Mostra la font per a Constant de Catalan

En [[matemàtiques]], la '''constant de Catalan''' (denotada '''K''' (en aquest article),  '''G''' (per exemple, Borwein et al. 2004, p. 49), o '''C'''  ([[Wolfram Language]])), anomenada així en honor del matemàtic franco-belga [[Eugène Charles Catalan]], és el nombre definit per:

:<math>K = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \frac{1}{9^2} - \cdots </math>

on <math>\beta</math> és la [[funció beta de Dirichlet]].

El seu valor numèric és aproximadament:<ref>{{ref-web|cognom=Papanikolaou|nom=Thomas|títol=Catalan's Constant to 1,500,000 Places|url=http://www.gutenberg.org/etext/812|obra=Gutenberg.org|data=Març de 1997 |llengua=anglès}}</ref> 

:<math>K = 0,915965594177219015054603514932384110774...</math>(seqüència [https://oeis.org/A006752 A006752], [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]])

No se sap si <math>K</math> és [[Nombre irracional|irracional]], i molt menys [[Nombre transcendent|transcendent]].<ref>{{ref-publicació | cognom = Nesterenko | nom = Yu. V. | data = Gener de 2016 | doi = 10.1134/s0081543816010107 | publicació = Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics | pàgina = 153–170 | article = On Catalan's constant | volum = 292(1) |llengua=anglès}}</ref>

Concretament, la constant de Catalan es defineix com el valor numèric de la següent [[integral]]:

{{Equació|<math> \frac{1}{2}\int_0^1 K (k) \ dk =
\frac{1}{2}\int_{k = 0}^1 \int_{\theta = 0}^{\pi/2}\frac{d \theta \ dk}{\sqrt{1-k^2 \sin^2 \theta}}= \frac{1}{1^2}- \frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}- \dots = 0,915965594 .. .
</math>||left}}

on <math>K(k)\;</math> és la [[Integral el·líptica|integral el·líptica de primera espècie]].

La sèrie similar, però aparentment més complicada

:<math> \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^3} = \frac{1}{1^3} - \frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} - \frac{1}{7^3} + \frac{1}{9^3} - \cdots </math>

es pot avaluar exactament i val <math>\pi^3/32</math> .

==Identitats integrals==
Algunes identitats que impliquen [[Integral definida|integrals definides]] inclouen:

:<math>\begin{align}
K &= \iint_{[0,1]^2} \! \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy \\[3pt]
K &= \int_1^\infty \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt \\[3pt]
K &= -\int_0^1 \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt \\[3pt]
K &= \int_0^\frac{\pi}{4} \frac{t}{\sin t \cos t} \,dt \\[3pt]
K &= \tfrac14 \int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \frac{t}{\sin t} \,dt \\[3pt]
K &= \int_0^\frac{\pi}{4} \ln \cot t \,dt \\[3pt]
K &= -\int_0^\frac{\pi}{4} \ln \tan t \,dt \\[3pt]
K &= \tfrac12 \int_0^\frac{\pi}{2} \ln ( \sec t +\tan t ) \,dt \\[3pt]
K &= \int_0^1 \frac{\arccos t}{\sqrt{1+t^2}} \,dt \\[3pt]
K &= \int_0^1 \frac{\operatorname{arsinh} t}{\sqrt{1-t^2}} \,dt \\[3pt]
K &= \int_0^\infty \arctan e^{-t} \,dt \\[3pt]
K &= \tfrac12 \int_0^\infty \frac{t}{\cosh t} \,dt  \\[3pt]
K &= \frac{\pi}{2} \int_1^\infty \frac{(t^4-6t^2+1)\ln\ln t}{(1+t^2)^3} \,dt \\[3pt]
K &= 1 + \lim_{\alpha\to{1^-}}\!\left\{\int_0^{\alpha}\!\frac{(1+6t^2+t^4)\arctan{t}}{t(1-t^2)^2}\, dt 
+  2\operatorname{arctanh}{\alpha} - \frac{\pi\alpha}{1-\alpha^2} \right\} \\[3pt]
K &= 1 - \frac18 \iint_{\mathbb{R}^2}\!\!\frac{x\sin(2xy/\pi)}{\,(x^2+\pi^2)\cosh x\sinh y\,} \,dxdy
\end{align}</math>

on les últimes tres fórmules estan relacionades amb les [[Carl Johan Malmsten|integrals de Malmsten]].<ref>
{{ref-publicació|cognom=Iaroslav |nom=Blagouchine|article=Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results|any=2014|doi=10.1007/s11139-013-9528-5|url=https://iblagouchine.perso.centrale-marseille.fr/publications/Blagouchine-Malmsten-integrals-and-their-evaluation-by-contour-integration-methods-(Ramanujan-J-2014).pdf|volum=35|publicació=The Ramanujan Journal|pàgina=21–110 |llengua=anglès}}
</ref>

Si  <math>K (k)</math> és la [[integral el·líptica]] completa de primera espècia, com a funció del mòdul el·líptic <math>k</math>, llavors

:<math> K = \tfrac12 \int_0^1 \mathrm{K}(k)\,dk </math>

Amb la [[funció gamma]]  <math>\Gamma(x+1) = x!</math>

:<math>\begin{align}
K &= \frac{\pi}{4} \int_0^1 \Gamma\left(1+\frac{x}{2}\right)\Gamma\left(1-\frac{x}{2}\right)\,dx \\
&= \frac{\pi}{2} \int_0^\frac12\Gamma(1+y)\Gamma(1-y)\,dy \end{align}</math>

La integral
:<math> K = \operatorname{Ti}_2(1)=\int_0^1 \frac{\arctan t}{t}\,dt </math>

és una [[funció especial]] coneguda, anomenada [[Polilogaritme|integral tangent inversa]], i estudiada àmpliament per [[Srinivasa Ramanujan]].

==Usos==
<math>K</math> apareix en [[combinatòria]], així com en valors de la segona [[funció poligamma]], també anomenada [[funció trigamma]], a arguments fraccionaris:

:<math>\begin{align} \psi_1 \left(\tfrac14\right) &= \pi^2 + 8K \\
\psi_1 \left(\tfrac34\right) &= \pi^2 - 8K. \end{align}</math>

[[Simon Plouffe]] ofereix una col·lecció infinita d'identitats entre la funció trigamma, <math>\pi^2</math>  i la constant de Catalan; aquestes es poden expressar com a camins en un [[Graf (matemàtiques)|graf]].

En la [[topologia en dimensions baixes]], la constant de Catalan és un múltiple racional del [[volum]] d'un [[octàedre]] hiperbòlic ideal i, per tant, del [[volum hiperbòlic]] del complement de la [[baula de Whitehead]].<ref>{{ref-publicació | cognom = Agol | nom = Ian | enllaçautor = Ian Agol | doi = 10.1090/S0002-9939-10-10364-5 | publicació = Proceedings of the American Mathematical Society | mr = 2661571 | pàgina = 3723–3732 | article = The minimal volume orientable hyperbolic 2-cusped 3-manifolds | volum = 138(19) | any = 2010| citació = arxic. 0804.0043 |llengua=anglès}}</ref>

També apareix en relació amb la [[distribució hiperbòlica secant]].

== Relació amb altres funcions especials ==
La constant de Catalan es produeix amb freqüència en relació amb la [[funció de Clausen]], la [[Polilogaritme|integral tangent inversa]], la [[integral de sinus inversa]], la [[Funció G-Barnes|funció ''G''-Barnes]], així com les [[Integració|integrals]] i les [[Sèrie (matemàtiques)|sèries]] que es poden sumar en funció de les funcions esmentades.

Com a exemple concret, expressant primer la integral tangent inversa en la seva forma tancada (en termes de funcions Clausen) i després expressant les funcions Clausen en termes de la funció ''G''-Barnes, s'obté la següent expressió ''(vegeu la funció de Clausen per a més informació)'' :

:<math>K=4\pi \log\left( \frac{ K\left(\frac{3}{8}\right) K\left(\frac{7}{8}\right) }{ K\left(\frac{1}{8}\right) K\left(\frac{5}{8}\right) } \right) +4 \pi \log \left( \frac{ \Gamma\left(\frac{3}{8}\right) }{ \Gamma\left(\frac{1}{8}\right) } \right) +\frac{\pi}{2} \log \left( \frac{1+\sqrt{2} }{2 \left(2-\sqrt{2}\right)} \right)</math>.

Si es defineix el transcendent de Lerch <math>\Phi(z, s, \alpha)</math> (relacionat amb la [[funció zeta de Lerch]]) per

:<math>\Phi(z, s, \alpha) = \sum_{n=0}^\infty \frac { z^n} {(n+\alpha)^s},</math>

llavors

:<math> K = \tfrac{1}{4}\Phi\left(-1, 2, \tfrac{1}{2}\right).</math>

== Sèries de convergència ràpida ==
Les dues fórmules següents impliquen sèries de convergència ràpida i, per tant, són adequades per al càlcul numèric:

:<math>\begin{align}
K & = 3 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}}
\left(-\frac{1}{2(8n+2)^2}+\frac{1}{2^2(8n+3)^2}-\frac{1}{2^3(8n+5)^2}+\frac{1}{2^3(8n+6)^2}-\frac{1}{2^4(8n+7)^2}+\frac{1}{2(8n+1)^2}\right)- \\
& \qquad -2 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{12n}}
\left(\frac{1}{2^4(8n+2)^2}+\frac{1}{2^6(8n+3)^2}-\frac{1}{2^9(8n+5)^2}-\frac{1}{2^{10} (8n+6)^2}-\frac{1}{2^{12} (8n+7)^2}+\frac{1}{2^3(8n+1)^2}\right)
\end{align}</math>

i

:<math>K = \frac{\pi}{8}\log\left(2 + \sqrt{3}\right) + \frac{3}{8}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2 \binom{2n}{n}}.</math>

Els fonaments teòrics d'aquesta sèrie es donen per Broadhurst, per a la primera fórmula,<ref>{{ref-llibre|nom=D. J. |cognom=Broadhurst|citació=math.CA/9803067 |títol=Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of {{math|''ζ''(3)}} and {{math|''ζ''(5)}}| any=1998 |llengua=anglès}}</ref> i Ramanujan, per a la segona fórmula.<ref>{{ref-llibre|nom=B. C.|cognom=Berndt|títol=Ramanujan's Notebook, Part I|editorial=Springer Verlag|any=1985|llengua=anglès}}</ref> Els [[Algorisme|algorismes]] per a l'avaluació ràpida de la constant de Catalan van ser construïts per E. Karatsuba.<ref>{{ref-publicació|nom=E. A.|cognom=Karatsuba|article=Fast evaluation of transcendental functions|publicació=Probl. Inf. Transm.|volum=27(4)|pàgina=339–360|any=1991|citació=zbl. 0754.65021|mr=1156939 |llengua=anglès}}</ref><ref>{{ref-llibre|nom=E. A.|cognom=Karatsuba|citació=''Fast computation of some special integrals of mathematical physics''|títol=Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods|pàgina=29–41|any=2001 |llengua=anglès}}</ref>

== Dígits coneguts ==
El nombre de dígits coneguts de la constant de Catalan (K) ha augmentat de manera espectacular durant les últimes dècades. Això es deu tant a l'augment de rendiment de les [[Ordinador|computadores]] com a les millores [[Algorisme|algorítmiques]].<ref>{{ref-web|cognom1=Gourdon|nom1=X.|cognom2=Sebah|nom2=P.|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html|títol=Constants and Records of Computation}}</ref>

{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
|+Nombre de dígits decimals coneguts de la constant de Catalan
! Data || Dígits decimals || Càlcul realitzat per...
|-
| 1832 ||align="right"| 16 || [[Thomas Clausen (mathematician)|Thomas Clausen]]
|-
| 1858 ||align="right"| 19 || Carl Johan Danielsson Hill
|-
| 1864 ||align="right"| 14 || [[Eugène Charles Catalan]]
|-
| 1877 ||align="right"| 20 || [[James Whitbread Lee Glaisher|James W. L. Glaisher]]
|-
| 1913 ||align="right"| 32 || [[James Whitbread Lee Glaisher|James W. L. Glaisher]]
|-
| 1990 ||align="right"| {{val|20000}} || Greg J. Fee
|-
| 1996 ||align="right"| {{val|50000}} || Greg J. Fee
|-
| 1996 (14 d'agost) || align="right" |{{val|100000}} || Greg J. Fee i [[Simon Plouffe]]
|-
| 1996 (29 de setembre) || align="right" |{{val|300000}} || Thomas Papanikolaou
|-
| 1996 ||align="right"| {{val|1500000}} || Thomas Papanikolaou
|-
| 1997 ||align="right"| {{val|3379957}} || Patrick Demichel
|-
| 1998 (4 de gener) || align="right" |{{val|12500000}} || Xavier Gourdon
|-
| 2001 ||align="right"| {{val|100000500}} || Xavier Gourdon i Pascal Sebah
|-
| 2002 ||align="right"| {{val|201000000}} || Xavier Gourdon i Pascal Sebah
|-
| 2006 (octubre) || align="right" |{{val|5000000000}} || Shigeru Kondo i Steve Pagliarulo<ref>{{ref-web|url=http://ja0hxv.calico.jp/pai/ecatalan.html# |títol=Shigeru Kondo's website |access-date=2008-01-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20080211185703/http://ja0hxv.calico.jp/pai/ecatalan.html# |archive-date=2008-02-11 |dead-url=yes |df= }}</ref>
|-
| 2008 (agost) || align="right" |{{val|10000000000}} || Shigeru Kondo i Steve Pagliarulo<ref>[http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Constants and Records of Computation]</ref>
|-
| 2009 (31 de gener) || align="right" |{{val|15510000000}} || Alexander J. Yee i Raymond Chan<ref name=yee_chan>[http://www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html Large Computations]</ref>
|-
| 2009 (16 d'abril) || align="right" |{{val|31026000000}} || Alexander J. Yee i Raymond Chan<ref name=yee_chan/>
|-
| 2015 (7 de juny) || align="right" |{{val|200000001100}} || Robert J. Setti<ref name=setti>[http://www.numberworld.org/digits/Catalan/ Catalan's constant records using YMP]</ref>
|-
| 2016 (12 d'abril) || align="right" |{{val|250000000000}} || Ron Watkins<ref name=setti>[http://www.numberworld.org/digits/Catalan/ Catalan's constant records using YMP]</ref>
|-
| 2019 (16 de febrer) || align="right" |{{val|300000000000}} || Tizian Hanselmann<ref name=setti>[http://www.numberworld.org/digits/Catalan/ Catalan's constant records using YMP]</ref>
|-
| 2019 (29 de març) || align="right" |{{val|500000000000}} || Mike A i Ian Cutress<ref name=setti>[http://www.numberworld.org/digits/Catalan/ Catalan's constant records using YMP]</ref>
|-
|}

==Referències==
{{referències}}

== Bibliografia ==
{{Div col|cols=2}}
* {{ref-llibre |cognom=Abramowitz |nom=M. |cognom2=Stegun |nom2=I. A. |títol=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables |edició=9 |lloc= New York: Dover |pàgina=807-808 |any=1972 |llengua=anglès}}
* {{ref-web |cognom=Adamchik |nom= V. |títol=Integral and Series Representations for Catalan's Constant |url=http://www-2.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/catalan.htm |llengua=anglès}}
* {{ref-web |cognom=Adamchik |nom= V. |títol=Thirty-Three Representations of Catalan's Constant |url=http://library.wolfram.com/infocenter/Demos/109/|llengua=anglès}}
* {{ref-llibre |cognom=Arfken |nom= G. |títol=Mathematical Methods for Physicists |edició=3 |lloc= Orlando, FL |editorial=Academic Press |pàgina= 551-552 |any=1985 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre |cognom=Borwein |nom= J. |cognom2=Bailey |nom2= D. |títol=Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century |lloc=Wellesley, MA |editorial=A K Peters |any=2003|llengua=anglès}}
* {{ref-llibre |cognom=Borwein |nom= J. |cognom2=Bailey |nom2= D. |cognom3= Girgensohn |nom3=R. |títol=Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery |lloc=Wellesley, MA |editorial=A K Peters |any=2004 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre |cognom=Catalan |nom= E. |títol=Sur la transformation des series, et sur quelques integrales definies|editorial=Mémoires in 4 de l'Academie royale de Belgique |any=1865 |llengua=francès}}.
* {{ref-llibre |cognom=Catalan |nom= E. |títol=Recherches sur la constant , et sur les integrales euleriennes|editorial=Mémoires de l'Academie imperiale des sciences de Saint-Pétersbourg |pàgina=Ser. 7, 31 |any=1883 |llengua=francès}}
* {{ref-publicació |cognom=Fee |nom= G. J. |article=Computation of Catalan's Constant using Ramanujan's Formula |publicació=ISAAC '90. Proc. Internat. Symp. Symbolic Algebraic Comp |data=agost de 1990 |lloc=Reading, MA: Addison-Wesley |any=1990 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre |cognom=Finch |nom= S. R. |capítol=Catalan's Constant." §1.7 |títol=Mathematical Constants |lloc=Cambridge |editorial=Cambridge University Press |pàgina=53-59 |any=2003 |llengua=anglès}}
* {{ref-web |cognom=Flajolet |nom= P. |cognom2=Vardi |nom2= I. |títol=Zeta Function Expansions of Classical Constants |any= 1996 |url=http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/landau.ps|llengua=anglès}}
* {{ref-publicació |cognom=Glaisher |nom= J. W. L. |article=On a Numerical Continued Product |publicació=Messenger Math. |númro=6 |pàgina=71-76 |any=1877 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre |cognom=Gosper |nom= R. W. |capítol=A Calculus of Series Rearrangements |títol=Algorithms and Complexity: New Directions and Recent Results. Proc. 1976 Carnegie-Mellon Conference |lloc= New York |editorial=Academic Press |pàgina= 121-151 |any=1976 |llengua=anglès}}
* {{ref-web |cognom=Lupas |nom= A. |títol=Proceedings of ROGER-2000. Formulae for Some Classical Constants |any= 2000 |url=http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/articles/alupas1.pdf |format={{PDF}} |llengua=anglès}}
* {{ref-web |cognom=Mc Laughlin |nom= J. |títol=An Integral for Catalan's Constant |data=27 de setembre 2007 |url=http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0709&L=nmbrthry&T=0&P=3444 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre |cognom=Nielsen |nom= N. |títol=Der Eulersche Dilogarithms. |lloc=Leipzig, Halle |pàgina= 105, 151 |any=1909 |llengua=alemany}}
* {{ref-web |cognom=Plouffe |nom= S. |enllaçautor=Simon Plouffe |títol=Table of Current Records for the Computation of Constants |url=http://pi.lacim.uqam.ca/eng/records_en.html |llengua=anglès}}
* {{ref-publicació |cognom=Rivoal |nom= T. |cognom2=Zudilin |nom2= W. |article=Diophantine Properties of Numbers Related to Catalan's Constant |publicació=Math. Ann. |exemplar=326 |pàgina=705-721 |any=2003 |url=http://www.mi.uni-koeln.de/~wzudilin/beta.pdf |format={{PDF}} |llengua=anglès}}
* {{ref-publicació |cognom=Srivastava |nom= H. M. |cognom2=Miller |nom2= E. A. |article=A Simple Reducible Case of Double Hypergeometric Series involving Catalan's Constant and Riemann's Zeta Function |publicació=Int. J. Math. Educ. Sci. Technol |exemplar=21 |pàgina=375-377 |any=1990 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre |cognom=Vardi |nom= I. |títol=Computational Recreations in Mathematica |lloc=Reading, MA |editorial=Addison-Wesley |pàgina=159 |any=1991 |llengua=anglès}}
* {{ref-publicació |cognom=Yang |nom= S. |article=Some Properties of Catalan's Constant |publicació=Int. J. Math. Educ. Sci. Technol |exemplar=23 |pàgina=549-556 |any=1992 |llengua=anglès}}
* {{ref-web |cognom=Zudilin |nom= W. |títol=An Apéry-Like Difference Equation for Catalan's Constant |obra=Electronic J. Combinatorics |volum=10(1)  R14 |pàgina=1-10 |any=2003 |url=http://www.combinatorics.org/Volume_10/Abstracts/v10i1r14.html|llengua=anglès}}
{{Div col end}}

==Vegeu també ==
* [[Constant matemàtica]]
* [[Constant zeta]]
* [[Nombre de Catalan]]

==Enllaços externs==
*{{springer|title=Catalan constant|id=p/c130040}}
*[http://mathworld.wolfram.com/CatalansConstant.html Catalan's Constant — from Wolfram MathWorld]
*[https://archive.org/details/ctcst10a Catalan's Constant (Ramanujan's Formula)]
*[http://www.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/catalan/catalan.htm catalan's constant] — www.cs.cmu.edu

[[Categoria:Constants matemàtiques|Catalan]]
[[Categoria:Integrals]]