu línies 50, 51.</ref> Es dedueix d'aquest passatge que la irracionalitat de l'√2 ja era coneguda a l'època en què Plató va escriure, i fins i tot durant els anys en què es creu que Théodore s'hauria dedicat a la docència,<ref>{{harvsp|Caveing|1998|p=133}}</ref> les primeres dècades del [[segle IV aC]].
     
A l'''[[Organon]]'', [[Aristòtil]] agafa com a exemple la [[reducció a l'absurd]] que el condueix a la incommensurabilitat de la diagonal,<ref>{{harvsp|Fowler|1999|p=302}} remarca que Aristòtil, mentre que cita sovint aquest exemple de la incommensurabilitat de la diagonal, mai no precisa de quin polígon es tracta.</ref> i precisa (en dues ocasions) que la hipòtesi de la commensurabilitat condueix al fet contradictori que un nombre parell és igual a un nombre imparell.<ref>Aristòtil, ''Analytiques postérieurs'', I,23,41 a 26-32 et I,44,50 a 36-38 citat des de {{harvsp|Caveing|1998|p=132}}, una edició bilingüe del segle XIX és accessible en línia [http://remacle.org/bloodwolf/philosophes/Aristote/analyt1994.htm I,23] i a [http://remacle.org/bloodwolf/philosophes/Aristote/analyt144.htm I,44].</ref> La indicació és poc precisa, però es tracta igualment del primer a tenir una demostració.

==== Euclides ====
En el llibre ''[[Elements d'Euclides|Elements]]'', d'[[Euclides]], el primer tractat de matemàtiques que ens ha arribat escrit al voltant de l'any [[300 aC]], el tractament de la incommensurabilitat ja és bastant elaborat. Aquest tema és definit i tractat en el llibre X, i la proposició 2 en dóna caracterització a partir d'un procediment de subtraccions iteratives, l'''antifèresi'', procediment que avui es coneix com l'[[algorisme d'Euclides]] (una divisió es pot considerar una sèrie de subtraccions) en l'[[aritmètica]] i la [[fracció contínua]] en els [[nombre real|nombres reals]].<ref>{{harvsp|Caveing|1998|p=219-223}}, veure també l'entrada de la [[Arrel quadrada de 2#Propietats#Representació en fracció contínua|fracció contínua]] en l'índex.</ref> Una longitud és incommensurable mentre hi hagi residu, el procediment continua indefinidament. La proposició 9 permet establir una relació amb les propietats aritmètiques tractades en els llibres VII i VIII.<ref>{{harvsp|Caveing|1998|p=245-253}}, secció 3.2 ''Hi ha cap prova general en els llibres aritmètics?''.</ref> Algunes edicions antigues del llibre X que presenten en un apèndix una proposició (de vegades enumerat 117) que tracta directament de la irracionalitat de l'arrel de dos (de la ''incommensurabilitat de la raó entre la diagonal d'un quadrat i el seu costat''), aportant un argument de paritat i un de descendència infinita. Però aquest article no s'integra en la resta del text, és per això que es creu que ha estat afegit per un interès històric, molt possiblement després d'Euclides.<ref>{{harvsp|Knorr|1975|p=22}} i nota 15 p 52. La proposició  es rebutja en l'edició de Heilberg, edició de referència dels Elements, i doncs absenta en el llibre X, en les traduccions realitzades a partir d'ell.</ref> Sembla ser posterior a una altra demostració,<ref> Veure {{harvsp|Fowler|1999|p=294-295}} i {{harvsp|Knorr|1975}} VII.3 pel detall de l'argumentació: la demostració d'Aphrodise utilitza els Elements, tot i que reposa en el mateix principi, és diferent de la proposició X,117.</ref> sempre basant-se en un argument de paritat donat en un dels passatges d'Aristòtil citat aquí sota per [[Alexandre d'Afrodísies]] el [[segle II]],<ref>{{harvsp|Knorr|1975|p=52}} nota 15.</ref> el més antic i complet que ens ha arribat amb data (de la incommensurabilitat de la diagonal d'un quadrat respecte al seu costat).<ref>{{harvsp|Fowler|1999|p=294-295}}</ref>

==== Hipòtesis i reconstruccions ====
El que es pot saber sobre el descobriment de la irracionalitat depèn, més enllà dels ''Elements'', dels fragments de textos antics d'autors posteriors, en particular d'una història d'un alumne d'Aristòtil, [[Eudem de Rodes]] i més generalment de textos històrics tardans, la fiabilitat dels quals no és bona.

També hi ha diverses teories pel que fa al context i les causes del descobriment de la incommensurabilitat. Pel que fa a les seves primeres manifestacions, els historiadors es limiten a reconstruir-les d'una manera coherent segons coneixements que se suposen d'aquella època. Aquestes reconstruccions especulatives, desenvolupades a finals del [[segle XIX]] i principis del [[segle XX|XX]],<ref name="Saito189">{{harvsp|Saito|2004|p=189}}</ref> estan lluny de coincidir i han obert sempre el debat.<ref>{{harvsp|Saito|2004|p=187-189}} per veure una història molt sintètica, veure també {{harvsp|Berggren|1984}}, i {{harvsp|Caveing|1998}}</ref>

=== Sobre √2 ===
[[Fitxer:Dedekind.jpeg|miniatura|<center>[[Richard Dedekind]] proposa una construcció rigorosa dels [[nombre real|nombres reals]] a finals del [[Segle XIX]].</center>]]
La història de l'arrel de dos es confon llavors amb la de l'arrel quadrada i més generalment amb la dels irracionals. Es pot resumir en les següents línies.

Els grecs concebien el que nosaltres anomenem nombres racionals o reals com a proporcions, no com a nombres.<ref>Per fer-se una idea dels conceptes de què els grecs disposaven, veure: Lien, Wilbur Knorr, ''Wilbur Richard Knorr''  ''{{lang|en|The Evolution of the Euclidean Elements: A Study of the Theory of Incommensurable Magnitudes and its Significance for Early Greek Geometry}}'', Springer, 1974 {{ISBN|978-9027705099}}, [http://books.google.fr/books?id=K1kK9zsD3LMC&pg=PA15 {{p.|15}}].</ref> La feblesa dels conceptes apareix en igualtats com √2 x √3 = √6. Per als grecs, no és demostrable: √2 x √3 designa una proporció entre àrees i √6 no pertany al món de les àrees. El quadrat d'una superfície no existeix per als grecs.<ref name="Fowler">{{ref-publicació |cognom=Fowler |nom=David |enllaçautor= |cognom2= |nom2= |autor2= |enllaçautor2= |cognom3= |nom3= |autor3= |enllaçautor3= |cognom4= |nom4= |autor4= |enllaçautor4= |cognom5= |nom5= |autor5= |enllaçautor5= |coautors= |article= |url=http://books.google.fr/books?id=WwFMjsym9JwC&pg=PA185 |format= |llengua=anglès |consulta= 5 abril 2015|publicació= |editorial= |lloc=The American Mathematical Monthly |volum=99 |exemplar= |data= |mes=Agost |any=1992 |pàgina=725-733 |pàgines= |issn= |doi= |citació= |ref= }}</ref>

La cultura matemàtica aràbiga de l'antiguitat és l'origen del següent progrés. A principis del [[segle IX]], el persa [[Muhàmmad ibn Mussa al-Khwarazmí]] desenvolupa els conceptes d'[[equació]]<ref> Veure l'article [[Teoria d'equacions]]</ref> i d'[[incògnita]]. Aquests descobriments de vegades són considerats com el naixement de l'[[àlgebra]], i van conduir gradualment a la idea de donar un estatus de nombre a les fraccions i les proporcions incommensurables. Les propietats algèbriques de les arrels quadrades són establides. [[Omar Khayyam]] desenvolupa en el [[segle XI]] una teoria on les proporcions són nombres, encara que els incommensurables encara són considerats impropis.<ref>{{Harvsp|DahanPeiffer|p=102}}</ref> Europa n'assimila les nocions tardanament, al [[segle XVI]]], període de polèmica sobre si els incommensurables mereixen tenir l'estatus de nombre.<ref>{{Harvsp|DahanPeiffer|p=103}}</ref> És en aquesta època que l'ús del símbol √ es consolida.<ref>És introduït per [[Christoph Rudolff]] l'any 1525 : {{Harvsp|DahanPeiffer|p=104}}</ref>

Construir un univers de nombres en què la igualtat √2 x √3 = √6 sigui demostrada rigorosament no és fàcil. Aquesta construcció apareixerà tardanament de la mà de [[Julius Wilhelm Richard Dedekind|Dedekind]], l'any 1876.

== Propietats ==
L'arrel quadrada de dos té diverses propietats que la fan notable, tan geomètricament com algebraica. Des del punt de vista geomètric, apareix en primer lloc com a raó de proporció entre la diagonal i el costat d'un quadrat. Quant a les seves propietats algebraiques, és sovint definida com l'única arrel positiva solució de l'equació polinòmica de [[Equació de segon grau|segon grau]] següent:

:<math> x^{2}-2=0</math>

on la segona solució de l'equació és -√2. 

A continuació es mostren altres propietats de la constant.

=== Representació en fracció contínua ===
L'arrel quadrada de dos està relacionada amb un cert nombre de representacions en [[fracció contínua]] periòdica diferents. De manera general, segueixen la següent representació:<ref>{{ref-web |url=http://www.mathpath.org/Algor/squareroot/algor.square.root.contfrac.htm |títol=Square-roots via Continued Fractions |consulta=9 abril 2015 |obra= |editor=MathPath |data=7 de gener de 2004 |llengua=anglès }}</ref>

::<math>b\sqrt2-a=\cfrac{-k}{2a+ \cfrac{-k}{2a+\cfrac{-k}{2a+ \ddots}}}\,</math>

amb ''a''<sup>2</sup> − 2''b''<sup>2</sup> = ''k'', i amb ''a'' i ''b'' nombres enters estrictament [[nombre positiu|positius]]. En el cas particular en què ''a''=1, ''b''=1 i ''k''=-1, es té la següent representació:

::<math> \!\ \sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}. </math>

De manera més general, es pot calcular la representació en fracció contínua d'una arrel qualsevol emprant la següent identitat:<ref>{{Ref-llibre |cognom=Frame |nom=J.S. |autor= |enllaçautor= |cognom2= |nom2= |autor2= |enllaçautor2= |cognom3= |nom3= |autor3= |enllaçautor3= |cognom4= |nom4= |autor4= |enllaçautor4= |cognom5= |nom5= |autor5= |enllaçautor5= |capítol= |urlcapítol= |editor= |títol=The Solution of Equations by Continued Fractions |títoltraduït=Solució d'Equacions per Fraccions Contínues |url= |format= |consulta= |llengua=anglès |volum=60 |edició=5a ed.|editorial= |lloc= |data= |mes=maig |any=1953 |pàgina= |pàgines=293-305 |col·lecció=American Mathematical Monthly |isbn= |oclc= |doi= |lccn= |id= |citació= |ref= }}</ref>

::<math>\sqrt{x}=1+\cfrac{x-1}{2 + \cfrac{x-1}{2 + \cfrac{x-1}{2+{\ddots}}}}</math>

que prové de la identitat:<ref>Ben Thurston, [http://benpaulthurstonblog.blogspot.com/2012/05/estimating-square-roots.html "Estimating square roots, generalized continued fraction expression for every square root"], ''The Ben Paul Thurston Blog''</ref>

::<math>\sqrt{x} = 1+\frac{x-1}{1+\sqrt{x}}</math>

=== Expansió d'Engel ===
L'expansió d'Engel d'un nombre ''x'' és l'única seqüència de nombres [[nombre enter|enters]] [[nombre positiu|positius]] no decreixent <math>\{a_1,a_2,a_3,\dots\}</math> tal que:

:<math>x=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_1a_2a_3}+\cdots.\;</math>

Kraaikamp<ref>{{citar ref|cognom1= Kraaikamp |nom1= Cor |cognom2= Wu |nom2= Jun
  |títol= On a new continued fraction expansion with non-decreasing partial quotients
  |publicació= Monatshefte für Mathematik
  |any= 2004
  |volum= 143
  |pàgines= 285–298
  | doi = 10.1007/s00605-004-0246-3
  |exemplar= 4}}</ref> i Wu<ref>{{ref-publicació|cognom= Wu |nom= Jun
 |exemplar= 4
 |publicació= Acta Arithmetica
 | mr = 1760244
 |pàgines= 383–386
 |títol= A problem of Galambos on Engel expansions
 |volum= 92
 |any= 2000}}</ref> (2004) van descobrir que l'expansió d'Engel també es pot expressar com una [[fracció contínua]] ascendent del tipus:

:<math>x = \frac{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle 1+\cdots}{\displaystyle a_3}}{\displaystyle a_2}}{\displaystyle a_1}.</math>

L'expansió d'Engel de l'arrel quadrada de dos és la següent:

:<math>\sqrt{2}=[1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, \dots]</math><ref>{{OEIS|id=A028254}}</ref>

=== Desenvolupament en producte infinit ===
La identitat cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2 és la representació en [[producte infinit]] del [[Funcions trigonomètriques|sinus]] i del [[Funcions trigonomètriques|cosinus]] porten als desenvolupaments següents:
:<math>\sqrt 2 = 2\prod_{k=0}^\infty
\frac{(4k+1)(4k+3)}{(4k+2)^2} = 
2
\left(1-\frac{1}{4}\right)
\left(1-\frac{1}{36}\right)
\left(1-\frac{1}{100}\right) \cdots</math>
:<math>\sqrt{2} =
\prod_{k=0}^\infty
\frac{(4k+2)^2}{(4k+1)(4k+3)} =
\left(\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3}\right)
\left(\frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 7}\right)
\left(\frac{10 \cdot 10}{9 \cdot 11}\right)
\left(\frac{14 \cdot 14}{13 \cdot 15}\right) \cdots</math>

L'últim producte es pot escriure de manera equivalent:
:<math>\sqrt{2} =
\prod_{k=0}^\infty
\left(1+\frac{1}{4k+1}\right)
\left(1-\frac{1}{4k+3}\right)
=
\left(1+\frac{1}{1}\right)
\left(1-\frac{1}{3}\right)
\left(1+\frac{1}{5}\right)
\left(1-\frac{1}{7}\right) \cdots.</math>

=== Desenvolupament en sèries de Taylor ===
El número també pot ser donat en forma de [[Sèrie (matemàtiques)|sèrie]] utilitzant el [[Teorema de Taylor|desenvolupament de Taylor]] d'una funció trigonomètrica avaluada en <math>\left({\pi}/{4}\right)</math>, com es mostra a continuació:

:<math>\frac{1}{\sqrt{2}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \left(\frac\pi4\right)^{2k}}{(2k)!}.</math>
:<math>\frac{1}{\sqrt{2}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \left(\frac\pi4\right)^{2k+1}}{(2k+1)!}.</math>

També es pot trobar el valor avaluant la funció <math> y=\sqrt{1+x} </math> en ''x''=1:

:<math>\sqrt{2} =1+\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{\prod_{0<n<k} (2n-1)}{\prod_{n=1}^{n=k}(2n)} = 
1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2\cdot4} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} -
\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6\cdot8} + \cdots.</math>

La convergència d'aquesta última sèrie pot ser accelerada mitjançant una transformació d'Euler per donar:
:
:<math>\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k+1)!}{(k!)^2 2^{3k+1}} = \frac{1}{2} +\frac{3}{8} +
\frac{15}{64} + \frac{35}{256} + \frac{315}{4096} + \frac{693}{16384} + \cdots.</math>

=== Grau algebraic i grau d'irracionalitat ===
L'arrel quadrada de dos és un [[nombre algebraic]] de grau 2, anomenat també '''enter quadràtic''', en ser solució de l'equació [[polinomi|polinòmica]] de segon grau a coeficients enters ''x''<sup>2</sup> − 2 = 0 i de monomi dominant amb coeficient igual a 1 (anomenat habitualment [[polinomi mònic]]. No és solució, però, de cap equació de primer grau a coeficients enters, atesa la seva irracionalitat. Se sap, doncs, que és difícilment aproximable per una sèrie racional de tipus ''p''<sub>''n''</sub>/''q''<sub>''n''</sub>; segons el teorema de Roth, en el millor dels casos l'error és de l'ordre de:<ref>{{ref-web |url=http://mathworld.wolfram.com/RothsTheorem.html |títol=Roth's Theorem |consulta=18 abril 2015 |obra=Wolfram MathWorld |editor=Eric Weisstein |data= |llengua=anglès }}</ref>

:<math>\left|\sqrt{2}-\frac{p_n}{q_n}\right|\sim\frac{1}{{q_n}^2}</math>

Com per tot nombre algebraic irracional, la seva mesura d'irracionalitat és 2. La '''mesura d'irracionalitat''' (μ) d'un nombre denota quant pròxima és l'aproximació que es pot fer a un nombre irracional com a quocient entre dos nombres racionals. És el valor de l'exponent en el denominador de l'expressió següent:

:<math>0< \left| x- \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^{\mu}} </math>

=== Normalitat ===
La [[Nombre normal|normalitat]] és una propietat que es basa en la distribució de les xifres del desenvolupament decimal d'un nombre irracional. Es dóna quan totes les xifres del 0 al 9 apareixen en el desenvolupament i amb la mateixa freqüència.<ref>{{ref-web |url=http://mathworld.wolfram.com/NormalNumber.html |títol=Normal Number |consulta=18 abril 2015 |obra=Wolfram MathWorld |editor=Eric Weisstein |data= |llengua=anglès }}</ref> Quant a l'arrel de 2, s'ignora si és normal només en el [[Nombre decimal|sistema decimal]] o si ho és també en totes les altres [[Base (aritmètica)|bases de numeració]].

=== En geometria ===
[[Fitxer:Silver ratio octagon.png|miniatura|<center>La distància entre dos costats oposats d'un octàgon regular de costat la unitat té un valor d'1 més l'arrel de dos ([[nombre platejat]]).</center>]]
A més de ser la raó de proporció entre la diagonal d'un [[quadrat (polígon)|quadrat]] i el seu costat també apareix en altres polígons. En un octàgon regular, tots els costats i angles del qual són iguals, els costats s'uneixen formant un angle de 135°. L'àrea de l'octàgon regular de costat ''a'' és:

:<math>A = 2a^2 \cot \frac{\pi}{8} = 2(1+\sqrt{2})a^2 \simeq 4.82843 a^2</math>

A més, i de manera trivial, també és la relació entre la hipotenusa i el catet d'un [[triangle isòsceles]] [[triangle rectangle|rectangle]].

Un [[pentadecàgon]] ([[polígon]] de 15 costats) regular té angles interiors de 156° i amb una aresta de longitud ''a'', la seva àrea val:<ref>{{ref-web |url=http://mathworld.wolfram.com/Pentadecagon.html |títol=Pentadecagon |consulta=6 abril 2015 |obra= |editor=Wolfram MathWorld |data=2 d'abril de 2015 |llengua=anglès }}</ref>

:<math> A= \frac{15a^2}{8} \left( \sqrt{3}+\sqrt{15}+ \sqrt{2}\sqrt{5+\sqrt{5}}\right)\simeq 17.6424\,a^2.</math>

Un hexadecàgon (polígon de 16 costats) regular de costat ''a'' té una àrea igual a:<ref>{{ref-web |url=http://mathworld.wolfram.com/Hexadecagon.html |títol=Hexadecagon |consulta=6 abril 2015 |obra= |editor=Wolfram MathWorld |data=2 d'abril de 2015 |llengua=anglès }}</ref>

:<math>A = 4a^2 \cot \frac{\pi}{16} = 4a^2 (\sqrt{2}+1)(\sqrt{4-2\sqrt{2}}+1)</math>

Com que el nombre de costats de l'hexadecàgon és una potència de dos, la seva àrea pot ser expressada amb termes del radi de la seva [[circumferència circumscrita]] ''r'' a través de la fórmula de Viète:

:<math>A=r^2\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=4r^2\sqrt{2-\sqrt{2}}.</math>

Un icositetràgon (polígon de 24 costats) regular de costat ''a'' té una àrea de:<ref>{{ref-web |url=http://mathworld.wolfram.com/Icositetragon.html |títol=Icositetragon |consulta=6 abril 2015 |obra= |editor=Wolfram MathWorld |data=2 d'abril de 2015 |llengua=anglès }}</ref>

: <math>A = 6a^2 \cot \frac{\pi}{24} = {6}a^2(2+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}).</math>

També apareix en poliedres regulars. En un [[tetràedre]] de longitud d'aresta ''a'', la distància entre dues arestes paral·leles és:<ref>{{ref-web |url=http://mathworld.wolfram.com/RegularTetrahedron.html |títol=Regular Tetrahedron |consulta=6 abril 2015 |obra= |editor=Wolfram MathWorld |data=2 d'abril de 2015 |llengua=anglès }}</ref>

:<math>l={1\over\sqrt{2}}\,a\,</math>

El volum de la figura val:

:<math>V={1\over3} A_0h ={\sqrt{2}\over12}a^3={a^3\over{6\sqrt{2}}}\,</math>

L'angle cara-vèrtex-aresta val:

:<math>\arccos\left({1 \over \sqrt{3}}\right) = \arctan(\sqrt{2}) </math> (aproximadament 54.7356°)

L'angle format entre dues cares a l'aresta del tetràedre val:

:<math>\arccos\left({1 \over 3}\right) = \arctan(2\sqrt{2})\,</math>(aproximadament 70,5288°)

L'angle al centre format pels vèrtexs val:

:<math>\arccos\left({-1\over3}\right ) = 2\arctan(\sqrt{2})\,</math>(aproximadament 109,4712°)

D'altra banda, en un [[octàedre]] regular de costat ''a'', el [[radi]] de l'[[esfera]] circumscrita (aquella esfera que toca tots els vèrtexs de l'octàedre) val:

:<math>r_u = \frac{a}{2} \sqrt{2} \approx 0,7071067 \cdot a</math>

I el volum del cos val:

:<math>V=\frac{1}{3} \sqrt{2}a^3 \approx 0.471404521a^3</math>

=== Fórmula de Viète ===
L'arrel quadrada de dos apareix en la fórmula de Viète per π:

: <math>2^m\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}} \to \pi\quad\text{ quan }m \to \infty\, </math>

per ''m'' arrels quadrades i tan sols un signe negatiu (el primer).<ref>{{citar ref|títol=What is mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods |nom=Richard |cognom=Courant |nom2=Herbert |cognom2=Robbins |lloc=London |editorial=Oxford University Press |any=1941 |pàgina=124 }}</ref>

Similar en aparença, però amb un nombre finit de termes, l'arrel quadrada de dos apareix en diverses constants trigonomètriques:<ref>Julian D. A. Wiseman [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_sin_cos.html Sin and cos in surds]</ref>

{{columnes}}

:<math>\sin(5\tfrac58 ^\circ) = \frac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}};</math>

:<math>\sin(11\tfrac14 ^\circ) = \frac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}};</math>

:<math>\sin(16\tfrac78 ^\circ) = \frac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}};</math>

:<math>\sin(22\tfrac12 ^\circ) = \frac12\sqrt{2-\sqrt{2}};</math>

:<math>\sin(28\tfrac18 ^\circ) = \frac12\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}};</math>

{{columna nova}}

:<math>\sin(33\tfrac34 ^\circ) = \frac12\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}};</math>

:<math>\sin(39\tfrac38 ^\circ) = \frac12\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}};</math>

:<math>\sin(45 ^\circ) = \frac12\sqrt{2};</math>

:<math>\sin(50\tfrac58 ^\circ) = \frac12\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}};</math>

:<math>\sin(56\tfrac14 ^\circ) = \frac12\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}};</math>

{{columna nova}}

:<math>\sin(61\tfrac78 ^\circ) = \frac12\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}};</math>

:<math>\sin(67\tfrac12 ^\circ) = \frac12\sqrt{2+\sqrt{2}};</math>

:<math>\sin(73\tfrac18 ^\circ) = \frac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}};</math>

:<math>\sin(78\tfrac34 ^\circ) = \frac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}};</math>

:<math>\sin(84\tfrac38 ^\circ) = \frac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}.</math>

{{final columnes}}

=== Altres propietats ===
[[Fitxer:Circular and hyperbolic angle.svg|miniatura|La mida de l'angle i l'àrea del sector circular són igual quan el radi cònic té el valor d'arrel quadrada de dos. Aquest diagrama il·lustra les funcions circular i hiperbòlica en funció de les àrees dels sectors ''u'']]
La meitat de l'arrel de dos, que és també el seu invers, té un valor aproximat de 0.707106781186548. És una quantitat recurrent en geometria i [[trigonometria]] perquè és el valor de cadascuna de les components del [[vector unitari]] que té un angle de 45° entre els dos eixos:

:<math>\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right).</math>

Aquest nombre satisfà:

:<math>\tfrac{1}{2}\sqrt{2} = \sqrt{\tfrac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos(45^{\circ}) = \sin(45^{\circ}).</math>

Una altra propietat interessant de l'arrel quadrada de dos és la següent:

:<math> \!\ {1 \over {\sqrt{2} - 1}} = \sqrt{2} + 1 </math>

ja que <math>(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1.</math> Això està relacionat amb les [[Nombre platejat#Propietats algebraiques|propietats del nombre platejat]], 

L'arrel quadrada de dos té també una altra propietat singular que només comparteix amb el número [[U (nombre)|1]] que és que el seu exponencial infinit és igual al seu quadrat. En altres paraules, per ''c''≥1, s'estableix x<sub>1</sub> =''c'' i es defineix x<sub>''n''+1</sub>=''c''<sup>x<sub>''n''</sub></sup> anomenarem f(c) al límit de la sèrie quan ''n' tendeixi a infinit:

:<math>\lim_{n\to\infty} x_n = f(c)</math>

Llavors, l'arrel quadrada de dos és l'únic nombre (a part de l'1) que compleix que f(c)=c<sub>2</sub>, o expressat de manera simbòlica:

:<math>\sqrt{2}^ {(\sqrt{2}^ {(\sqrt{2}^ {(\ \cdot^ {\cdot^ \cdot)))}}}} = 2.</math>

L'arrel de dos també es pot expressar en termes de la [[unitat imaginària]] <math> i </math> utilitzant només [[arrel quadrada|arrels quadrades]] i [[Aritmètica#Aritmètica decimal#Operacions|operacions aritmètiques]]:

:<math>\frac{\sqrt{i}+i \sqrt{i}}{i}\text{ o bé }\frac{\sqrt{-i}-i \sqrt{-i}}{-i}</math>

La sèrie de nombres ''n'' tals que els primers ''n'' dígits decimals de l'arrel quadrada de dos formen un nombre primer són:

:<math> 55, 97, 225, 11260, 11540 </math><ref>{{OEIS|id=A115377}}</ref>

La següent sèrie mostra la primera posició en què es troba cada nombre ''n''= 0, 1, 2... en l'expansió decimal de l'arrel quadrada de dos començant a comptar en l'1:

:<math> 14, 1, 5, 7, 2, 8, 9, 12, 19, \dots </math><ref>{{OEIS|id=A229199}}</ref>

La següent sèrie mostra la posició (sense tenir en compte el número 1 a l'esquerra de la coma) de la primera aparició de ''n'' dígits ''n'' consecutius, on ''n'' és l'[[nombre ordinal|ordinal]] de l'element dins de la sèrie. Per exemple, ''a''<sub>2</sub> mostra la posició que ocupa el primer 22 en l'expansió decimal de l'arrel quadrada de dos.                                                                                

:<math> 2,  114, 1481, 3308, 72459, 226697, 969836, 119555442, 2971094743  </math><ref> {{OEIS|id=A224871}} </ref>

Aquest tipus de sèries reben el nom de '''seqüència de Earls''' i no són estrictament decreixents. Existeixen per totes les costants irracionals.

== Algorisme computacional ==
Existeixen molts algorismes usats en l'aproximació de l'arrel quadrada de 2. El més comú dels algorismes de computadores o calculadores és el denominat mètode babilònic<ref>Encara es denomini "Mètode babilònic" generalment, no existeix evidència que mostri un ús d'aquesta aproximació pels babilònics en el càlcul de l'aproximació de <math>\sqrt{2}</math> tal com es pot veure en la tauleta  YBC&nbsp;7289. Fowler and Robson ofereix generalment detall i conjectures sobre això.<br />Fowler and Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.</ref> de càlcul d'arrels quadrades, que és també un dels molts emprats per al càlcul d'altres arrels quadrades. El mètode ja era conegut per [[Heró d'Alexandria]] el segle I.<ref>{{Ref-llibre |cognom=Piñeiro |nom=Gustavo Adolfo |autor= |enllaçautor= |cognom2= |nom2= |autor2= |enllaçautor2= |cognom3= |nom3= |autor3= |enllaçautor3= |cognom4= |nom4= |autor4= |enllaçautor4= |cognom5= |nom5= |autor5= |enllaçautor5= |capítol=1 |urlcapítol= |editor=[[Grup RBA|RBA]] |títol=La intuición tiene su lógica (GÖDEL) |títoltraduït= |url= |format= |consulta=2 d'agost de 2015 |llengua=espanyol |volum= |edició= |editorial= |lloc= |data= |mes= |any=2012 |pàgina=45 |pàgines= |col·lecció=GRANDES IDEAS DE LA CIENCIA |isbn=978-84-473-7644-5 |oclc= |doi= |lccn= |id= |citació=''Una de las más antiguas, y al mismo tiempo más sencillas, era conocida por Herón de Alejandría en el siglo I.'' |ref= }}</ref> Funciona de la següent manera:

Es pren en primer lloc un valor arbitrari, que denominarem <math> F_0 </math>; aquesta primera aproximació no importa gaire, només és considerada com un punt d'inici en l'algorisme i afecta quantes iteracions ha de fer l'algorisme fins a obtenir l'aproximació amb la precisió requerida. Llavors, fent servir aquesta suposició inicial, es procedeix a iterar obtenint els nous valors a partir de:

:<math>F_{n+1} = \frac{F_n + \frac{2}{F_n}}{2} </math>

Com més iteracions es facin mitjançant l'algorisme (és a dir, com més termes de la sèrie s'obtinguin o com més gran sigui el subíndex ''n''), s'obtindrà una millor aproximació del valor real de l'arrel quadrada de dos.

L'any [[1997]], el valor de <math>\sqrt{2}</math> va ser calculat mitjançant aquest algorisme fins a 137.438.953.444 xifres decimals per l'equip de [[Yashumasa Kanada]]. D'entre les constants matemàtiques amb xifres no periòdiques, només  el nombre [[nombre π|π]] ha estat calculat amb millor precisió.<ref>[http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html Number of known digits<!-- Título generado por un bot -->]</ref>

== Càlcul de √2 ==
=== Fracció contínua ===
Partint de:   

:<math> \sqrt{2} = 1 + (\sqrt{2} -1) </math>

es pot deduir una primera aproximació d'√2. Es pot escriure aquest resultat sota la forma:   

:<math> \sqrt{2} = 1 + (\sqrt{2} - 1)= 1 + \frac{1}{\left( \cfrac{1}{ \sqrt{2} - 1} \right)}</math>

Per [[producte notable|productes notables]], es té:   

:<math>\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1</math>

i llavors:   

:<math>\sqrt 2 = 1 + \frac{1}{\sqrt 2 +1} = 1 + \frac 1{{\color{red}2}+ \sqrt 2 -1} = 1 + \frac 1{{\color{red}2}+ \cfrac 1{\sqrt 2 +1}}</math>

I, si es negligeix el terme √2-1 en la penúltima expressió, sobté com a valor de l'aproximació 3/2 = 1,5. El raonament es repeteix idènticament i s'obté:   

<center><math>\sqrt 2 = 1 + \frac 1{{\color{red}2}+ \cfrac 1{{\color{red}2} + \sqrt 2 -1}} \quad \rightarrow \quad \sqrt 2 = 1 + \frac 1{{\color{red}2}+ \cfrac 1{{\color{red}2} + \cfrac 1{{\color{red}2} + \sqrt 2 -1}}} \simeq \frac{17}{12} = 1,416\,6\dots </math></center>

== Doblar un quadrat ==
[[Fitxer:DoublingTheSquareV1.svg|miniatura|esquerra|Construcció d'un quadrat d'àrea 2]]
La qüestió de la duplicació del quadrat correspon a la construcció d'un quadrat d'àrea doble de la d'un quadrat donat. Es parteix d'un quadrat d'àrea 1 i s'intenta, doncs, construir un quadrat d'àrea 2. Per definició, el quadrat d'àrea 1 té un costat de longitud 1, i el quadrat d'àrea 2 té la mateixa àrea que dos quadrat d'àrea 1.

Existeixen dos mètodes simples en la duplicació del quadrat. El més directe consisteix a estudiar la figura de l'esquerra. El quadrat de costat la unitat està format per 2 triangles rectangles iguals, mentre que el de costat anotat √2 està format per exactament quatre triangles del mateix tipus; és, doncs, d'àrea doble al primer. Una altra manera de veure-ho és mitjançant el [[teorema de Pitàgores]]. La hipotenusa d'un triangle rectangle isòsceles de catet la unitat té un valor d'arrel de dos. Aquesta hipotenusa és el costat del quadrat gran. L'àrea d'un quadrat és igual al quadrat del costat. L'àrea del quadrat gran és, per tant, igual a √2<sup>2</sup>, és a dir igual a 2.
[[Fitxer:DoublingTheSquarev2.svg|miniatura|Duplicació del quadrat mitjançant el cercle]]

Existeix una altra manera, gràcies a l'ajuda del cercle, de duplicar un quadrat sense canviar-ne l'orientació. A la figura de la dreta el quadrat gran té una superfície doble a la del quadrat petit. Per veure-ho clar només cal fer girar el quadrat petit una vuitena part d'una volta. La raó dels costats d'aquest quadrat és, doncs, √2.

Més tard, aquest dibuix seduirà nombrosos arquitectes com [[Andrea Palladio]] a la seva [[Villa Capra]] o a l'''Església Rodona'' de [[Preslav]] construïda l'any 908. Es troba també al claustre de la Catedral de Saint-Étienne de Cahors, on la superfície del pati interior és igual a la superfície de la galeria que l'envolta,<ref>Guillaume Reuiller, ''[http://www.palais-decouverte.fr/fileadmin/fichiers/infos_sciences/mathematiques/textes/formes_matematiques_revue/351_oct_2k7.pdf L'aire de RIEN]'', Palau de la descoberta, mida verificable a  [http://archive.wikiwix.com/cache/?url=http://www.mairie-cahors.fr/patrimoine/inventaire/imagcen/img06/ple/1_0560_P.jpg&title=plan%20de%201841 plan de 1841].</ref> o en el llibre de Villard de Honnecourt.<ref>{{citar ref|D'aquesta manera es fa el claustre, donant especial interès a les formes del jardí}} in {{ref-publicació |cognom=Raynaud |nom=Dominique |enllaçautor= |cognom2= |nom2= |autor2= |enllaçautor2= |cognom3= |nom3= |autor3= |enllaçautor3= |cognom4= |nom4= |autor4= |enllaçautor4= |cognom5= |nom5= |autor5= |enllaçautor5= |coautors= |article=Le schème, opérateur de la conception architecturale |url=http://halshs.archives-ouvertes.fr/docs/00/37/65/72/PDF/Scheme_operateur2-AR.pdf |format= |llengua= |consulta= 5 abril 2015|publicació=Arquitetura Revista |editorial= |lloc= |volum=1 |exemplar= |data= |mes= |any=2008 |pàgina= |pàgines=15-32 |issn= |doi= |citació= |ref= }}</ref>

La qüestió de duplicar el quadrat va ser fàcilment resolta, però llavors, a l'Antiga Grècia va aparèixer la pregunta que la seguia de manera natural: es podria fer el mateix amb un cub? És a dir, es podria dibuixar l'aresta d'un cub que tingués el doble del volum d'un cub donat? Fins al [[segle XIX]] no es va poder demostrar que aquest dibuix és impossible amb regle i compàs.

== Proves d'irracionalitat ==
A continuació es mostren algunes de les nombroses demostracions<ref>{{Lien web|langue=en|url=http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml|titre=Square root of 2 is irrational|auteur=Alexander Bogomolny|site=[[Cut The Knot]]}} en recense 27.</ref> del fet que l'√2 és un [[nombre irracional]]. Moltes d'elles es generalitzen substituint √2 per √n on el nombre [[nombre natural|natural]] ''n'' no és un [[quadrat perfecte]]. Algunes són reformulacions amb els conceptes matemàtics i el llenguatge actual de demostracions antigues.

Sovint segueixen procediment de [[reducció a l'absurd]], suposant que √2 és, contràriament, un nombre [[nombre racional|racional]], és a dir, que es pot escriure de la forma ''p''/''q'', per certs enters ''q''>0 i ''p''. Posteriorment s'arriba a una contradicció a la hipòtesi inicial (√2 = ''p''/''q''), que també s'escriu com ''p''<sup>2</sup> = 2''q''<sup>2</sup>.

=== Per paritat ===
Es parteix de la hipòtesi que <math>\scriptstyle{\sqrt{2}}</math> és un nombre [[nombre racional|racional]], és a dir, que es pot expressar com una fracció de nombres enters. Per tant existeixen dos nombres enters positius ''p'' i ''q'' que compleixen que:

:<math> \frac{p}{q} = \sqrt{2}</math>

Llavors <math>\scriptstyle{\sqrt{2}}</math> pot ser escrit com el valor d'una [[fracció irreduïble]] (en què el numerador i denominador no tenen divisors comuns) ''p''/''q'' de tal manera que ''p'' i ''q'' són nombres [[nombres coprimers|primers entre si]], i:

:<math> {\left(\frac{p}{q}\right)}^2 = 2 \quad   \rightarrow  \quad p^2 = 2 q^2 </math>

Per tant, ''p''<sup>2</sup> és un nombre parell, ja que és igual a 2''q''<sup>2</sup>. Per tant, ''p'' és un nombre parell (ja que els nombres parells només poden tenir arrels quadrades parelles). Atès que ''p'' és parell, llavors existeix un nombre ''r'' tal que 2''r''=''p''. Complint-se doncs la igualtat:

:<math> ({2 r})^2 = 2 q^2 \quad  \rightarrow \quad 4r^2 = 2 q^2 \quad  \rightarrow \quad 2r^2 = q^2 </math>

D'on es dedueix que ''q'' també és un nombre parell, cosa que contradiu la premissa segons la qual ''p'' i ''q'' són primers entre ells. En tenir el 2 com a comú divisor, la fracció de ''p''/''q'' no és irreduïble, i per tant, <math>\scriptstyle{\sqrt{2}}</math> no pot ser expressada com a quocient de dos nombres enters primers entre ells. L'arrel quadrada de dos no és, per tant, un nombre racional.<ref>{{ref-web |url=http://gaussianos.com/dos-demostraciones-de-la-irracionalidad-de-raiz-de-2/ |títol=Dos demostraciones de la irracionalidad de raíz de 2 |consulta=6 abril 2015 |obra= |editor=Gaussianos |data= |llengua=espanyol }} </ref>

Aquesta insinuació va ser insinuada per [[Aristòtil]] en els seus ''Prior Analytics''.<ref> Tot el que diu Aristòtil, quan escrivia sobre demostracions per [[reducció a l'absurd]], és que "la diagonal del quadrat és incommensurable amb el costat, perquè si es suposa que l'arrel de dos és commensurable, un nombre senar resulta ser igual a un nombre parell ”</ref> Va aparèixer per primer cop com a demostració completa en els ''[[Elements d'Euclides|Elements]]'' d'[[Euclides]] com a proposició 117 del llibre X. Tanmateix, des de principis del [[segle XIX]] els historiadors han considerat que la demostració era una interpolació i que per tant no es pot atribuir a Euclides.<ref>L'edició del text grec ''Elements'' publicat per E. F. August a [[Berlín]] els anys 1826–1829 ja relega aquesta demostració a un apèndix. El mateix passa amb l'edició de l'historiador J. L. Heiberg (1883–1888).</ref>

=== Per subtraccions recíproques ===
Aquesta demostració es basa en la [[reducció a l'absurd]]. Es parteix del fet que <math>\scriptstyle{\sqrt{2}}</math> és un nombre racional i que per tant es pot expressar com a fracció de dos nombres enters positius que anomenarem ''p'' i ''q''. Es compleix, per tant, que:

:<math> \sqrt{2}=\frac{p}{q} \quad \rightarrow \quad 2=\left(\frac{p}{q}\right)^2 \quad \rightarrow \quad 2q^2=p^2</math>

Si es resta ''p q'' a banda i banda d'aquest últim resultat i s'aplica la [[propietat distributiva]], s'obté que:

:<math>2q^2-pq=p^2-pq\quad \rightarrow \quad q(2q-p)=p(p-q) \quad \rightarrow \quad \frac{p}{q}=\frac{2q-p}{p-q}</math>

I com que ''p''/''q'' és igual a <math>\scriptstyle{\sqrt{2}}</math>, llavors:

:<math>\sqrt{2}=\frac{2q-p}{p-q}</math>

Llavors, com que se sap que ''p''/''q'' és igual a l'arrel de dos:

:<math> 1<\left(\frac{p}{q}\right)^2<4 \quad \rightarrow \quad 1<\frac{p}{q}<2 \quad \rightarrow \quad q<p<2q \quad \rightarrow \quad 0<p-q<q</math>

on en el primer pas s'ha fet l'arrel, en el segon s'ha dividit per ''q'' i en el tercer s'hi ha restat ''q''.

Així queda demostrat que ''p''-''q'' és més petit que ''q'', i que numerador i el denominador de la segona fracció igualada a <math>\scriptstyle{\sqrt{2}}</math> són més petits que ''p'' i ''q'' respectivament. Aquest procediment es pot seguir tants cops com es vulgui, i en cada iteració s'obtenen valors pel numerador i el denominador més petits que en la fracció anterior, creant dues successions infinites estrictament decreixents que han de ser per força enters. Com que això és impossible perquè tota successió infinita estrictament decreixent acabarà tenint valors no enters, queda demostrat que <math>\scriptstyle{\sqrt{2}}</math> és un nombre irracional.<ref>{{ref-web |url=http://gaussianos.com/dos-demostraciones-de-la-irracionalidad-de-raiz-de-2/ |títol=Dos demostraciones de la irracionalidad de raíz de 2 |consulta=6 abril 2015 |obra= |editor=Gaussianos |data= |llengua=espanyol }}</ref>

=== Argument geomètric ===
[[Fitxer:Irrationality of sqrt2.svg]]
Es fonamenta en el mètode de [[Mètode del descens infinit|descens infinit]]. És una construcció geomètrica clàssica de [[regle i compàs]], que prova el teorema d'una manera molt similar a com ho feien els geòmetres grecs.

Sigui ''ABC'' un triangle rectangle isòsceles amb hipotenusa de longitud ''m'' i catets de longitud ''n'', pel [[teorema de Pitàgores]], ''n''<sup>2</sup>+''n''<sup>2</sup>=''m''<sup>2</sup>; 2''n''<sup>2</sup>=''m''<sup>2</sup>; '' <math>\scriptstyle{\sqrt{2}}</math> = m''/''n''.

Suposem que ''m'' i ''n'' són nombres [[nombre enter|enters]].

Es tracen els arcs ''BD'' i 'CE amb centre en el punt ''A''. S'uneix ''DE''. Llavors es té que ''AB''=''AD'', ''AC''=''AE'' i l'angle ∠''BAC'' coincideix amb ∠''DAE''. Per tant, els triangles ''ABC'' i ''ADE'' són congruents en tenir dos costats igual i l'angle comprès també.

Com que ∠''EBF'' és un angle recte i ∠''BEF'' és la meitat d'un recte, ''BEF'' és també un triangle rectangle isòsceles. Es compleix que ''BE''=''BF''=''m''-''n''. Raonant anàlogament, ''FDC'' és també un triangle rectangle isòsceles, amb catets ''DF''=''DC''=''m''-''n'' i amb hipotenusa ''FC''=''n''-(''m''-''n'')=2''n''-''m'', que són nombres també enters i menors que ''n'' i ''m'' respectivament. En ser ''ABC'' i ''FDC'' dos triangles semblants es pot repetir l'anterior procés de forma recurrent i es continuen obtenint triangles semblant de mides cada cop més petites. Amb les longituds de les hipotenuses i amb la dels catets, s'obtenen dues successions de nombres enters estrictament decreixents que no són finites, la qual cosa és impossible perquè si ''n'' i ''m'' són enters ha d'existir una [[fracció irreductible]]. Aquesta condició porta a concloure que la suposició que ''m'' i ''n'' són enters és falsa i que <math>\scriptstyle{\sqrt{2}}</math> no pot ser una fracció <math>\textstyle{\frac{m}{n}}</math> amb ''m'' i ''n'' enters, per tant, <math>\scriptstyle{\sqrt{2}}</math> ha de ser un nombre irracional<ref>http://blog.plover.com/math/sqrt-2-new.html</ref>

=== Demostració gràfica ===
[[Fitxer:Arrel de 2.jpg|miniatura|Demostració de la irracionalitat de l'arrel quadrada de dos per Alexander J. Hahn]]
Es parteix de la premissa que l'arrel de dos és un nombre racional, és a dir, que es compleix que:

:<math> \sqrt{2}=\frac{m}{n}\quad\rightarrow\quad 2=\frac{m^{2}}{n^{2}}\quad\rightarrow\quad 2n^{2}= m^{2}</math>

On la fracció ''m''/''n'' és una fracció irreduïble (''m'' i ''n'' són [[nombres coprimers|primers entre ells]]). Llavors, com s'indica en la imatge, el quadrat de ''m'' és igual a dues vegades el quadrat de ''n''. 

En posar els dos quadrats petits en els extrems oposats del quadrat gran, es tindrà que els dos quadrats petits se solapen en el quadrat central i deixen dos quadrats de costat ''m''-''n'' buits. Per tant, l'àrea del quadrat central, de costat 2''n''-''m'', haurà de ser el doble de l'àrea d'un dels quadrats de costat ''m''-''n''. Expressat matemàticament:

:<math>{(2n-m)}^{2}=2{(m-n)}^{2}\rightarrow\quad 2=\frac{{(2n-m)}^{2}}{{(m-n)}^{2}}\rightarrow\quad</math>

:::<math>\sqrt{2}=\frac{2n-m}{m-n}</math>

En aquest últim pas s'ha obtingut una fracció que és igual a l'arrel quadrada de dos on, tant numerador com denominador, són enters més petits que els originals, contradient la premissa inicial.

Vist d'una altra manera, aquest procediment es podria aplicar un nombre infinit de cops, obtenint dues sèries d'enters infinites estrictament decreixents (la de numeradors i la de denominadors). Com que és impossible l'existència d'una sèrie infinita d'enters estrictament negatius, llavors queda demostrada la irracionalitat de l'arrel quadrada de dos.<ref>{{Ref-llibre |cognom=Hahn |nom=Alexander J. |autor= |enllaçautor= |cognom2= |nom2= |autor2= |enllaçautor2= |cognom3= |nom3= |autor3= |enllaçautor3= |cognom4= |nom4= |autor4= |enllaçautor4= |cognom5= |nom5= |autor5= |enllaçautor5= |capítol= |urlcapítol= |editor= |títol=Basic Calculus: From Archimedes to Newton to its Role in Science |títoltraduït= |url=http://www3.nd.edu/~hahn/ |format= |consulta= |llengua=anglès |volum= |edició= |editorial=Springer Verlag & Key College |lloc= |data=17 |mes=juliol |any=1998 |pàgina= |pàgines= |col·lecció= |isbn=0387946063 |oclc= |doi= |lccn= |id= |citació= |ref= }}</ref>

Aquesta demostració s'atribueix al matemàtic americà Alexander J. Hahn.<ref name="Cut the knot">{{ref-web |url=http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml#Hahn |títol=Square root of 2 is irrational ''from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles'' |consulta=6 abril 2015 |obra= |editor=A. Bogomolny (Cut the Knot) |data= |llengua=anglès }}</ref>

=== Mitjançant el nombre platejat ===
Si l'arrel de dos és un nombre racional, llavors δ<sub>s</sub> = 1 + √2 també ho és. Aquest nombre rep el nom de [[nombre platejat]]. Llavors es tindrà que:

:<math>\delta_{s}=\frac{p}{q}</math> 

per ''p'' i ''q'' nombres enters i ''q'' mínim. Llavors es té que:

:<math> 1<\sqrt{2}<2\quad\rightarrow\quad 2<\delta_{s}<3\quad\rightarrow\quad 2q<p<3q\quad\rightarrow\quad 0<p-2q<q</math>

Clarament:

:<math>\delta_{s}(\delta_{s}-2)=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1</math>

i llavors:

:<math>\frac{1}{\delta_{s}}=\delta_{s}-2=\frac{p}{q}-2=\frac{p-2q}{q}\quad\quad\text{i per tant}\quad\quad \delta_{s}=\frac{q}{p-2q}</math>

La restricció <math>p-2q<q</math> contradiu la premissa segons la qual ''q'' té un valor mínim.<ref>{{Ref-llibre |cognom=G. Moreno |nom=Samuel |autor= |enllaçautor= |cognom2=M. García-Caballero |nom2=Esther |autor2= |enllaçautor2= |cognom3= |nom3= |autor3= |enllaçautor3= |cognom4= |nom4= |autor4= |enllaçautor4= |cognom5= |nom5= |autor5= |enllaçautor5= |capítol= |urlcapítol= |editor= |títol=Am Math Monthly |títoltraduït= |url= |format= |consulta= |llengua=anglès |volum=120 |edició= |editorial= |lloc= |data= |mes=agost-setembre |any=2013 |pàgina=674 |pàgines= |col·lecció= |isbn= |oclc= |doi= |lccn= |id= |citació= |ref= }}</ref>

=== Pel teorema fonamental de l'aritmètica ===
Aquest argument parteix del [[teorema fonamental de l'aritmètica]] segons el qual per tot nombre [[nombre enter|enter]] ''a'' diferent de 0, 1 i -1 existeixen nombres [[nombre primer|primers]] positius ''p''<sub>1</sub>,...''p''<sub>''n''</sub> tals que ''a''= ± ''p''<sub>1</sub> · ''p''<sub>2</sub> ·...·''p''<sub>''n''</sub> i són únics llevat de l'ordre.

La parella (''p'', ''q'') tals que ''p''<sup>2</sup>=2''q''<sup>2</sup>, sent aquest cop arbitraris (per exemple, ''p'' i ''q'' no necessàriament mínims) la contradicció ve del fet que en la descomposició en producte de factors primers, ''p''<sup>2</sup> té un nombre parell de factors, i 2''q''<sup>2</sup> té un nombre imparell. Una variant consisteix a comptar únicament els factors iguals a 2. Aquest argument es pot generalitzar al cas de l'arrel quadrada d'un nombre enter qualsevol que no sigui un quadrat perfecte.<ref>{{Ref-llibre |cognom=Davis |nom=P. J. |enllaçautor= |coautors=R. K. Guy |títol=The Mathematical Experience |url= |editorial=Houghton Mifflin Company |lloc=Boston |data=1981 |isbn= |pàgina=299 }}</ref>

=== Demostració de Conway i Guy ===
Aquesta demostració es generalitza per tot nombre primer ''N''. Es parteix que ''N'' té una arrel racional, i que llavors:

:<math> \frac{B}{A}=\sqrt{N}\quad\rightarrow\quad \frac{B^{2}}{A^{2}}=N \quad\rightarrow\quad\frac{B}{A}=N\frac{A}{B}\quad\rightarrow\quad \frac{B/N}{A}=\frac{A}{B}</math>

partint de ''A'' i ''B'' nombres [[nombres coprimers|primers entre ells]] i ''A'' mínim. Si ara se substitueix ''B''/''N'' per ''a'' i ''A'' per ''b'' s'obté:

:<math>\frac{a}{A}=\frac{b}{B}\quad\rightarrow\quad\frac{b}{a}=\frac{B}{A}=\sqrt{N}</math>

on ''b''=''A'' és més petit que ''B'' i per tant ''a'' és més petit que ''A''. Es contradiu, doncs, la premissa segons la qual el valor d'''A'' era mínim.<ref>{{Ref-llibre |cognom= Conway |nom= J.H. |cognom2= Guy |nom2= R.K. |títol= The Book of Numbers |editorial= Copernicus |data= 16 març 1995 |isbn= 978-0387979939 }}</ref>

=== Expressió decimal ===
Una altra demostració que es pot extrapolar a arrels d'altres enters no quadrats perfectes és la que proposa l'informàtic americà Alan Cooper, segons la qual en elevar un nombre decimal finit al quadrat mai no desapareix la part decimal. Això es veu més clar quan s'observa l'últim dígit decimal diferent de 0. Aquest dígit és l'únic responsable que el quadrat del nombre sigui també un nombre decimal, i, per tant, no pugui ser igual a un nombre enter.

L'argument es pot generalitzar i arribar a la conclusió que l'arrel d'un nombre [[nombre enter|enter]] [[nombre positiu|positiu]] mai no serà un nombre racional decimal. O bé serà un enter, o bé serà un nombre irracional.<ref name="Cut the knot"/>

=== Per màxim comú divisor ===
Clarament:

:<math> 1^{2}<2<2^{2}</math>

Com que 2 es troba entre dos quadrats d'enters seguits, la seva arrel no pot ser un nombre enter. Se suposa ara que l'arrel de dos és racional, i llavors:

:<math>\sqrt{2}=\frac{m}{n}, \quad \quad 1>n>m>2n; \quad \quad   m,n \in  \N </math>

Llavors com que ''m'' és més gran que ''n'', es pot escriure:

:<math>m=n+r, \quad  \quad n>r, \quad  \quad r \in \N</math>

Es defineix doncs:

:<math> \sqrt{2}=\frac{n+r}{n}; \quad \quad g=mcd(n,r); \quad \quad n=gs,\quad \quad r=gt;</math>

:<math>\quad \text{amb} \quad  s>t; \quad \quad mcd(s,t)=1; \quad \quad g, s, t \in \N</math>

on ''mcd'' fa referència al [[màxim comú divisor]]. Noti's que, en ser diferent d'1 el màxim comú divisor de ''n'' i ''r'' llavors ''m'' i ''n'' no són necessàriament nombres [[nombres coprimers|primers entre ells]], ja que poden tenir de divisor comú ''g'' diferent d'1. Llavors, dividint entre ''g'' tots els elements de la fracció, es té que:  

:<math> \sqrt{2}=\frac{s+t}{s}</math>  

S'ha obtingut una nova expressió en fracció de l'arrel de dos, on clarament ''s'' és més petit que ''n'' (en ser ''s'' divisor de ''n'') i ''s''+''t'' és més petit que ''m'' (en ser ''m'' igual a ''n''+''r'', i ser ''s'' divisor de ''n'' i ''t'' divisor de ''r''). S'han obtingut, per tant, dos valors més petits dels quals es partia, i en poder-se repetir aquest procediment infinites vegades, es poden obtenir dues sèries d'enters infinites i estrictament decreixents, suposició absurda.<ref>{{ref-web |url=http://www.cut-the-knot.org/proofs/Nimbran.shtml |títol=The Very Last, for 2014, proof of the Irrationality of sqrt(2) |consulta=7 abril 2015 |obra=Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles |editor=Alexander Bogomolny |data= |llengua=anglès }}</ref>

Aquesta demostració és una adaptació de la proposada per Amrik Singh Nimbran l'any 2014.<ref>{{Ref-llibre |cognom=Singh Nimbran |nom=Amrik |enllaçautor= |coautors= |títol=American Mathematical Monthly, Vol. 121, No. 10, p.964 |url= |editorial= |lloc= |data= |isbn= }}</ref>

=== Per tenir fracció contínua infinita ===
Se sap que si <math>[a_{0};a_{1},a_{2}\dots]</math> és una fracció contínua infinita amb ''a''<sub>''k''</sub>>0 i ''k''≥1, llavors el seu valor és un nombre irracional. A més, cada nombre irracional ''x'' té una única expansió en fracció contínua infinita.<ref>{{ref-web |url=http://www.millersville.edu/~bikenaga/number-theory/infinite-continued-fractions/infinite-continued-fractions.html |títol=Infinite Continued Fractions |consulta=7 abril 2015 |obra=Millers Ville |editor=Bruce Ikenaga |data=2010 |llengua=anglès }}</ref><ref>{{Ref-llibre |cognom=Rudin |nom=Walter |enllaçautor= |coautors= |títol=Principles of Mathematical Analysis (3a edició) |url= |editorial=McGraw-Hill Book Company |lloc=Nova York |data=1976 |isbn= }}</ref>

=== Per congruències ===
Se sap que en elevar un nombre ''n'' al quadrat s'obté un nombre que o bé és divisible per 3, o bé és de la forma 3''k''+1 (''n''<sup>2</sup> és congruent o bé amb 1 o bé amb 0 mòdul 3). Això depèn de si el ''n'' és divisible per 3. Si l'arrel de dos és un nombre racional, es pot expressar com la fracció irreduïble de dos enters tals que es compleix que:

:<math> a^2=2b^2</math>

Llavors a banda i banda de la igualtat no hi pot haver el mateix residu en dividir per 3.<ref>{{ref-web |url=http://gaussianos.com/una-demostracion-geometrica-de-la-irracionalidad-de-raiz-de-2/ |títol=Una demostración geométrica de la irracionalidad de raíz de 2 |consulta=7 abril 2015 |obra= |editor=Gaussianos |data= |llengua=espanyol }}</ref> S'analitzen a continuació els diferents casos:

* <math>a^2 \equiv 0 \pmod 3; \quad b^2 \equiv 0 \pmod 3\quad \rightarrow \quad .</math>  Llavors ''a'' i ''b'' són divisibles per 3 i no són [[nombres coprimers|primers entre ells]].

*<math>a^2 \equiv 0 \pmod 3; \quad b^2 \equiv 1 \pmod 3\quad \rightarrow \quad .</math> Llavors el 2''b''<sup>2</sup> és congruent a 2 mòdul 3 i no pot ser igual a ''a''<sup>2</sup>.

*<math>a^2 \equiv 1 \pmod 3; \quad b^2 \equiv 0 \pmod 3\quad \rightarrow \quad .</math> Llavors ''a''<sup>2</sup> no pot ser igual a 2''b''<sup>2</sup> perquè ''a''<sup>2</sup> i 2''b''<sup>2</sup> tenen residus diferents en ser dividits per 3.

*<math>a^2 \equiv 1 \pmod 3; \quad b^2 \equiv 1 \pmod 3\quad \rightarrow \quad .</math> Llavors ''a''<sup>2</sup> no pot ser igual a 2''b''<sup>2</sup> perquè ''a''<sup>2</sup> i 2''b''<sup>2</sup> tenen residus diferents en ser dividits per 3.

Aquesta demostració es deu al matemàtic argentí Enzo Gentile (1928-1991)<ref>{{ref-web |url=http://demairena.blogspot.com.es/2006/10/1199-irracionales.html |títol=1199.- Irracionales |consulta=7 abril 2015 |obra= |editor=Juan de Mairena |data=30 d'octubre de 2006 |llengua=espanyol }}</ref>

=== Aritmètica modular ===
Gustave Robson va publicar una breu demostració seguida de la següent observació:"<ref>{{Ref-llibre |cognom=Robson |nom=Gustave |autor= |enllaçautor= |cognom2= |nom2= |autor2= |enllaçautor2= |cognom3= |nom3= |autor3= |enllaçautor3= |cognom4= |nom4= |autor4= |enllaçautor4= |cognom5= |nom5= |autor5= |enllaçautor5= |capítol=4 |urlcapítol= |editor= |títol=Am Math Monthly |títoltraduït= |url= |format= |consulta= |llengua=anglès |volum=63 |edició= |editorial= |lloc= |data= |mes=abril |any=1955 |pàgina=247 |pàgines= |col·lecció= |isbn= |oclc= |doi= |lccn= |id= |citació= |ref= }}</ref>''La següent demostració va ser inventada per Robert James Gauntt l'any 1952, quan era estudiant de primer any a Purdue. No vaig ser capaç de convèncer-lo de publicar ell mateix la seva demostració.''"

L'equació <math>a^{2}=2b^{2}</math> no pot tenir una solució no trivial en enters perquè, en base 3, l'últim dígit diferent de 0 d'un quadrat ha de ser 1, mentre que l'últim dígit diferent de 0 del doble d'un quadrat és sempre 2.

== Construccions geomètriques ==
=== Construcció d'√2 amb regle i compàs ===
[[Fitxer:Square root of two with ruler and compass.svg|miniatura|Construcció amb regle i compàs.</center>]] Com totes les arrels quadrades de nombres enters, √2 és [[nombre construïble|construïble amb regle i compàs]]; tot i així, no és el cas de l'[[arrel cúbica]] de 2, per exemple.<ref>Vegeu [[Duplicació del cub]]</ref>

Tingui el [[segment]] donat AB longitud unitat, a continuació es tenen els passos a seguir per construir un segment de longitud √2 amb un [[regle]] no graduat i un [[compàs]]:
# Trobar el punt B', simètric a B, fent un arc C<sub>1</sub> des del punt A de radi AB i prolongant el costat AB.
# Traçar la [[mediatriu]] [AH] del costat [BB']
#* Traçar un arc C<sub>2</sub> de centre B i radi ''r''>AB.
#* Traçar l'arc C<sub>3</sub> de centre B' i radi ''r'' igual al radi usat en el pas anterior. Tallarà l'arc C<sub>2</sub> en el punt H.
#* La distància entre el punt B i el punt C (intersecció de l'arc C<sub>1</sub> i [AH]) és igual a l'arrel de 2.

=== Construcció de l'√2 només amb compàs ===
[[Fitxer:Square root of two with compass only.svg|miniatura|Construcció només amb compàs]]
Com tot nombre [[Construcció amb regle i compàs|construïble amb regle i compàs]], i segons el [[teorema de Mohr-Mascheroni]], √2 és construïble només amb regle. Un possible procediment a seguir en la construcció és:
# Partint del segment AB de longitud la unitat, traçar els següents arcs de radi AB:
#* L'arc C<sub>1</sub> de centre A.
#* L'arc C<sub>2</sub> de centre B, que tallarà C<sub>1</sub> en dos punts, sigui G un d'ells.
#*L'arc C<sub>3</sub> de centre G, que tallarà C<sub>1</sub> en dos punts, B i H.
#*L'arc C<sub>3</sub> de centre H, que tallarà C<sub>1</sub> en dos punts, G i I.
# Construir un trianlge ABC que tindrà d'hipotenusa BC=√3 i de catets AB=1 i AC= √2 ([[Teorema de Pitàgores]]):
#* Traçar l'arc C<sub>5</sub> de centre I i de radi IG.
#* Traçar l'arc C<sub>6</sub> de centre B i radi BH (=IG), que tallarà C<sub>5</sub> en el punt C.
La longitud del segment AC té una longitud igual a l'√2.

== Mètodes numèrics d'aproximació ==
√2 val aproximadament 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990 732 478 462 107 038 850 387 534 327 641 572 7

El càlcul d'un valor aproximat a √2 ha estat durant segles una quimera matemàtica. Aquesta recerca ha permès perfeccionar els algorismes de càlcul d'extracció d'arrels quadrades. En informàtica, aquesta recerca es fa per tal d'optimitzar aquests algorismes i reduir el temps de càlcul i el consum de memòria.<ref name="appro"/>

Els [[Càlcul numèric|mètodes numèrics]] d'aproximació que es presenten a continuació són destinades al càlcul d'un nombre significatiu de xifres decimals. Es basen generalment en [[successió (matemàtiques)|successions]] convergents de [[nombre racional|nombres racionals]]. Les millors aproximacions per sèries racionals del tipus ''p''<sub>''n''</sub>/''q''<sub>''n''</sub> donrn un error de l'ordre de 1/''q''<sub>''n''</sub><sup>2</sup>.

=== Mètodes de convergència lineal ===

;Mètode de Teo d'Esmirna:
Es deuen al matemàtic grec [[Teó d'Esmirna]] les sèries (''p<sub>n</sub>'') i (''q<sub>n</sub>'') definides per les recurrències:

:<math> p_{n+1}=p_{n}+2q_{n}; \quad p_{0}=1; </math>

:<math> q_{n+1}=p_{n}+q_{n}; \quad q_{0}=1; </math>

Els termes de les sèries tenen valors enters estrictament positius, atès que són estricatament creixents, complint que:

:<math> p_{n}^{2}-2q_{n}^{2}=\left(-1\right)^{n}\left(p_{0}^{2}-2q_{0}^{2}\right)</math>

de manera que ''p''<sub>''n''</sub>/''q''<sub>''n''</sub> tendeix a √2 per valors grans de ''n''.

No se sap si la intenció de Teó d'Esmirna era la de calcular un valor aproximat a l'arrel de 2.

Aquest algorisme també és anomenat de vegades <strong>algorisme de Bhaskara-Brouncker</strong>.<ref>{{ref-web |url=http://mathworld.wolfram.com/SquareRootAlgorithms.html |títol=Square Root Algorithms |consulta=10 abril 2015 |obra= |editor=Wolfram MathWorld |data= |llengua=anglès }}</ref>


;Solucions a l'equació diofàntica ''a''²− 2''b''² <nowiki>=</nowiki> ''k'':
Les solucions enteres de l'equació ''a''² − 2''b''² = ''k'' són generades a partir de la iteració: 

:<math>a_{m+1}=3a_{m}+4b_{m}</math>

:<math>b_{m+1}=2a_{m}+3b_{m}</math>
 
a partir dels valors inicials (''a''<sub>0</sub>, ''b''<sub>0</sub>) = (1, 1) per ''k'' = −1 i (3, 2)  per ''k'' = 1.
a partir dels valors inicials(''a''<sub>0</sub>, ''b''<sub>0</sub>) = (1, 1) per ''k'' = −1 i (3, 2) per ''k'' = 1.

Aquest mètode és deduït del de Teó: cada iteració d'aquesta correspon a dues de la de Teó. Per tant, ''a''<sub>''n''</sub> /''b''<sub>''n''</sub>
tendeix linealment a l'√2.

Les primeres solucions són: 
* ''k'' = −1 :&nbsp; (1, 1),&nbsp; '''(7, 5)''',&nbsp; (41, 29),&nbsp; (239, 169),&nbsp; (1393,985),
* ''k'' = &nbsp; 1 :&nbsp; (3, 2),&nbsp; (17, 12),&nbsp; '''(99, 70)''',&nbsp; (577, 408),&nbsp; (3363, 2378).

Les dues aproximacions en negreta van ser utilitzades pels agrimensors antics:
* 28 : 20&nbsp; (o 7 : 5) amb un error relatiu del –1,0051%, va ser breument usada a principis del [[Mil·lenni III aC|tercer mil·lenni abans de Crist]] pels egipcis antics.
* 99 : 70&nbsp; amb un error relatiu de +0,0051%, al llarg de la història i en molts països en la triangulació racional del quadrat segons els agrimensors.


;Mètode de Teó generalitzat:
Es donen ''a'' i ''b'' obtinguts mitjançant el mètode de Teó que són, doncs, solucions d'una de les dues [[equacions diofàntiques]] ''2b''<sup>2</sup>=''a''<sup>2</sup>–''k'', amb ''k''=±1 i K>1. Es pot, llavors escriure:

:<math> \sqrt{2}=\frac{a}{b}\sqrt{\frac{K}{(K+k)}}</math>

Les sèries ''p''<sub>''n''</sub> i ''q''<sub>''n''</sub> definides per:

:<math> p_{n+1}=(2K+k)p_{n}+2Kq_{n},\quad p_{0}=1;</math>

:<math> q_{n+1}=(2K+2k)p_{n}+(2K+k)q_{n},\quad q_{0}=1.</math>

verifiquen que:

:<math>(K+k)p_{n+1}^{2}-Kq_{n+1}^{2}= (K+k)p_{n}^{2}-Kq_{n}^{2}=\dots=k;</math>

llavors, de la mateixa manera que més amunt, la sèrie ''p''<sub>''n''</sub>/''q''<sub>''n''</sub> convergeix a <math>\scriptstyle{\sqrt{K/(K+k)}}</math>=(b/a)<math>\scriptstyle{\sqrt{2}}</math>. A més, si ''k''=1, aquesta sèrie és creixent i s'apropa a aquest valor per defecte; i si ''k''=-1, és decreixent i s'apropa doncs al valor per excés.

Es pot utilitzar aquesta relació per estimar l'error, que ve donat per:

:<math> \epsilon_{n+1}\approx\epsilon_{n}{(4K+3k)}^{-2}</math>

és un augment si k=1. La [[Convergència (successió matemàtica)|convergència]] és doncs lineal: es guanya una xifra decimal de la constant per a cada iteració.

Aquest mètode correspon a una generalització del mètode del paràgraf anterior al radical <math>\scriptstyle{\sqrt{K/(K+k)}}</math>. Per valor molt gran de K, la sèrie (''q''<sub>''n''</sub>) creix més ràpidament, doncs la convergència és accelerada.

::{| class="wikitable"
|+ ''Primeres aproximacions d'√2 = 17/12 √(288/289) per aproximació lineal d'√(288/289). Els paràmetres són a = 17, b = 12, K = 288, k = 1. Es té <br /> ε<sub>n + 1</sub> < 7,5 × 10<sup>-7</sup>ε<sub>n</sub> &nbsp; (abans aproximació decimal de quocients).''
|-style="text-align: center"
| Iteració || Valor fraccionari || Decimals exactes
|-
| <center>0</center> || <center>1</center> || <center>1</center>
|-
| <center>1</center> || <center>{{formatnum:19601}}/1{{formatnum:3860}}</center> || <center>1,414 213 56</center>
|-
| <center>2</center> || <center>{{formatnum:22619537}}/{{formatnum:15994428}}</center> || <center>1,414 213 562 373 09</center>
|-
| <center>3</center> || <center>{{formatnum:26102926097}}/{{formatnum:18457556052}}</center> || <center>1,414 213 562 373 095 048 80</center>
|-
| <center>4</center> || <center>{{formatnum:30122754096401}}/{{formatnum:21300003689580}}</center> || <center>1,414 213 562 373 095 048 801 688 72</center>
|}


;Desenvolupament en fracció contínua:
Un altre mètode consisteix a aproximar ''b''√2 - ''a'' per la seva [[fracció contínua]] generalitzada per valors de ''a'' i ''b'' solucions de l'equació diofàntica 2''b''<sup>2</sup> = ''a''<sup>2</sup> – ''k'', amb ''k'' = ± 1 : 

:<math>b\sqrt{2}-a=\left[0; -k, 2a; -k, 2a; -k, 2a \dots\right]</math>

és aproximat amb l'ajuda de la sèrie (''p''<sub>''n''</sub>/''q''<sub>''n''</sub>) determinada per la relació de recurrència:

:<math>p_{n+1}=q_{n}</math>
:<math>q_{n+1}=2aq_{n}+kp_{n}</math>

L'error verifica [[asímptota|asimptòticament]]:

:<math> \epsilon_{n+1} < \frac{\left|b\sqrt{2}-a\right|}{({2a-1})\epsilon_n}</math>

::{| class="wikitable"
|+ ''Primeres aproximacions d'√2 per aproximació lineal de 169√2 − 239. Els paràmetres són b = 169, a = 239, k = 1, ε<sub>n + 1</sub> ~ 4 × 10<sup>−6</sup> ε<sub>n</sub>.''
|-style="text-align: center"
| Iteració || Valor fraccionari || Decimals exactes
|-
| <center>0</center>     ||     <center>1</center> || <center>1</center>
|-
| <center>1</center>     ||    <center>{{formatnum:114243}}/{{formatnum:80782}}</center> || <center>1,414 213 562</center>
|-
| <center>2</center>     ||    <center>{{formatnum:54608393}}/{{formatnum:38613965}}</center> || <center>1,414 213 562 373 09</center>
|-
| <center>3</center>      ||    <center>{{formatnum:26102926097}}/{{formatnum:18457556052}}</center> || <center>1,414 213 562 373 095 048 80</center>
|-
| <center>4</center>      ||   <center>{{formatnum:12477253282759}}/{{formatnum:8822750406821}}</center> || <center>1,414 213 562 373 095 048 801 688 7</center>
|}


;Desenvolupament en sèrie entera:
Es donen ''a'' i ''b'' solucions de l'[[equació diofàntica]] ''2b''<sup>2</sup>=''a''<sup>2</sup>–''k''=K, amb ''k''=±1. Es pot, llavors escriure <math>\scriptstyle{\sqrt{K/(K+''k'')}}</math> com a suma d'una [[Sèrie (matemàtiques)|sèrie]] a través del desenvolupament en [[sèrie de potències enteres]] de (1+''z'')<sup>-1/2</sup>:

: <math>\sqrt{ \frac{\mathrm{K}}{\mathrm{K}+k} } = 1-\frac{1}{2} \frac{k}{\mathrm{K}}+\frac{1\times 3}{2\times 4} \left(\frac{k}{\mathrm{K}}\right)^2
-\frac{1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6} \left(\frac{k}{\mathrm{K}}\right)^3 + \dots</math>


Amb ''K'' = 50, i llavors <math>\scriptstyle{\sqrt{2}}</math> = (7/5)<math>\scriptstyle{\sqrt{50/49}}</math>, els primers termes de la sèrie són particularment simples, com ja va notar [[Leonhard Euler]], el [[1755]]:<ref>{{Ouvrage|lang=la|nom=Euler|titre=Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum|url=http://eulerarchive.maa.org/docs/originals/E212sec2ch4.pdf|volume=II|numéro chapitre=4|chapitre=De conversione functionum in series|page=292}}</ref>

: <math>\sqrt{2} = \frac{7}{5} \left( 1 + \frac{1}{100} + \frac{1\times 3}{1 \times 2} 10^{-4} + \frac{1\times 3\times 5}{1\times 2\times 3} 10^{-6} + \dots \right)=1,4+0,014+0,00021+0,0000035+\dots </math>


::{| class="wikitable"
|+ ''Aproximació  √2 = (239/169)<math>\scriptstyle{\sqrt{57122/57121}}</math> pel desenvolupament en sèrie d'enters del radical fraccional. Els paràmetres són b = 239, a = 169, K = 57122, k = –1.''
|-style="text-align: center"
| Iteració || Valor fraccionari || Decimals exactes
|-
| <center><math>0</math></center> || <center><math>1</math></center> || <center><math>1</math></center>
|- 
| <center><math>1</math></center> || <center><math>\frac{239}{169}</math></center> || <center><math>1,4142</math></center>
|-
| <center><math>2</math></center> || <center><math>\frac{6238763163557}{4411471739168}</math></center> || <center><math>1,41421356237309</math></center>
|-
| <center><math>3</math></center> || <center><math>\frac{712741258857407103}{503984177369508992}</math></center> || <center><math>1,414213562373095048</math></center>
|-
| <center><math>4</math></center> || <center><math>.\quad \frac{325705649507622468308893}{230308673437608741128192}\quad .</math></center> || <center><math>. \quad 1,414213562373095048801688\quad .</math></center>
|}


;Dicotomia:
És possible aproximar el valor d'arrel de 2 mitjançant el mètode de bisecció. El mètode consisteix en un algoritme de recerca d'arrels que treballa dividint l'[[Interval (matemàtiques)|interval]] a la meitat i seleccionant el subinterval que conté l'arrel. Aquest mètode és de convergència lineal lenta, ja que es guanyen només tres decimals per a cada deu iteracions.

=== Mètodes de convergència quadràtica ===
El [[mètode de Newton]] aplicat a la funció arrel quadrada permet calcular el valor aproximat de √2 de manera iterativa amb una convergència quadràtica, és a dir doblant el nombre de xifres significatives per a cada iteració. La recurrència té la forma:

:<math>u_{n+1} = \frac{u_n}{2}+\frac{1}{u_n}</math>

Aquest algoritme es diu mètode d'Héron o mètode babilònic, ja que sembla que va ser aquest el que van utilitzar els babilonis per trobar els valors aproximats de les arrels quadrades.

Si es vol aproximar el valor d'√2 a fraccions successives ''p''/''q'' a partir dels valors inicials ''p''<sub>0</sub>=1 i q<sub>0</sub>=1, les recurrències de numerador i denominador són:

:<math> p_{n+1}=p_{n}^{2}+2q_{n}^{2}</math>
:<math> q_{n+1}=2p_{n}q_{n}</math>

::{| class="wikitable"
|+ ''Primeres  aproximacions d'√2 obtingudes amb fraccions successives''.
|-style="text-align: center"
| Iteració || Valor fraccionari       || Decimals exactes
|-
|         <center>0</center> ||                    <center>1/1</center>       || <center>1</center>
|-
|         <center>1</center> ||                  <center>3/2</center>       || <center>1</center>
|-
|         <center>2</center> ||                 <center>17/12</center>       || <center>1,41</center>
|-
|         <center>3</center> ||              <center>577/408</center>       || <center>1,41421</center>
|-
|         <center>4</center> ||        <center>665857/470832</center>       || <center>1,41421356237</center>
|-
|         <center>5</center> ||  <center>886731088897/627013566048</center> || <center>1,41421356237309504880168</center>
|}

L'any 2006, després que el seu ordinador treballés durant 13 dies, Shigeru Kondo va obtenir un resultat de l'arrel quadrada de dos amb dos-cents mil milions de decimals usant aquest algorisme. Només per a imprimir tots els dígits haurien calgut 100 milions de fulls de paper.<ref>Alsina:«La secta de los números» {{ISBN|978-84-473-6627-9}}</ref>

=== Mètodes cúbics ===
==== Mètode de Halley ====
Un exemple de mètode cúbic s'obté a partir de la [[Mètode de Halley|iteració de Halley]]. Es busca el zero de la funció ƒ(''x'' ) = ''x''² − 2 utilitzant les dues primeres [[derivada|derivades]]. La solució iterativa és:<ref>{{ref-web |url=http://math.stackexchange.com/questions/296102/fastest-square-root-algorithm |títol=Fastest Square Root Algorithm |consulta=18 abril 2015 |obra=Mathematics Stack Exchange |editor= |data=6 de febrer de 2013 |llengua=anglès }}</ref>

:<math>x_{n+1}= \frac{x_{n} (x_{n}^{2}+6)}{3x_{n}^{2}+2}</math>

si definim:''x''<sub>''n''</sub> = ''p''<sub>''n''</sub>/''q''<sub>''n''</sub> :

:<math>p_{n+1}=p_{n}\left(p_{n}^{2}+6q_{n}^{2}\right)</math>
:<math>q_{n+1}=q_{n} \left(3p_{n}^{2}+2q_{n}^{2}\right)</math>

Aquest mètode és de convergència cúbica, és a dir, per cada iteració el nombre de decimals exactes es triplica.

::{| class="wikitable"
|+ ''Primeres aproximacions d'√2 donades pel mètode cúbic''.
|-style="text-align: center"
| Iteració || Valor fraccionari || Decimals exactes
|-
|  <center>0</center> || <center>1</center> || <center>1</center>
|-
| <center>1</center> || <center>7/5</center> || <center>1,4</center>
|-
| <center>2</center> || <center>{{formatnum:1393}}/985</center> || <center>1,414 213</center>
|-
| <center>3</center> || <center>{{formatnum:10812186007}}/{{formatnum:7645370045}}</center> || <center>1,414 213 562 373 095 048</center>
|-
| <center>4</center> || <center>—</center>   || <center>1,414 213 562 373 095 048 8<br />{{formatnum:016887242096980785696}}<br />{{formatnum:718753769480731766797}}</center>
|}

==== Mètode de Householder ====
La iteració de Householder aplicada a ƒ(''x'' ) = 1/''x'' ² − 1/√2 dóna una sèrie convergent a 1/√2 :

:<math> x_{n+1}=x_{n}+\left(\frac{x_{n}}{8}\right) \left(\frac{2x_{n}^{2}-1}{6x_{n}^{2}-7}\right)</math>

==== Producte infinit ====
També existeix un mètode d'aproximació mitjançant un producte infinit. De manera general, l'arrel quadrada de ''z'' es pot expressar com:

:<math>\sqrt{2}=\left(1+\frac{2}{h_1}\right)\left(1+\frac{2}{h_2}\right)\left(1+\frac{2}{h_3}\right)\left(1+\frac{2}{h_4}\right)\dots</math>

on:

:<math>h_{n+1}= \frac{4z}{z-1} h_{1}^{2} h_{2}^{2} \dots h_{n}^{2}-3</math>

Explícitament, tenim:

:<math>h_{1}=\frac{z+3}{z-1}, \quad h_{2}=\frac{z^{3}+33z^{2}+27z+3}{{(z-1)}} </math>

:<math>h_{3}=\frac{z^{9}+315z^{8}+6084z^{7}+37212z^{6}+87390z^{5}+87642z^{4}+37044z^{3}+6156z^{2}+297z+3}{{(z-1)}^{9}} \quad     \dots</math>

En particular, quan ''z''=2:

:<math>\sqrt{2}=\left(1+\frac{2}{5}\right)\left(1+\frac{2}{197}\right)\left(1+\frac{2}{7761797}\right)\left(1+\frac{2}{467613464999866416197}\right)\dots</math>

La convergència és ràpida (ja que és cúbica).<ref>{{ref-web |url=http://www.ega-math.narod.ru/Nquant/Bauer.htm |títol=An Infinite Product for Square-Rooting with Cubic Convergence |consulta=12 abril 2015 |obra=The Mathematical Intelligencer |editor=F. L. BAUER |data= |llengua=anglès }}</ref>

=== Mètodes d'ordre superior ===
S'utilitza un [[mètode de Newton]] modificat<ref name="GOU01a">{{en}} [http://numbers.computation.free.fr/Constants/Algorithms/newton.html {{lang|en|''Newton's method and high order iterations''}}], Xavier Gourdon et Pascal Sebah, 2001<!--, visité le 24 août 2006-->.</ref> per trobar el zero de la funció ƒ(''x'' ) = 1/''x'' ² − 1/2. Aquesta dóna la sèrie recurrent següent:

:<math>x_{n+1}=x_{n}+\frac{x_{n}}{16}\left(8h_{n}+6h_{n}^{2}+5h_{n}^{3}\right)</math>

amb:

:<math>h_{n}=1-\frac{x_{n}^{2}}{2}</math>

Aquest mètode és de [[Taxa de convergència|convergència quàrtica]], és a dir de grau 4. El nombre de xifres significatives correctes es quadruplica a cada iteració.

::{| class="wikitable"
|+ ''Primeres aproximacions de l'√2 obtingudes amb el mètode quàrtic''.
|-style="text-align: center"
| Iteració || Valor fraccionari  || Decimals exactes
|-
| <center>0</center> || <center>3/2</center> || <center>1</center>
|-
| <center>1</center> || <center>{{formatnum:23169/2}}<sup>14</sup></center> || <center>1,414</center>
|-
| <center>2</center> || <center>{{formatnum:57367317478181003155381859082363}}/2<sup>105</sup></center> || <center>1,414 213 562 373 09</center>
|-
| <center>3</center> || <center>[...]</center> || <center>1,414 213 562 373 09<br />{{formatnum:5048801688724209}}<br />{{formatnum:6980785696718753}}<br />{{formatnum:76948073176679737}}</center>
|}
Existeixen mètodes d'aproximació d'ordre superior,<ref name="GOU01b">{{Lien web|langue=en|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Sqrt2/sqrt2.html|titre=Pythagoras’ Constant √2|auteur=Xavier Gourdon i Pascal Sebah|année=2001}}<!--, visité le 24 août 2006-->.</ref> especialment mitjançant els mètodes de Householder.

== Altres constants relacionades ==
=== Constant de Gelfond-Schneider ===
{{Article principal|Constant de Gelfond-Schneider}}
La [[constant de Gelfond-Schneider]], també anomenada '''nombre de Hilbert''' és igual a:

:<math>2^{\sqrt{2}}=2.6651441426902251886502972498731\ldots,</math><ref>{{OEIS|id=A007507}}</ref>

que és un [[nombre transcendent]], segons va demostrar el matemàtic rus Rodion Kuzmin l'any 1930.<ref>Kuzmin,R. O. "On a new class of transcendental numbers", Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. matem. 7, 1930, p.585–597,http://mi.mathnet.ru/eng/izv5316 </ref> L'any 1934, Alexandr Gelfond va demostrar mitjançant el '''teorema de Gelfond-Schneider''', el cas general de potències elevades a nombres irracionals algebraics, solucionant part del setè dels [[problemes de Hilbert]].<ref>Gelfond, Aleksandr "Sur le septième Problème de Hilbert", Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na, VII, p.623–634, 1934, http://mi.mathnet.ru/eng/izv4924</ref> Rep el nom dels matemàtics Theodor Schneider i Alexander Gelfond.

La constant de Gelfond-Schneider té com a [[fracció contínua]] és:
:<math>2^{\sqrt{2}}=[2;1,1,1,72,3,4,1,3,2,1,1,1,14,1,2,1,1,3,1,3,...]</math>

L'arrel quadrada d'aquesta constant té un valor de:

:<math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}} \approx 1.632526919438 \dots </math><ref>{{OEIS|id=A078333}}</ref>

=== Nombre platejat ===
{{Article principal|Nombre platejat}}
El nombre platejat (δs) és una constant matemàtica que ve definida com:<ref>{{ref-web |url=http://gaussianos.com/el-numero-plateado/ |títol=El número plateado |consulta=11 abril 2015 |obra= |editor=Gaussianos |data= |llengua=espanyol }}</ref>

:<math> \delta_s=1+\sqrt{2}</math>

Té la peculiaritat de tenir com a únic coeficient en la representació de fracció contínua el nombre 2, és a dir:

:<math>\delta_S = 2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}\, .</math>

És un nombre [[nombre irracional|irracional]] [[nombre algebraic|algebraic]] arrel del polinomi:

:<math>({x-1})^2-2=0 </math>

=== Proporció cordovesa ===
Un <strong>rectangle cordovès</strong> de costats <math> L_{1} \text{ i } L_2 </math> és aquell que compleix que:<ref>Doblado González, Marina (2003), ''La proporción cordobesa en la arquitectura'', Segundo Congreso Internacional de Matemáticas en la Ingeniería y la Arquitectura, pag. 359-262.</ref>

<center><math>
\frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}
</math></center>

El valor d'aquesta proporció és, aproximadament d'1,306562964 i és la denominada <strong>proporció cordovesa</strong> (o <strong>proporció humana</strong><ref>{{ref-web |url=http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/belleza/canoncordobes.htm |títol=La proporción humana, la razón cordobesa, el rectángulo cordobés y el número cordobés. |consulta=11 abril 2015 |obra=Descartes |editor=Ministerio de Educación, Cultura y Deporte |data=2004 |llengua=espanyol }}</ref>). Aquesta proporció matemàtica sorgeix com la relació entre el radi de la circumferència circumscrita a l'[[octàgon]] regular i el seu costat.<ref>{{ref-web |url=http://www.juntadeandalucia.es/averroes/html/adjuntos/2008/02/06/0001/arquimate/Razon/razon.htm |títol=Razón Cordobesa |consulta=18 abril 2015 |obra= |editor=Junta de Anadalucía |data= |llengua=espanyol }}</ref> Tenint en compte la relació és molt fàcil construir un rectangle cordovès, només cal fer la [[bisectriu]] d'un [[angle recte]] i es tindrà que el costat obtingut entre el radi és la proporció cordovesa. El valor d'aquesta proporció és inferior a la [[proporció àuria]].

L'arquitecte cordovès Rafael de La Hoz (1924-2000), en el seu estudi de les raons entre les dimensions de la [[Mesquita de Còrdova]] i en altres dissenys àrabs de la ciutat andalusa, es va trobar de manera reiterada aquesta proporció i va ser ell mateix qui la va batejar com la raó cordovesa.

=== Constant de Gauss ===
{{Article principal|Constant de Gauss}}
La constant de Gauss, anotada ''G'', és una constant que es defineix com el nombre [[invers]] de la [[mitjana aritmètico-geomètrica]] entre [[u (nombre)|1]] i l'arrel de 2.

: <math> G = \frac{1}{\mathrm{agm}(1, \sqrt{2})}= \frac{4 \sqrt{2} \,(\tfrac14 !)^2}{\pi ^{3/2}} \approx 0.8346268\dots. </math><ref>{{OEIS|id=A014549}}</ref>

La seva [[fracció contínua]] és:

: <math> G = [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 15, 1, 3, 8, 36, 1, 2, 5, 2,\dots.] </math> <ref>{{OEIS|id=A053002}}</ref>

Està relacionada amb les constants de la lemniscata i apareix en diverses identitats matemàtiques singulars. El matemàtic rus Yuri Nesterenko va demostrar la seva transcendència l'any 1992.<ref>{{ref-publicació|autor=Nesterenko, Y.|títol=Modular Functions and Transcendence Problems|publicació=Comptes rendus de l'Académie des sciences|Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique|volum=322|pàgines=909–914|any=1996|exemplar=10}}
</ref>

=== Constant parabòlica universal ===
[[Fitxer:Parabolic constant illustration v4.svg|right]]
La constant parabòlica universal (''P'') és una constant matemàtica que ve definida com la raó, per a qualsevol [[paràbola]], entre la [[longitud d'arc]] del segment parabòlic format amb el latus rectum i el paràmetre focal. En el dibuix, la longitud d'arc és la part vermella; el latus rectum és la corda paral·lela a la directriu que passa a través del focus, pintada de color blau; i el paràmetre focal ve definit com la distància entre el focus i la directriu, pintat de color verd.

El valor de ''P'' és:

: <math>P = \ln(1 + \sqrt2) + \sqrt2 \approx 2.29558714939\dots</math><ref>{{OEIS|id=A103710}}</ref>

=== Constant de Grothendieck ===
La constant de Grothendieck, anotada ''k''<sub>''R''</sub><ref>{{MathWorld|GrothendiecksConstant|Grothendieck's Constant}}</ref> ve definida com:<ref>{{ref-llibre|autor= Joe Diestel
|títol= Absolutely Summing Operators
|url= http://books.google.com/?id=pHqyRSdgVTsC&pg=PA29&lpg=PA29&dq=1.782+GROTHENDIECK#v=onepage&q=1.782%20GROTHENDIECK&f=false
|any= 1995 
|editorial= Cambridge University Press
|isbn= 0-521-43168-9
|pàgina= 29
}}</ref>

:<math>k_{R}=\frac{\pi}{2 \ln {(1+ \sqrt{2})}} \approx 1.78221397819136 \dots</math><ref>{{OEIS|id=A088367}}</ref>

=== Angle màgic ===
[[Fitxer:Magic angle.png|miniatura|Angle màgic]]       
L'angle màgic (θ<sub>m</sub>) és un angle definit amb precisió. El [[funcions trigonomètriques|cosinus]] d'aquest angle és una solució del polinomi de Legendre de segon ordre (<math>P_2(\cos\theta_{m})=0 \,</math>).   

: <math>  \theta_m = \rm{arctan}\sqrt{2} = \rm{arccos}\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.95532 rad \approx 54.7^\circ </math> <ref> {{OEIS|id=A195696}} </ref>

on ''arcos'' i ''arctan'' són les [[funció inversa|funcions inverses]] al cosinus i a la tangent respectivament. Aquesta constant té aplicacions en medicina.<ref> {{ref-publicació|autor=Bydder M, Rahal A, Fullerton G, Bydder G |títol=The magic angle effect: a source of artifact, determinant of image contrast, and technique for imaging |publicació=Journal of magnetic resonance imaging|volum=25 |exemplar=2 |pàgines=290–300 |data=2007 |pmid=17260400 |doi=10.1002/jmri.20850}} </ref>

=== Constant deliana ===
{{Article principal|Constant deliana}}
Si elevem l'arrel quadrada de dos a 2/3, obtindrem l'arrel cúbica de 2, també anomenada, constant deliana:

:<math> {\sqrt{2}}^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{2} \frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}</math>

És una constant que apareix en el problema de la [[duplicació del cub]] com la raó entre l'aresta d'un cub i l'aresta d'un cub de volum la meitat. El seu valor és:     
:<math>\sqrt[3]{2}= 1, 2599210498948 \dots</math><ref>{{OEIS|id=A002580}}</ref>  

i la seva fracció contínua és:    

:<math>\sqrt[3]{2}=[1; 3, 1, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 8, 1, 14, 1, 10, \dots]</math><ref>{{OEIS|id=A002945}}</ref>

La constant deliana no és un [[nombre construïble|nombre euclidià]] però és un [[nombre algebraic]] de grau 3.<ref>{{ref-web |url=http://mathworld.wolfram.com/DelianConstant.html |títol=Delian Constant |consulta=6 abril 2015 |obra= |editor=Wolfram MathWorld |data= |llengua=anglès }}</ref> La constant es coneix des de l'antiguitat i deu el seu nom a la llegenda que va donar origen al problema de la duplicació del cub, que, de fet, també es diu problema de Delos. Els habitants de la ciutat de Delos s'havien vist afectats per una epidèmia, i l'[[oracle de Delfos]] havia requerit la construcció d'un altar del doble del volum del que existia a la ciutat.

== Identitats notables ==
L'arrel quadrada de dos apareix també en diverses identitats singulars:

:<math>n! \sim \sqrt{2} \sqrt{ \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n\!</math> (aproximació de Stirling)<ref>{{ref-web |url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/math/stirling.html |títol=Stirling's Approximation for n! |consulta=18 abril 2015 |obra=Hyper Physics |editor= |data= |llengua=anglès }}</ref>
<br />

:<math>\pi = \frac{\Gamma\left({1/4}\right)^{4/3} \mathrm{agm}(1, \sqrt{2})^{2/3}}{2}\!</math> (on agm és la [[Mitjana aritmètico-geomètrica]])
<br />

:<math> \sqrt{2} = \frac{\pi}{\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1 - x^4}}} - 1</math>
<br />

: <math>\int_{-\infty}^\infty x^{2(n+1)}e^{-x^{2}/2}\,dx=\frac{(2n+1)!}{2^{n}n!}\sqrt{2 \pi} \quad n=0,1,2,\ldots </math>
<br />

: <math>\int_0^\infty \frac{\sin x}{\sqrt x}\ dx=\int_0^\infty \frac{\cos x}{\sqrt x}\ dx=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2}}</math>
<br />

Fórmules derivades de la fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe:<ref>{{ref-web |url=http://mathworld.wolfram.com/BBP-TypeFormula.html |títol=BBP-Type Formula |consulta=18 abril 2015 |obra=Wolfram MathWorld |editor=Eric Weisstein |data= |llengua=anglès }}</ref>

:<math> \pi \sqrt{2}\ =\ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{8^k}\left(\frac{4}{6k+1}+\frac{1}{6k+2}+\frac{1}{6k+3}\right)=\ 4 \sum_{k=0}^\infty ({-1})^{k} \left(\frac{1}{4k+1}+\frac{1}{4k+3}\right)=</math>


:<math>= \frac{1}{64} \ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{512^k}\left(\frac{256}{8k+1}+\frac{64}{6k+3}+\frac{64}{18k+5}-\frac{32}{18k+7}-\frac{8}{18k+9}-\frac{8}{18k+11}+\frac{4}{18k+13}+\frac{1}{18k+15}+\frac{1}{18k+17}\right)= </math> 


:<math>=\ 4 \sum_{k=0}^\infty ({-1})^{k}\left(\frac{1}{12k+1}+\frac{1}{12k+3}-\frac{1}{12k+5}-\frac{1}{12k+7}+\frac{1}{12k+9}+\frac{1}{12k+11}\right)</math>

== √2 en altres àmbits ==
=== Arquitectura ===
[[Fitxer:Parc Güell, sostre de trencadís.jpg|miniatura|Detall del sostre de trencadís de la [[Sala de les Cent Columnes]]
Les columnes estan situades en els centres de les quadrícules, per tant les diferents distàncies entre les columnes tenen una raó d'arrel de dos]] 
Com a proporció recurrent en geometria, l'arrel de 2 apareix amb freqüència en l'arquitectura. Un exemple d'això el trobem al [[Park Güell]] de Barcelona, obra de l'arquitecte [[Antoni Gaudí]].<ref>{{Ref-llibre |cognom=Alsina |nom=Claudi |enllaçautor= |coautors= |títol=La secta de los números |url= |editorial=RBA |lloc= |data=2010 |isbn=978-84-473-6627-9 }}</ref> Entre la natura del parc, l'arquitecte va crear una sèrie d'espais singulars integrats a la perfecció. L'element principal de la composició és la sala hipòstila, coneguda amb el nom de [[Sala de les Cent Columnes]]. Les columnes semblen estar desordenades de manera irregular, però en realitat amaguen un secret matemàtic basat en l'arrel quadrada de 2. Gaudí va col·locar els centres superiors de les columnes en els vèrtexs d'una quadrícula obliqua.

=== Astrofísica ===
En [[astrofísica]], es defineix la velocitat d'un cos en una [[òrbita circular]] com:

:<math> v = \sqrt{ G M \over{r}} </math>

on ''G'' és la [[constant de la gravitació]], ''M'' és la [[massa]] de l'astre que crea el camp gravitatori i ''r'' és la distància entre el centre de masses del cos i l'astre respecte al qual s'orbita.

Un altre concepte relacionat és el de la [[velocitat d'escapament]] (''v''<sub>''e''</sub>), que es defineix com la velocitat mínima que un cos necessita per poder escapar de l'atracció del camp gravitatori. Ve definida com:<ref>{{ref-web |url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/vesc.html |títol=Escape Velocity |consulta=18 abril 2015 |obra=Hyper Physics |editor=R Nave |data= |llengua=anglès }}</ref>

:<math>v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \sqrt{2}\sqrt{\frac{GM}{r}}= \sqrt{2} v</math>

Això vol dir que la velocitat d'escapament és exactament <math>\sqrt{2}</math> vegades la velocitat del cos quan es manté a una òrbita circular.

=== Format del paper ===
{{article principal|Mida de paper}}
[[Fitxer:A size illustration.svg|miniatura|La raó entre la longitud i l'amplada d'un full de format A és una bona aproximació de l'√2]]
Els formats de paper A, B i C estàndard [[ISO 216]] van ser dissenyats per comprovar una propietat singular: un full tallat en dues parts iguals per la longitud, produeix dos fulls [[Semblança|semblants]] a l'original; és a dir, amb la mateixa proporció entre els seus costats diferents. Sent l'àrea disminuïda en un factor de 2. Això només es dóna quan la raó val √2; en la pràctica les dimensions són aproximades.

A continuació es mostren els valors aproximats dels formats de A0 a A6 en funció de √2.

::{| class="wikitable centre"
|+ ''Valors aproximats de les dimensions dels formats A0-A6 expressats en funció de √2.''
|-
! scope="col"| Format !! scope="col"| Longitud (m) !! scope="col"| Amplada (m) !! scope="col"| Àrea (m<sup>2</sup>})
|-
| <center>A0</center>     || <center><math>\sqrt{\sqrt{2}}</math></center>         || <center><math>\frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}</math></center>      || <center><math>1</math></center>
|-
| <center>A1</center>     || <center><math>\frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}</math></center>      ||  <center><math>\frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{2}</math></center>     || <center><math>\frac{1}{2}</math></center>
|-
| <center>A2</center>     || <center><math>\frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{2}</math></center>        ||  <center><math>\frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}}</math></center>  || <center><math>\frac{1}{4}</math></center>
|-
| <center>A3</center>     || <center><math>\frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}}</math></center>    || <center><math>\frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{4}</math></center>       || <center><math>\frac{1}{8}</math></center>
|-
| <center>A4</center>    || <center><math>\frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{4}</math></center>         || <center><math>\frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{4\sqrt{2}}</math></center>    || <center><math>\frac{1}{16}</math></center>
|}

Les sèries B i C difereixen a la sèrie A amb un factor d'√√2 (~ 1,19) i √√√2 (~1,09) respectivament.

Els factors d'expansió del 200%, el 141%, el 71%, el 50% proposats per les [[fotocopiadora|fotocopiadores]] són aproximacions de (√2)<sup>''n''</sup> que permeten passar a formats superiors i inferiors, sigui físicament o per impressió de 2<sup>''n''</sup> pàgines per full.

Noti's que en matemàtiques, s'escriu de manera més còmoda <math>\sqrt{\sqrt{2}} = \sqrt[4]{2} = 2^{1/4}</math> i <math>\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}} = \sqrt[8]{2} = 2^{1/8}</math>.

=== Música ===
La gamma de [[temperament igual]] es construeix així: la raó de proporció entre les [[Freqüència|freqüències]] de les notes extremes de l'[[Octava (música)|octava]] i l'escala és dividida en dotze semitons sent la raó entre les freqüències de dues notes consecutives qualssevol ƒ. La raó de freqüències entre la nota més alta i la més baixa en una octava és doncs ƒ<sup>&nbsp;12</sup> que val, com s'indica a continuació, 2. El semitò té, doncs, una raó de ƒ = 2<sup>1/12</sup>.
::{| class="wikitable"
|+ ''Raons de freqüències de les notes de l'escala respecte a la freqüència més baixa.''
|-
|style="width: 3em"| ''do''
|style="width: 3em"| ''do''♯
|style="width: 3em"| ''ré''
|style="width: 3em"| ''ré''♯
|style="width: 3em"| ''mi''
|style="width: 3em"| ''fa'' 
|style="width: 3em"| ''fa''♯ 
|style="width: 3em"| ''sol''
|style="width: 3em"| ''sol''♯
|style="width: 3em"| ''la''
|style="width: 3em"| ''la''♯
|style="width: 3em"| ''si''
|style="width: 3em"| ''do''
|-
|1
|2<sup>1/12</sup>
|2<sup>1/6</sup>
|2<sup>1/4</sup>
|2<sup>1/3</sup>
|2<sup>5/12</sup>
|√2
|2<sup>7/12</sup>
|2<sup>2/3</sup>
|2<sup>3/4</sup>
|2<sup>5/6</sup>
|2<sup>11/12</sup>
|2
|}
En aquest sistema, la [[quarta]] augmenntada (Do-Fa♯) i la [[quinta]] disminuïda (Do-Sol♭) són iguals i valen sis semitons. Tenen un ratio de freqüències d'√2. En el [[cant gregorià]] s'utilitza aquest interval, el [[tríton]]. Tot i així, a finals de l'[[edat mitjana]], l'interval és sistemàticament evitat perquè es considera massa dissonant. Va rebre, llavors, el nom de « {{lang|la|''Diabolus in Musica''}}».

=== Electricitat ===
[[Fitxer:sin.svg|miniatura|Tensió sinusoïdal : valor eficaç]]
En [[electricitat]], la [[valor eficaç|tensió eficaç]] U<sub>ef</sub> d'un [[corrent altern]] [[Sinusoide|sinusoïdal]] [[Sistema monofàsic|monofàsic]] (per exemple, els 110 V o els 220 V de corrent domèstic) està relacionada amb l'amplitud de la tensió màxima U<sub>max</sub> segons:

: U<sub>max</sub> = U<sub>eff</sub>√2, també anotat Û=U√2,

o, en les aplicacions més comunes:

: U<sub>eff</sub> = 0,7 U<sub>max</sub>.

Aquesta expressió és vàlida en general, pels valors efiacaços de mides lineals d'una ona sinusoïdal. Noti's també que:

:  {{nobr|20 log (U/√2)}} = {{nobr|20 log U - 20 log √2}} = {{nobr|20 log U - log ((√2)<sup>20</sup>)}} = {{nobr|20 log U - log {{formatnum:1024}}}} ≃ {{nobr|20 log U - 3}}.

Es parla d'amplada de banda a -3 decibels.
{{clr}}

=== Fotografia ===
[[Fitxer:Jdd diaphragme photo.jpg|miniatura|Diafragma controlant l'obertura d'una càmera de fotos]]
{{Article principal|Número f}}
Les obertures de les [[Càmera fotogràfica|càmeres fotogràfiques]] segueixen la seqüència normalitzada f/1,4, f/2 f/2,8 f/4 f/5,6 f/8 f/11 f/16 f/22, f/32, etc. La raó entre dues obertures consecutives és un valor proper a l'arrel de dos, que ha estat triat de tal manera que la raó de proporció del [[flux lluminós]] sigui del voltant de dos (ja que el flux és proporcional al quadrat del diàmetre). En disminuir l'obertura, es dobla el temps d'exposició necessària o disminueix amb un factor 2 la sensibilitat de la [[pel·lícula fotogràfica|pel·lícula]] necessària.<ref>{{Lien web|langue=en|url=http://www.uscoles.com/fstop.htm|titre=A Tedious Explanation of the f/stop|auteur=Matthew Cole|année=2005}}<!--(visité le 29 août 2006)-->.</ref>

A la pràctica, l'obertura indicada és un arrodoniment; l'obertura real pot estar més a prop de <math>\sqrt{2}</math>.<ref>{{Lien web|langue=en|url=http://tangentsoft.net/fcalc/help/|titre=ƒ/Calc Manual}}</ref> Existeixen subdivisions en les càmeres modernes, sovint amb raons de proporció de <math>\sqrt{\sqrt{2}}</math> o de <math>\sqrt{2}^{\frac{1}{3}}</math>.
{{clr}}
::{| class="wikitable" style="text-align: center"
|+ ''Relació entre l'obertura, el diàmetre del diafragma i el flux lluminós rebut a temps d'exposició i sensibilitats fixades.''
! style="text-align: left" | Obertura
| f/1,4 || f/2 || f/2,8 || f/4 || f/5,6 || f/8 || f/11 || f/16 || f/22 || f/32
|-
! style="text-align: left" | Diàmetre
| ''d'' || ''d''/√2 || ''d''/2 || ''d''/2√2 || ''d''/4 || ''d''/4√2 || ''d''/8 || ''d''/8√2 || ''d''/16 || ''d''/16√2
|-
! style="text-align: left" | Flux
| ''I'' || ''I''/2 || ''I''/4 || ''I''/8 || ''I''/16 || ''I''/32 || ''I''/64 || ''I''/128 || ''I''/256 || ''I''/512
|}

== Referències ==
<div class="reflist4" style="height: 250px; overflow: auto; padding: 3px" >
{{Referències}}
</div>

== Bibliografia ==
* {{ref-llibre|cognom=Flannery|nom=David|títol=The Square Root of Two|any=2005|editorial=Springer|id={{ISBN|0-387-20220-X}}}}
* {{ref-publicació |cognom=Fowler |nom=David |enllaçautor= |cognom2=Robson |nom2=Eleanor |autor2= |enllaçautor2= |cognom3= |nom3= |autor3= |enllaçautor3= |cognom4= |nom4= |autor4= |enllaçautor4= |cognom5= |nom5= |autor5= |enllaçautor5= |coautors= |article=Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context |url=https://math.berkeley.edu/~lpachter/128a/Babylonian_sqrt2.pdf |format=PDF |llengua= |consulta= 5 abril 2015|publicació=Historia Mathematica |editorial= |lloc= |volum=25 |exemplar=4 |data= |mes=novembre |any=1998 |pàgina= |pàgines=366-378 |issn= |doi= |citació= |ref= }}
* Gourdon, X. & Sebah, P. [http://numbers.computation.free.fr/Constants/Sqrt2/sqrt2.html Pythagoras' Constant: √2]. Inclou informació de com calcular els dígits d'√2.
* {{MathWorld|PythagorassConstant|Pythagoras's Constant}}
* Benoît Rittaud, ''Le Fabuleux Destin de √2'', Le Pommier, 2006, {{ISBN|2746502755}}
* Bertrand Hauchecorne et Daniel Suratteau, ''Des mathématiciens de A à Z'', Ellipses {{ISBN|978-2729846831}}
* {{Ouvrage|lang=en|titre=A Gardner's Workout: Training the Mind and Entertaining the Spirit|éditeur=A K Peters, Ltd.|lien auteur=Martin Gardner|prénom=Martin|nom=Gardner|année=2001|isbn=978-1-56881120-8|passage=9-19}}.

=== Història ===
* Henderson, David W., ''[http://www.math.cornell.edu/~dwh/papers/sulba/sulba.html Square Roots in the Sulbasutra]''
* {{ref-llibre|enllaçautor=Maurice Caveing|nom=Maurice|cognom=Caveing|títol=La figure et le nombre. Recherches sur les premières mathématiques des Grecs|editor=[[Presses universitaires du Septentrion]]|any=1998|pàgines=pàgs. 33-75|isbn=978-2-85939494-3|url=http://books.google.fr/books?id=T6CSoU9bMF8C}}
* Denis Daumas, « Sur la démonstration de l’irrationalité chez les grecs », in ''La démonstration mathématique dans l’histoire'', [[Institut de recherche sur l'enseignement des mathématiques|IREM]] de Lyon
* {{ouvrage|id=Fowler1999|langue=en|prénom1=David|nom1=Fowler|titre=The Mathematics of Plato’s Academy|sous-titre=A New Reconstruction|éditeur=Clarendon Press (Oxford Science Publications)|lieu= Oxford|année=1999|numéro édition=2|isbn=0 19 850258 3}}
* {{ouvrage|id=Knorr1975|langue=en|nom1=Wilbur Richard Knorr|titre=The Evolution of the Euclidean Elements A Study of the Theory of Incommensurable Magnitudes and its Significance for Early Greek Geometry|éditeur=D. Reidel Publishing Company|lieu=|pages= 374|année=1975|isbn=90 277 0509 7| url= http://books.google.fr/books?id=K1kK9zsD3LMC}}
* {{citar ref|prénom1=Ken|nom1=Saito|année=2004|langue=en|titre=Studies on proportion theory and incommensurability (introduction)|passage=187-189|titre ouvrage=Classics in the History of Greek Mathematics|auteur ouvrage=Jean Christianidis (ed.)|éditeur=Springer|isbn=978-90-481-5850-8}}.
* {{en}} Árpád Szabó, ''[https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics The Beginnings of Greek Mathematics]'', Springer, 1978 {{ISBN|978-9027708199}}.

== Vegeu també ==
* [[Duplicació del cub]].
* [[Nombre platejat]].
* [[Arrel quadrada]].
* [[Nombre irracional]].
* [[Arrel quadrada de 3]].

== Enllaços externs ==
{{Commonscat}}
* ''[http://www.math.univ-paris13.fr/~rittaud/RacineDeDeux Racine de 2]'', Benoît Rittaud (ressources en ligne autour du livre ''Le Fabuleux Destin de √2''<!--, consulté le 24 août 2006-->)
* {{MathWorld|nom_url=PythagorassConstant|titre=Pythagoras’s Constant}}<!-- (consulté le 23 août 2006)-->
* [http://a.leblanc5.free.fr/ ''Rationnel mon Q''], Ludmila Duchêne et Agnès Leblanc (démonstrations de l’irrationalité de racine de 2), [[Hermann (éditions)|Hermann]], 2009
{{autoritat}}

[[Categoria:Constants matemàtiques]]
[[Categoria:Nombres reals]]