Mostra la font per a Commutador (matemàtiques)

En [[matemàtiques]], i més específicament en [[àlgebra]], el '''commutador''' dóna una indicació de la mesura en què una certa [[operació binària]] fracassa a ser [[propietat commutativa|commutativa]]. Hi ha dues definicions diferents de commutador, segons que s'utilitzi en [[teoria de grups]] o [[teoria d'anells]].

== Teoria de grups ==
El '''commutador''' de dos elements, ''g'' i ''h'', d'un [[grup (matemàtiques)|grup]] ''G'', és l'element
:[''g'', ''h''] = ''g''<sup>−1</sup>''h''<sup>−1</sup>''gh''.

És igual a l'element neutre del grup si i només si ''g'' i ''h'' commuten (i.e., si i només si ''gh'' = ''hg''). El [[subgrup]] de <math>G</math> generat per tots els commutadors s'anomena ''grup derivat'' o ''subgrup dels commutadors'' de ''G''. Observi's que cal considerar el subgrup ''generat'' pel conjunt de commutadors perquè en general el conjunt de commutadors no és estable per l'operació del grup. Els commutadors s'utilitzen per a definir els conceptes de [[grup nilpotent]] i de [[grup resoluble]].

N.B. La definició anterior del commutador és la que fan servir alguns teòrics de grups. D'altres el defineixen com<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=108}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1964|p=55}}</ref>
:[''g'', ''h''] = ''ghg''<sup>−1</sup>''h''<sup>−1</sup>.

=== Identitats ===
Les identitats amb commutadors són una eina important en [[teoria de grups]].<ref>{{harvtxt|McKay|2000|p=4}} </ref>  L'expressió ''a<sup>x</sup>'' denota el ''conjugat'' de ''a'' per ''x'', definit com a ''x''<sup>−1</sup>''a x''.

# <math>x^y = x[x,y].\,</math>
# <math>[y,x] = [x,y]^{-1}.\,</math>
# <math>[x, z y] = [x, y]\cdot [x, z]^y</math> i <math>[x z, y] = [x, y]^z\cdot [z, y].</math>
# <math>[x, y^{-1}] = [y, x]^{y^{-1}}</math> i <math>[x^{-1}, y] = [y, x]^{x^{-1}}.</math>
# <math>[[x, y^{-1}], z]^y\cdot[[y, z^{-1}], x]^z\cdot[[z, x^{-1}], y]^x = 1</math> i <math>[[x,y],z^x]\cdot [[z,x],y^z]\cdot [[y,z],x^y]=1.</math>

La darrera és la ''identitat de Hall–Witt'', i és anàloga a la identitat de Jacobi.

N.B. La definició anterior del conjugat de ''a'' per ''x'' és la usada per alguns teòrics.<ref>{{harvtxt|Herstein|1964|p=70}}</ref>  D'altres defineixen el conjugat de ''a'' per ''x'' com ''xax<sup>−1</sup>''.<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=128}}</ref>  Això a vegades s'escriu ''<sup>x</sup>a''. Amb aquesta altra convenció es poden escriure identitats similars.

Hi ha una àmplia gamma d'identitats que són certes mòdul certs subgrups. Són especialment útils en l'estudi de grups resolubles i grups nilpotents. Per exemple, en qualsevol grup les segons potències es comporten bé:
:<math> (xy)^2 = x^2y^2[y,x][[y,x],y].\,</math>
Si el subgrup derivat és central, llavors
:<math>(xy)^n = x^n y^n [y,x]^{\binom{n}{2}}.</math>

==Teoria d'anells==
<!-- Aquesta secció està connectada de L'[[Àlgebra de Lie|àlgebra de lie]] -->

El '''commutador''' de dos elements ''a'' i ''b'' d'un [[anell (matemàtiques)|anell]] o una [[àlgebra sobre un cos|àlgebra]] es defineix per
:[''a'', ''b''] = ''ab'' − ''ba''.
És zero si i només si ''a'' i ''b'' commuten.

El commutador és clarament bilineal, i alternat ([''x'',''x'']=0). Suposant que l'àlgebra sigui associativa, es comprova fàcilment que el commutador també satisfà la [[identitat de Jacobi]], de manera que tota àlgebra associativa té associada automàticament una estructura d'[[àlgebra de Lie]], amb el producte de Lie definit pel commutador. En particular, l'àlgebra de les matrius quadrades, l'àlgebra dels operadors d'un espai vectorial, o certes àlgebres d'operadors, són àlgebres de Lie.

Un aplicació física extraordinàriament important del commutador d'operadors es dóna en la [[mecànica quàntica]]. En ella les magnituds físiques observables es representen per certs operadors que actuen en un [[espai de Hilbert]], i el commutador de dos d'aquests operadors quantifica fins a quin punt es poden [[mesura|mesurar]] simultàniament, tal com ve expressat pel [[principi d'incertesa de Heisenberg|principi d'incertesa]].<ref>{{harvtxt|Liboff|2003|pp=140–142}}</ref> 

=== Identitats ===
El commutador té les propietats següents:

''Relacions tipus àlgebra de Lie:''

* <math>[A,A] = 0</math> (alternat)
* <math>[A,B] = -[B,A]</math> ([[anticommutativitat]])
* <math>[A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0</math> ([[identitat de Jacobi]])

''Relacions addicionals:'' 
* <math> [A,BC] = [A,B]C + B[A,C]</math>
* <math> [AB,C] = A[B,C] + [A,C]B</math>
* <math> [ABC,D] = AB[C,D] + A[B,D]C + [A,D]BC</math>
* <math> [AB,CD] = A[B,CD] +[A,CD]B = A[B,C]D + AC[B,D] +[A,C]DB + C[A,D]B</math>
* <math> [[[A,B], C], D] + [[[B,C], D], A] + [[[C, D], A], B] + [[[D, A], B], C] = [[A, C], [B, D]]</math>
* <math> [AB, C]=A\{B, C\}-\{A, C\}B</math>, &nbsp; on <math>\{A, B\} = AB + BA</math>  és l'anticommutador definit a sota.

Si ''A'' és un element fix d'un anell ''R'', la primera relació addicional també es pot interpretar com una [[regla de Leibniz]] per a l'aplicació <math>\scriptstyle D_A: R \rightarrow R </math> donada per ''B'' ↦ [''A'',''B'']. En altres paraules, l'aplicació ''D<sub>A</sub>'' és una [[derivació]] a l'anell ''R''.

La següent identitat ("lema d'Hadamard") que implica commutadors niats, subjacent a la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff per a log(exp''A'' exp''B''), és també útil:
*<math> e^{A}Be^{-A}=B+[A,B]+\frac{1}{2!}[A,[A,B]]+\frac{1}{3!}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \equiv e^{ad(A)} B.</math>

L'ús del mateix desenvolupament expressa el commutador de grup de Lie citat en termes d'una sèrie de parèntesis de Lie niats 
*<math> \ln \left ( e^{A} e^Be^{-A} e^{-B}\right )= [A,B]+\frac{1}{2!}[(A+B),[A,B]]+\frac{1}{3!}\left (   [A,[B,[B,A]]]/2+  [(A+B),[(A+B),[A,B]]] \right )+\cdots .</math>

== Anells i àlgebres graduats ==
En tractar amb [[àlgebra graduada|àlgebres graduades]], el commutador es reemplaça normalment pel '''commutador graduat''', definit sobre elements homogenis com <math>\ [\omega,\eta]_{gr} := \omega\eta - (-1)^{\deg \omega \deg \eta} \eta\omega.</math>

== Derivacions ==
Si un tracta amb diversos commutadors, hi ha una altra notació que pot ser força útil, ja que porta a definir la  [[representació adjunta]]:
: <math>\operatorname{ad}_{x}(y) = [x,y].</math>

Llavors <math>\operatorname{ad}_{x} = \operatorname{ad}(x)</math> és una [[derivació]] i <math>\operatorname{ad}</math> és lineal, ''i.e.'', 
<math>{\rm ad} (x+y)={\rm ad} (x)+{\rm ad} (y)</math> i
<math>{\rm ad} (\lambda x)=\lambda\,\operatorname{ad} (x)</math>, 
i un homomorfisme d'àlgebres de Lie: 
<math>{\rm ad}([x, y])=[{\rm ad} (x), {\rm ad}(y)]</math>, 
tot i que en general ''no'' és un homomorfisme d'àlgebres (la identitat
<math>\operatorname{ad}(xy) = \operatorname{ad}(x)\operatorname{ad}(y) </math> 
és en general falsa).

== Anticommutador ==
L{{'}}'''anticommutador''' de dos elements ''a'' i ''b'' d'un anell o una àlgebra associativa es defineix per
:{''a'', ''b''} = ''ab'' + ''ba''.

A vegades en lloc de claus s'usen els claudàtors [, ]<sub>+</sub>.<ref>{{harvtxt|McMahon|2008}}</ref>  L'anticommutador es fa servir menys sovint que el commutador, però per exemple s'usa per a definir les [[àlgebra de Clifford|àlgebres de Clifford]] i de Jordan.

== Vegeu també ==

*[[Anticommutativitat]]
*[[Parèntesi de Poisson]]

== Notes ==
<references/>

== Referències ==
{{Referències}}

{{Referències}}
*  {{Ref-llibre|nom =  John B. |cognom =  Fraleigh |any =  1976 |isbn =  0-201-01984-1 |títol =  A First Course In Abstract Algebra |edició =  2a|editorial =  [[Addison-Wesley]] |lloc = Reading }}

* {{Ref-llibre|cognom =  Griffiths |nom =  David J. |títol = Introduction to Quantum Mechanics |edició = 2 | editorial = [[Prentice Hall]] |any = 2004 |isbn = 0-13-805326-X}}

* {{Ref-llibre|nom =  I. N. |cognom =  Herstein |any =  1964 |títol =  Topics In Algebra |editorial =  Blaisdell Publishing Company |lloc =  Waltham|isbn =  978-1114541016 }}

* {{Ref-llibre|cognom = Liboff |nom = Richard L. |títol = Introductory Quantum Mechanics |edició =  4 |editorial =  [[Addison-Wesley]] |any = 2003 |isbn = 0-8053-8714-5}}

* {{ref-llibre|cognom = McKay |nom = Susan |títol = Finite p-groups |editorial =  University of London |col·lecció = Queen Mary Maths Notes |isbn = 978-0-902480-17-9  |any = 2000 |volum = 18}}

* {{Ref-llibre|nom =  D. |cognom =  McMahon |any =  2008 |isbn =  978-0-07-154382-8 |títol =  Quantum Field Theory |editorial =  McGraw Hill }}
{{Autoritat}}

[[Categoria:Teoria de grups]]
[[Categoria:Teoria d'anells]]