Mostra la font per a Coordenades bipolars

[[Fitxer:Iso1.svg|miniatura|Sistema de coordenades bipolar]]

El '''sistema de coordenades bipolar''' és un [[sistema de coordenades]] bidimensional [[coordenades ortogonals|ortogonal]]. Habitualment es fan servir dos sistemes de coordenades bipolars.<ref name=bip>[http://bbs.sachina.pku.edu.cn/Stat/Math_World/math/b/b233.htm Eric W. Weisstein, '''Concise Encyclopedia of Mathematics CD-ROM''', ''Bipolar Coordinates'', CD-ROM edition 1.0, May 20, 1999<!-- Bot generated title -->]</ref> L'altre és el [[sistema de coordenades bipolar de dos centres]]. També hi ha un tercer sistema de coordenades que es basa en dos pols, el [[sistema de coordenades biangular]]. El primer es basa en les [[Cercle d'Apol·loni|Circumferències d'Apol·loni]]. Les corbes que mantenen constant la coordenada ''σ'' o la ''τ'' són circumferències que s'intersequen mútuament en angles rectes. Les coordenades tenen dos [[Focus (geometria)|focus]] ''F''<sub>1</sub> i ''F''<sub>2</sub>, que normalment es consideren fixos als punts (−''a'',&nbsp;0) i (''a'',&nbsp;0), de l'eix ''x'' d'un [[sistema de coordenades cartesianes]] respectivament. 

El sistema de coordenades bipolar és la base de diversos sistemes de coordenades tridimensionals. Les [[cilíndriques bipolars]] s'obtenen arrossegant-les en la direcció ''z''. Les [[coordenades biesfèriques]] s'obtenen per rotació de les bipolars entorn de l'eix <math>x</math> és a dir l'eix que connecta els dos focus, les [[coordenades toroïdals]] s'obtenen per rotació de les coordenades bipolars entorn de l'eix ''y'', és a dir, entorn d'un eix perpendicular a l'eix ''x'' en el punt mitjà entre els dos focus.

L'aplicació clàssica de les coordenades bipolars és per a la solució d'[[equacions diferencials en derivades parcials]], per exemple l'[[equació de Laplace]] o l'[[equació de Helmholtz]], per a les quals les coordenades bipolars permeten aplicar el mètode de la [[separació de variables]]. Un exemple típic pot ser el [[camp elèctric]] que envolta dos conductors cilíndrics paral·lels.

El terme "bipolar" es fa servir de vegades per descriure altres corbes que tenen dos punts singulars (focus), com ara les [[el·lipse]]s, les [[hipèrbola|hipèrboles]], i els [[oval de Cassini|ovals de Cassini]]. Però el terme ''coordenades bipolars'' es reserva per a les coordenades que es descriuen aquí, i no es fa servir mai per a descriure les coordenades associades a aquestes corbes, com ara les [[coordenades el·líptiques]].

[[Fitxer:Bipolar coordinates.png|miniatura|Interpretació geomètrica de les coordenades bipolars. L'angle σ és el que formen els dos segments que surten dels focus i van al punt '''P''', mentre que ''τ'' és el logaritme del quocient de les distàncies als focus. Els cercles que corresponen a valors constants de ''σ'' o ''τ'' es mostren en vermell i verd respectivament, i es tallen formant angles rectes (capsa magenta); són ortogonals.]]

==Definició bàsica==

La forma més comuna per definir les coordenades bipolars (''σ'',&nbsp;''τ'') és

:<math>
x = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma}
</math>

:<math>
y = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma}
</math>

On la coordenada ''σ'' del punt ''P'' és igual a l'angle ''F''<sub>1</sub>&nbsp;''P''&nbsp;''F''<sub>2</sub> i la coordenada ''τ'' és igual al [[logaritme natural]] del quocient de les distàncies ''d''<sub>1</sub> i ''d''<sub>2</sub> als focus 

:<math>
\tau = \ln \frac{d_1}{d_2}
</math>

(Cal tenir present que ''F''<sub>1</sub> i ''F''<sub>2</sub> es localitzen a (−''a'',&nbsp;0) i (''a'',&nbsp;0), respectivament.)

Cal advertir que les corbes de ''σ'' i ''τ'' constants es tallen en dos punts, no en un de sol. Els focus divideixen cada línea de ''σ'' constant en un arc llarg i un altre de curt. Per convenció, la coordenada ''σ'' d'aquests dos arcs difereix en 90°, és a dir ''σ''<sub>curt</sub> = ''σ''<sub>llarg</sub> + 90°; aquesta convenció trenca la degeneració del sistema de coordenades.

==Corbes de ''σ'' i ''τ'' constant==

[[Fitxer:Bipolar sigma isosurfaces.png|Isosuperfícies sigma]]

[[Fitxer:Bipolar tau isosurfaces.png|Isosuperfícies tau]]

Les corbes de ''σ'' constant corresponen a circumferències no concèntriques

:<math>
x^2 +
\left( y - a \cot \sigma \right)^2 = \frac{a^{2}}{\sin^2 \sigma}
</math>

Que passen pels dos focus. Els centres de les línies de ''σ'' constant se situen a l'eix ''y''. Les circumferències de ''σ'' positiu estan centrades per damunt de l'eix ''x'' mentre que les de ''σ'' negatiu ho estan per davall de l'eix. A mesura que la magnitud |''σ''| creix, el radi de les circumferències decreix i el centre s'apropa a l'origen (0,&nbsp;0), on hi arriba quan |''σ''| = ''&pi;''/2, que és el valor màxim que pot tenir.

Les corbes de <math>\tau</math> constant són circumferències de diferent radi que no s'intersequen entre si

:<math>
y^2 +
\left( x - a \coth \tau \right)^2 = \frac{a^2}{\sinh^2 \tau}
</math>

Que envolten el focus però altre cop no són pas concèntriques. Els centres de les circumferències de ''τ'' constant romanen a l'eix ''x''. Les circumferències de ''τ'' positiu se situen al cantó dret del pla (''x''&nbsp;>&nbsp;0), mentre que les circumferències de ''τ'' negatiu se situen en el cantó esquerre del pla (''x''&nbsp;<&nbsp;0). La corba de ''τ''&nbsp;=&nbsp;0 correspon a l'eix ''y'' (''x''&nbsp;=&nbsp;0). A mesura que la magnitud de ''τ'' creix, el radi de les circumferències disminueix i els seus centres s'acosten als focus.

==Factors d'escala==

Els factors d'escala de les coordenades bipolars (''&sigma;'',&nbsp;''&tau;'') són iguals 

:<math>
h_\sigma = h_\tau = \frac{a}{\cosh \tau - \cos\sigma}
</math>

Per tant, l'element infinitesimal d'àrea és igual a

:<math>
dA = \frac{a^2}{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^2} \, d\sigma\, d\tau
</math>

I la [[Laplaciana]] ve donada per 

:<math>
\nabla^2 \Phi =
\frac{1}{a^2} \left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^2
\left( 
\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \sigma^2} + 
\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \tau^2}
\right)

</math>

Els altres operadors, com ara <math>\nabla \cdot \mathbf{F}</math> i <math>\nabla \times \mathbf{F}</math>, es poden expressar en les coordenades (''σ'',&nbsp;''τ'') substituint els factors d'escala en les fórmules generals que es troben a l'article [[coordenades ortogonals]].

==Vegeu també==
*[[sistemes de coordenades]]
*[[coordenades ortogonals]]
*[[coordenades cartesianes]]
*[[coordenades polars]]
*[[coordenades esfèriques]]
*[[coordenades cilíndriques]]

== Referències ==
* H. Bateman "Spheroidal and bipolar coordinates", ''Duke Mathematical Journal'' 4 (1938), no. 1, 39–50
* Lockwood, E. H. "Bipolar Coordinates." Chapter 25 in ''A Book of Curves''. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 186–190, 1967.
* Korn GA and Korn TM. (1961) ''Mathematical Handbook for Scientists and Engineers'', McGraw-Hill.

<!--<nowiki>
See http://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Footnotes for an explanation of how to generate footnotes using the<ref> and </ref> tags, and the template below. 
</nowiki>-->
==Notes==
<references />

[[Categoria:Geometria]]