Mostra la font per a Constant de Fransén-Robinson

La '''constant de Fransén–Robinson''', sovint anotada ''F'', és una [[constant matemàtica]] que representa l'àrea entre la gràfica de la [[funció gamma inversa]], 1/&Gamma;(x), i l'eix ''x''. És a dir,

:<math>F = \int_{0}^\infty \frac{1}{\Gamma(x)}\, \mathrm{d}x.</math>

La constant de Fransén–Robinson té el valor numèric de ''F'' = 2.8077702420285... {{OEIS|id=A058655}}, amb la representació en [[fracció contínua]] [2; 1, 4, 4, 1, 18, 5, 1, 3, 4, 1, 5, 3, 6, ...] {{OEIS|id=A046943}}. La seva proximitat amb el [[nombre e|nombre d'Euler]] ''e'' = 2.71828... es deu al fet que la integral es pot aproximar a:

:<math>F \approx \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\Gamma(n)} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!},</math>

la sèrie estàndard del nombre ''e''. La diferència entre els dos valors ve donada per:

:<math>F = e + \int_0^\infty \frac{e^{-x}}{\pi^2 + (\ln x)^2}\, \mathrm{d}x</math>

i també per:

:<math>F = e + \frac{1}{\pi} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} e^{\pi \tan \theta} e^{-e^{\pi \tan \theta}}\, \mathrm{d}\theta.</math>

La constant de Fransén–Robinson també es pot expressar usant la [[funció de Mittag-Leffler]] com el límit:

:<math>F = \lim_{\alpha \to 0} \alpha E_{\alpha, 0}(1).</math>

No se sap, tanmateix si ''F'' es pot expressar de [[forma tancada]] en termes d'altres constants conegudes.

S'han fet grans esforços per calcular el valor numèric de la constant de Fransén-Robinson amb alta precisió. El valor va ser calculat amb xifres significatives per Herman P. Robinson usant [[fórmules de Newton-Cotes]] d'11 punts, amb 65 dígits per A. Fransén usant la [[fórmula d'Euler-Maclaurin]], i amb 80 xifres per Fransén i S. Wrigge usant [[sèrie de Taylor|sèries de Taylor]] i altres mètodes. William A. Johnson va calcular-ne 300 dígits, i Pascal Sebah va poder-ne calcular fins a 600 usant la [[quadratura de Clenshaw-Curtis]].

== Referències ==
* {{ref-publicació|nom1=Arne
|cognom1=Fransen
|títol=Accurate Determination of the inverse Gamma Integral
|publicació=BIT
|volum=19
|exemplar=1
|pàgines=137–138
|mr=0530126
|doi=10.1007/BF01931232
|any=1979
}}
* {{ref-publicació|nom1=Arne
|cognom1=Fransen
|nom2=Staffan
|cognom2=Wrigge
|títol=High-Precision values of the Gamma function and of some related coefficients
|publicació=Mathematics of Computation
|volum=34
|exemplar=150
|pàgines=553–566
|any=1980
|mr=0559204
|doi=10.2307/2006104
}}
* {{ref-publicació|nom1=Arne
|cognom1=Fransen
|títol=Addendum and Corrigendum to "High-Precision values of the Gamma function and of some related coefficients"
|publicació=[[Mathematics of Computation]]
|volum=37
|exemplar=155
|pàgines=233–235
|any=1981
|mr=0616377
|doi=10.2307/2007517
}}
* {{ref-web|nom1=Steve
|cognom1=Finch
|url=http://www.mathsoft.com/mathsoft_resources/mathsoft_constants/Number_Theory_Constants/2030.asp
|títol=Fransén–Robinson Constant
}} {{enllaç no actiu|data=2018}}
* {{MathWorld|urlname=Fransen-RobinsonConstant|title=Fransén–Robinson Constant}}
* {{ref-llibre|cognom= Borwein |nom= Jonathan |autor2=David Bailey |autor3=Roland Girgensohn  |títol= Experimentation in Mathematics – Computational Paths to Discovery |editorial= A K Peters |any= 2003 |isbn= 1-56881-136-5 |pàgina= 288}}

{{ORDENA:Fransen-Robinson}}
[[Categoria:Constants matemàtiques]]