Mostra la font per a Centre d'un grup

[[Fitxer:Center of Dihedral group of order 8 subgroup of S4.svg|miniatura|[[Taula de Cayley]] de [[Grup diedral d'ordre 8|Dih<sub>4</sub>]], el grup diedral d'ordre 8.<br />El centre és {0, 7}: la fila que comença per 7 és la [[Matriu transposada|transposada]] de la columna que comença per 7. Les entrades 7 són simètriques respecte a la diagonal principal]]
En [[àlgebra abstracta]], el '''centre''' d'un [[Grup (matemàtiques)|grup]] ''G'', denotat ''Z''(''G''),<ref group="nota">La notació ''Z'' prové de l'[[Idioma alemany|alemany]] ''Zentrum'', que significa "centre".</ref> és el [[Conjunt (matemàtiques)|conjunt]] d'elements que [[Propietat commutativa|commuten]] amb tot element de ''G''. Formalment,
:<math>Z(G) = \{z \in G \mid \forall g\in G, zg = gz \}</math>.

El centre és un [[subgrup]] de ''G'', que per definició és [[Grup abelià|abelià]] (és a dir, commutatiu). Com a subgrup, sempre és [[Subgrup normal|normal]] i [[Subgrup característic|característic]], però no sempre és [[Subgrup completament característic|completament característic]]. El [[grup quocient]] ''G''&nbsp;/&nbsp;''Z''(''G'') és [[Isomorfisme de grups|isomorf]] al grup d'[[Automorfisme intern|automorfismes interns]] de ''G''.

Un grup ''G'' és abelià [[si i només si]] ''Z''(''G'')&nbsp;=&nbsp;''G''.

==Propietats==
El centre de ''G'' és sempre un [[subgrup]] de ''G''. En particular:
# ''Z''(''G'') conté ''e'', l'[[element neutre]] de ''G'', perquè ''eg'' = ''g'' = ''ge'' per a tot ''g'' ∈ G per definició de ''e''; per tant, per definició de ''Z''(''G''), es té ''e'' ∈ ''Z''(''G'').
# Si ''x'' i ''y'' pertanyen a ''Z''(''G''), llavors (''xy'')''g'' = ''x''(''yg'') = ''x''(''gy'') = (''xg'')''y'' = (''gx'')''y'' = ''g''(''xy'') per a tot ''g'' ∈ ''G'', i per tant ''xy'' també pertany a ''Z''(''G''). És a dir, ''Z''(''G'') és tancat per l'operació de grup.
# Si ''x'' pertany a ''Z''(''G''), llavors ''gx'' = ''xg'', i multiplicant dos cops, un per la dreta i un altre per l'esquerra per ''x''<sup>−1</sup>, tenim ''x''<sup>−1</sup>''g'' = ''gx''<sup>−1</sup>. Per tant, ''x''<sup>−1</sup> ∈ ''Z''(''G'').
Addicionalment, el centre de ''G'' sempre és un [[subgrup normal]] de ''G'', ja que és tancat per conjugació.

==Classes de conjugació i centralitzadors==
Per definició, el centre és el conjunt dels elements pels quals la [[classe de conjugació]] de cada [[centralitzador]] és el mateix element, és a dir, ccl(''g'') = {''g''}.

El centre és també la [[intersecció]] de tots els [[centralitzador]]s de cada element de ''G''. Com que els centralitzadors són subgrups, això demostra un altre cop que el centre és un subgrup.

==Conjugació==
Considerem l'aplicació ''f'': ''G'' → Aut(''G'') de ''G'' en el [[grup d'automorfismes]] de ''G'' definida per ''f''(''g'') = ''φ''<sub>''g''</sub>, on ''φ''<sub>''g''</sub> és l'[[automorfisme]] de ''G'' definit per
:<math>\phi_g(h) = ghg^{-1}</math>.

La funció ''f'' és un [[homomorfisme de grups]], i el seu [[Nucli (matemàtiques)|nucli]] és exactament el centre de ''G''; la seva imatge és el [[grup d'automorfismes interns]] de ''G'', denotat Inn(''G''). Pel [[Primer teorema d'isomorfisme per a grups|primer teorema d'isomorfisme]], tenim
:<math>G/Z(G)\cong \rm{Inn}(G) </math>.

El [[conucli]] d'aquesta aplicació és el grup <math>\operatorname{Out}(G)</math> d'[[Automorfisme extern|automorfismes externs]], i aquests formen la [[successió exacta]]
:<math>1 \to Z(G) \to G \to \operatorname{Aut}(G) \to \operatorname{Out}(G) \to 1</math>.

==Exemples==
* El centre d'un [[grup abelià]] ''G'' és la totalitat de ''G''.
* El centre del [[grup de Heisenberg]] ''G'' està format per totes les matrius de la forma <math>\begin{pmatrix}
 1 & 0 & z\\
 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}</math>
* El centre d'un [[grup simple]] no abelià és trivial.
* El centre del [[grup diedral]] D<sub>''n''</sub> és trivial si ''n'' és senar. Si ''n'' és parell, el centre consisteix de l'element neutre més la rotació de 180° del [[polígon]].
* El centre del [[grup dels quaternions]] <math>Q_8 = \{1, -1, i, -i, j, -j, k, -k\}</math> és <math>\{1, -1\}</math>.
* El centre del [[grup simètric]] ''S''<sub>''n''</sub> és trivial per a ''n''&nbsp;≥&nbsp;3.
* El centre del [[grup alternant]] ''A''<sub>''n''</sub> és trivial per a ''n''&nbsp;≥&nbsp;4.
* El centre del [[grup lineal general]] <math>\mathrm{GL}_n(F)</math> és el conjunt de [[Matriu diagonal|matrius escalars]] <math>\{ sI_n \mid s \in F\setminus\{0\} \}</math>.
* El centre del [[grup ortogonal]] <math>O(n, F)</math> és <math>\{ I_n,-I_n \}</math>.
* El centre del grup multiplicatiu dels [[Quaternió|quaternions]] no nuls és el grup multiplicatiu dels [[Nombre real|nombres reals]] tret del [[zero]].
* Utilitzant l'[[Classe de conjugació#Equació de les classes de conjugació|equació de classes]] es pot demostrar que el centre de qualsevol [[p-grup|''p''-grup]] [[Grup finit|finit]] no trivial és no trivial.
* {{àncora|grup cíclic i centre}}Si el [[grup quocient]] <math>G/Z(G)</math> és [[Grup cíclic|cíclic]], llavors ''G'' és [[Grup abelià|abelià]] (d'on ''G'' = ''Z''(''G''), i <math>G/Z(G)</math> és trivial).
* El [[grup quocient]] <math>G/Z(G)</math> no és isomorf al [[grup dels quaternions]] <math>Q_8</math>.

==Centres superiors==
Prenent successivament els quocients pel centre d'un grup, es pot obtenir una successió de grups anomenada '''[[sèrie central ascendent]]''':
:<math>G_0 = G {\ }\to {\ }G_1 = G_0/Z(G_0) {\ }\to {\ }G_2 = G_1/Z(G_1) {\ }\to {\ }\cdots</math>

El nucli del morfisme <math>G_{i-1} \to G_i</math> és l{{'}}'''''i''-sim centre''' de ''G'', i es denota per <math>Z^i(G)</math>. En concret, l'<math>(i+1)</math>-sim centre està format pels elements que commuten amb tots els elements llevat d'un element de l{{'}}''i''-sim centre. Amb aquesta definició, hom pot definir el 0-sim centre d'un grup com el subgrup identitat. Es pot continuar aquesta definició fins als [[Ordinal transfinit|ordinals transfinits]] per [[inducció transfinita]]; la unió de tots els centres superiors s'anomena '''[[hipercentre]]'''.<ref group="nota">Aquesta unió inclou termes transfinits si la sèrie central ascendent no convergeix en una etapa finita.</ref>

La cadena ascendent de subgrups
:<math>1 \leq Z(G) \leq Z^2(G) \leq \cdots</math>

estabilitza a ''i'' (equivalentment, <math>Z^i(G) = Z^{i+1}(G)</math>) [[si i només si]] <math>G_i</math> no té centre.

===Exemples===
* Per a un grup sense centre, tots els centres superiors són zero, que és el cas d'estabilització <math>Z^0(G)=Z^1(G)</math>.
* Pel [[lema de Grün]], el quocient d'un [[grup perfecte]] pel seu centre és un subgrup sense centre, de tal manera que tots els centres superiors són iguals al centre. Aquest és un cas d'estabilització on <math>Z^1(G)=Z^2(G)</math>.

==Notes==
{{referències|grup=nota}}

==Vegeu també==
*[[Centre (àlgebra)]]
*[[Centralitzador i normalitzador]]
*[[Classe de conjugació]]

==Enllaços externs==
* {{springer|title=Centre of a group|id=p/c021250}}

[[Categoria:Teoria de grups]]