Mostra la font per a Coordenades polars

[[Fitxer:Polar graph paper.svg|miniatura|Representació de les coordenades polars, angles expressats en graus]]
En la [[matemàtica]], el '''sistema de coordenades polars''' és un [[coordenada|sistema de coordenades]] de dues dimensions en el qual cada [[punt (geometria)|punt]] en un [[pla]] està determinat per un [[angle]] i una [[distància]]. El sistema de coordenades polars és especialment útil quan la relació entre dos punts s'expressa més bé en termes d'angles i distàncies. En el sistema més conegut, el [[sistema de coordenades cartesià|cartesià]] o de coordenades rectangulars, aquestes relacions cal trobar-les a partir de les [[funció trigonomètrica|funcions trigonomètriques]]. 

Com que el sistema de coordenades és de dues dimensions, cada punt ve determinat per dues coordenades polars: la coordenada radial i la coordenada angular. La coordenada radial (normalment denotada per ''r'') denota la distància del punt al punt central (conegut com a pol i equivalent a l'''origen'' en el sistema cartesià). La coordenada angular (també anomenada angle polar o angle [[azimut]]al, i normalment denotat per θ o ''t'') denota l'angle positiu (o angle mesurat en [[sentit antihorari]]) per arribar al punt a partir de l'eix polar o radi de 0° (que és equivalent a l'eix x positiu en les coordenades cartesianes).<ref name="brown">{{ref-llibre
 | cognom = Brown
 | nom = Richard G.
 | editor = Andrew M. Gleason
 | any = 1997
 | títol = Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis
 | editorial = McDougal Littell
 | lloc = Evanston, Illinois
 | isbn = 0-395-77114-5
}}</ref> 

== Història ==
{{vegeu també|Història de les funcions trigonomètriques}}
Els conceptes d'angle i de radi varen ser estudiats pels pobles antics del primer mil·lenni abans de la nostra era. L'[[Astronomia|astrònom]] [[Hiparc de Nicea]] va crear una taula de la funció [[corda(geometria)|corda]] que donava la longitud de la corda per a cada angle, i hi ha referències que feia servir coordenades polars per establir les posicions estel·lars.<ref name="milestones">{{ref-web| cognom = Friendly
 | nom = Michael
 | títol = Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization
 | url = http://www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/milestone/sec4.html
 | consulta = 10-09-2006 }}</ref>
En l'obra ''De les espirals,'' [[Arquimedes]] descriu l'[[espiral d'Arquimedes]], una funció en la qual el radi creix linealment amb l'angle. Ara bé, el treball grec no es va estendre fins a un sistema complet de coordenades.

Hi ha diverses relacions de la introducció de les coordenades polars com a part d'un sistema formal de coordenades. La història completa de la qüestió es descriu a ''Origin of Polar Coordinates.''<ref name="coolidge">{{ref-publicació
 | cognom = Coolidge
 | nom = Julian
 | enllaçautor = Julian Lowell Coolidge
 | article = The Origin of Polar Coordinates
 | publicació = American Mathematical Monthly
 | volum = 59
 | pàgines = 78–85
 | data = 1952
 | url = http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Extras/Coolidge_Polars.html
}}</ref> [[Grégoire de Saint-Vincent]] i [[Bonaventura Cavalieri]] varen introduir independentment els conceptes a mitjans del segle disset. Saint-Vincent ho va escriure en privat el 1625 i va publicar el seu treball el 1647, mentre que Cavalieri va publicar el seu el 1635 amb una versió corregida que va aparèixer el 1653. Cavalieri va ser el primer a fer servir les coordenades polars per resoldre un problema referent a l'àrea dins d'una [[espiral d'Arquimedes]]. Més tard, [[Blaise Pascal]] va fer servir les coordenades polars per calcular la longitud de l'[[paràbola|arc de la paràbola]].

En l'obra ''[[Method of Fluxions]]'' ''(Mètode de les fluxions''escrit el 1671, publicat el 1736), [[Isaac Newton]] examina les transformacions entre coordenades polars (de les quals ell en diu la "Setena Manera Per les Espirals", i uns altres nou sistemes de coordenades.<ref>{{ref-publicació
 | cognom = Boyer
 | nom = C. B.
 | article = Newton as an Originator of Polar Coordinates
 | publicació = American Mathematical Monthly
 | volum = 56
 | pàgines = 73–78
 | data = 1949
 }}</ref> En la revista ''[[Acta Eruditorum]]'' (1691), [[Jacob Bernoulli]] feia servir un sistema amb un punt sobre una línia, anomenats ''pol'' i ''eix polar'' respectivament. Les coordenades s'especificaven per la distància al pol i l'angle respecte a l'''eix polar''. El treball d'en Bernoulli s'estén a trobar el [[radi de curvatura]] de corbes expressades en aquest sistema de coordenades.

El terme actual ''coordenades polars'' s'ha atribuït a [[Gregorio Fontana]] i el feien servir els escriptors italians del segle 18.<ref>{{ref-web| url = http://members.aol.com/jeff570/p.html| títol = Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics| consulta = 10-09-2006| cognom = Miller| nom = Jeff
|arxiuurl=http://web.archive.org/19991003184733/members.aol.com/jeff570/p.html|arxiudata=1999-10-03}}</ref><ref>{{ref-llibre
 | cognom = Smith
 | nom = David Eugene
 | enllaçautor = David Eugene Smith
 | títol = History of Mathematics, Vol II
 | editorial = Ginn and Co.
 | data = 1925
 | lloc = Boston
 | pàgines = 324 }}</ref> [[Alexis Clairaut]] va ser el primer a pensar en coordenades polars en tres dimensions, i [[Leonhard Euler]] va ser el primer a desenvolupar-les.<ref name="coolidge" />

== Representació dels punts en coordenades polars ==
[[Fitxer:CircularCoordinates.png|miniatura|Els punts (3,60°) i (4,210°) en un sistema de coordenades polars]]
Cada punt en un sistema de coordenades polars es pot descriure amb les dues coordenades polars, les quals es diuen habitualment <math>r</math> (la coordenada radial) i θ (la coordenada angular, angle polar, o angle [[azimut]]al, que de vegades es representa com φ o <math>t</math>). La coordenada <math>r</math> representa la distància radial al pol, i la coordenada θ representa l'angle (mesurat en sentit contrari de les agulles del rellotge) respecte del radi d'angle 0° (anomenat de vegades l'eix polar), conegut com la part positiva de l'eix x en el [[sistema de coordenades cartesià]].<ref name="brown" />

Per exemple, les coordenades polars (3, 60°) indiquen el punt ubicat a 3 unitats de distància del pol sobre el radi que forma 60° respecte de la part positiva de l'eix x. Les coordenades (−3, 240°) també indiquen aquest mateix punt perquè una distància radial negativa s'identifica amb una distància positiva mesurada sobre el radi oposat (el radi reflectit respecte de l'origen, que es diferencia de l'original en un gir de 180°).

Un aspecte important del sistema de coordenades polar, que no es dóna en el sistema de coordenades cartesianes, és que un únic punt es pot expressar amb un nombre infinit de coordenades diferents. Això és a causa del fet que es pot donar un nombre qualsevol de voltes senceres entorn del pol sense afectar la posició dels punts representats. En general, el punt (<math>r</math>, θ) es pot representar com (<math>r</math>, θ ± <math>n</math>×360°) o (−<math>r</math>, θ ± (2<math>n</math> + 1)180°), on <math>n</math> és qualsevol [[Nombre enter|enter]].<ref>{{ref-web| url = http://www.fortbendisd.com/campuses/documents/Teacher/2006%5Cteacher_20060413_0948.pdf| títol = Polar Coordinates and Graphing| consulta = 22-09-2006| format = PDF| data = [[13-04-2006]]
}}</ref> 

Les coordenades (0, θ) es fan servir, per convenció, per representar el pol, atès que independentment de la coordenada θ, qualsevol punt sobre un radi de longitud 0 estarà sempre al pol.<ref>{{ref-llibre|títol=Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry|cognom=Lee|nom=Theodore|coautors=David Cohen, David Sklar|any=2005|editorial=Thomson Brooks/Cole|edició=Fourth Edition|isbn=0534402305}}</ref> Per obtenir una representació única de cada punt, és habitual de limitar <math>r</math> als [[nombre negatiu|nombres no negatius]] <math>r</math> ≥ 0 i θ a l'[[interval (matemàtiques)|interval]] [0, 360°) o (−180°, 180°] (o, en radians, [0, 2π) o (−π, π]).<ref>{{ref-llibre|títol=Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane)|nom=Ian|cognom=Stewart|coautors=David Tall|any=1983|editorial=Cambridge University Press|isbn=0521287634}}</ref>

Els angles, quan es fa servir la notació polar, en general s'expressen tant en [[grau sexagesimal|graus]] com en [[radian]]s, fent servir la conversió 2[[π]] rad = 360°. La tria depèn fonamentalment del context. En [[navegació marítima]] es fan servir els graus, mentre que en algunes aplicacions en [[física]] (especialment en mecànica de rotació) i gairebé tota la literatura sobre [[càlcul infinitesimal]] fan servir els radians.<ref>{{ref-llibre
 | cognom = Serway
 | nom = Raymond A. 
 | coautors = Jewett, Jr., John W.
 | títol = Principles of Physics
 | editorial = Brooks/Cole—Thomson Learning
 | data = 2005
 | isbn = 0-534-49143-X }}</ref>

=== Conversió entre coordenades polars i coordenades cartesianes ===
[[Fitxer:Polar to cartesian.svg|miniatura|Diagrama que il·lustra la relació entre coordenades polars i cartesianes.]]
Les dues coordenades polars <math>r</math> i θ es poden convertir en les [[coordenades cartesianes]] <math>x</math> i <math>y</math> emprant les [[funció trigonomètrica|funcions trigonomètriques]] sinus i cosinus:
:<math>x = r\cos \theta \,</math> 
:<math>y = r \sin \theta, \,</math>

Per transformar les dues coordenades cartesianes <math>x</math> i <math>y</math> en coordenades polars <math>r</math> i <math>\theta</math> cal fer el següent. Per a la <math>r</math> es pot aplicar el [[teorema de Pitàgores]]: 

:<math>r = \sqrt{x^2 + y^2} \,</math>.

Per determinar la coordenada angular θ, s'ha de tenir en compte el següent:
* Per a <math>r</math> = 0, es pot fixar θ com qualsevol nombre real.
* Per a <math>r</math> ≠ 0, s'ha de limitar el valor de θ a un valor en un interval de mida 2π perquè hi hagi una representació única per a θ. Normalment es fan servir els intervals [0, 2π) i (−π, π].

A fi d'obtenir θ en l'interval [0, 2π), es pot fer servir el següent (on <math>\arctan</math> denota la inversa de la [[funció trigonomètrica|tangent]]):
:<math>\theta = 
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{si } x > 0 \mbox{ i } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + 2\pi & \mbox{si } x > 0 \mbox{ i } y < 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{si } x < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{si } x = 0 \mbox{ i } y > 0\\
\frac{3\pi}{2} & \mbox{si } x = 0 \mbox{ i } y < 0
\end{cases}</math>

A fi d'obtenir θ en l'interval (−π, π], es pot fer servir el següent

:<math>\theta = 
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{si } x > 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{si } x < 0 \mbox{ i } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{si } x < 0 \mbox{ i } y < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{si } x = 0 \mbox{ i } y > 0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{si } x = 0 \mbox{ i } y < 0
\end{cases}</math>

== Equacions polars ==
D'una equació que defineix una [[corba algebraica]] expressada en coordenades polars, se'n diu ''equació polar''. En molts casos, aquesta equació es pot especificar a base de definir <math>r</math> com una [[funció (matemàtiques)|funció]] de θ. Llavors, la corba que en resulta consisteix en punts de la forma (<math>r</math>(θ), θ) i pot ser considerada com la [[Gràfica d'una funció|gràfica de la funció polar]] <math>r</math>.

A partir de l'equació d'una funció polar <math>r=f(\theta)</math> es poden deduir diferents formes de [[simetria]]. Si <math>r</math>(−θ) = <math>r</math>(θ) la corba serà simètrica respecte del radi horitzontal (0°/180°), si <math>r</math>(π−θ) = <math>r</math>(θ) serà simètrica respecte del radi vertical (90°/270°), i si <math>r</math>(θ−α°) = <math>r</math>(θ) tindrà [[simetria]] de rotació α° en sentit contrari de les agulles del rellotge al voltant del pol.

A causa de la naturalesa circular del sistema de coordenades polars, moltes corbes es poden descriure amb una equació polar bastant simple, mentre que la seva forma cartesiana és molt més complicada. Entre les més conegudes d'aquestes corbes hi ha la [[rosa (matemàtiques)|rosa]], l'[[espiral d'Arquimedes]], la [[Lemniscata]], el [[cargol de Pascal]], i la [[cardioide]].

Per al cas del cercle, la recta que passa pel pol, i la rosa que s'estudien tot seguit, s'ha d'entendre que no hi ha restriccions ni en el [[Domini (matemàtiques)|domini]] ni en el [[recorregut (matemàtiques)|recorregut]] de les corbes.

=== Cercle ===
[[Fitxer:circle r=1.PNG|miniatura|Un cercle d'equació <math>r</math>(θ) = 1]]
L'equació general d'un cercle amb centre a (<math>r</math><sub>0</sub>, φ) i de radi <math>a</math> és

:<math>r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \varphi) + r_0^2 = a^2.\, </math>

Això es pot simplificar de diverses maneres, per ajustar-se a casos més específics, com ara l'equació

:<math>r(\theta)=a \,</math>

Per al cas d'un cercle amb centre al pol i radi <math>a</math>.<ref name="ping">{{ref-web| nom=Johan
 | cognom=Claeys
 | url=http://www.ping.be/~ping1339/polar.htm
 | títol=Polar coordinates
 | consulta=25-05-2006
}}</ref>

=== Recta ===
Les línies rectes ''Radials'' (les que passen pel pol) es representen per l'equació
:<math>\theta = \varphi \,</math>, 
on φ és l'angle d'elevació de la línia; és a dir, φ = arctan <math>m</math> on <math>m</math> és el [[Pendent (matemàtiques)|pendent]] de la recta en el sistema de coordenades cartesianes. La recta no radial que talla la recta radial θ = φ [[perpendicular]]ment al punt (<math>r</math><sub>0</sub>, φ) té per equació 
:<math>r(\theta) = {r_0}\sec(\theta-\varphi). \,</math>

=== Rosa ===
[[Fitxer:rose r=2sin(4theta).PNG|miniatura|Una rosa d'equació <math>r</math>(θ) = 2 sin 4θ]]
Una [[rosa (matemàtiques)|rosa]] és una famosa corba matemàtica que sembla els pètals d'una flor, i que es pot expressar amb una equació polar senzilla,

:<math>r(\theta) = a \cos (k\theta + \phi_0)\,</math> 

Per a qualsevol constant <math>\phi_0</math> (incloent-hi 0). Si ''k'' és un enter, aquestes equacions produeixen una rosa de ''k'' pètals si ''k'' és [[nombre senar|senar]], o una rosa amb 2''k'' pètals si ''k'' és parell. Si ''k'' és racional però no és enter, es genera una forma similar a una rosa però amb els pètals encavalcant-se. Fixeu-vos que aquestes equacions mai defineixen una rosa amb 2, 6, 10, 14, etc. pètals. La [[variable independent]] ''a'' representa la longitud dels pètals de la rosa.
{{-}}
=== Hèlix ===
[[Fitxer:Helix JMB 3.jpg|miniatura| k = 3]]
[[Fitxer:Helix JMB 5.jpg|miniatura| k = 5]]
Una hèlix és una corba matemàtica que sembla l'hèlix d'un vaixell, i que es pot expressar amb una equació polar senzilla,
:<math>r(\theta) = a \exp( \sin (k\theta))\,</math> 
Aquestes equacions produeixen una hèlix de ''k'' pales, independentment de si '''k''' és parell o senar.

=== Espiral d'Arquimedes ===
[[Fitxer:Archimedian spiral.PNG|miniatura|Un braç d'una espiral d'Arquimedes d'equació ''r''(θ) = θ per 0 < θ < 6π]]
L'[[espiral d'Arquimedes]] és una espiral famosa que va ser descoberta per [[Arquimedes]], la qual també es pot expressar amb una equació polar senzilla. Es representa per l'equació

:<math>r(\theta) = a+b\theta. \,</math>

Canviant el paràmetre ''a'' es fa girar l'espiral, mentre que '''''b''''' controla la distància entre els braços, la qual per una espiral donada és constant. L'espiral d'Arquimedes té dos braços, un per θ > 0 i un altre per θ < 0. Els dos braços es connecten suaument al pol. Prenent la imatge especular d'un braç respecte de la recta de 90°/270° s'obté l'altre braç. Aquesta corba és notable per ser una de les primeres corbes, després de les [[còniques]] que es va descriure als tractats de matemàtiques, i per ser el primer exemple d'una corba que es defineix millor per la seva equació polar.
{{-}}
=== Altres espirals ===
[[Fitxer:Polar jmb 01.jpg|miniatura| a= 0.5 ;k = 3 ;j = 100]]
Aquí es pot veure una curiosa funció en coordenades polars, que genera una espiral oscil·latòria del tipus d'Arquimedes, que presenta un període primari de 2k i un secundari de j.

:<math>r(\theta) = a\theta + \sin(k\theta) \cdot \cos(j\theta) \,</math>

=== Còniques ===
[[Fitxer:Elps-slr.svg|miniatura|El·lipse, indicant el semi-latus rectum]]
Una [[cònica]] amb un focus al pol i l'altre en algun lloc del radi de 0° (de forma que el [[semieix major]] cau damunt de l'eix polar) ve donada per:

: <math>r = { \ell\over {1 + e \cos \theta}}</math>

on ''e'' és l'[[excentricitat]] i <math>\ell</math> és el ''semi-latus rectum'' (la distància mesurada sobre la perpendicular a l'eix major que passa pel focus entre el focus i la corba). Si ''e'' &gt; 1, aquesta equació defineix una [[hipèrbola]]; si ''e'' = 1, defineix una [[paràbola]]; i si ''e'' &lt; 1, defineix una [[el·lipse]]. El cas especial de l'el·lipse en què ''e'' = 0 en resulta una circumferència de radi <math>\ell</math>.

== Nombres complexos ==
[[Fitxer:Imaginarynumber2.PNG|miniatura|Una il·lustració d'un nombre complex representat en el pla complex.]]
[[Fitxer:Euler's formula.svg|miniatura|Una il·lustració d'un nombre complex representat al pla complex fent servir la [[fórmula d'Euler]].]]
Cada [[nombre complex]] es pot representar com un punt del [[pla complex]], i per tant es pot expressar tant especificant les seves coordenades cartesianes (anomenada forma rectangular o cartesiana) com especificant les seves coordenades polars (anomenada la forma polar). El nombre complex ''z'' es pot representar en forma rectangular com 
: <math>z = x + iy\,</math>
on ''i'' és la [[unitat imaginària]], o alternativament es pot escriure en forma polar (via la fórmula de conversió donada [[#Conversió entre coordenades polars i coordenades cartesianes |més amunt]]) com
:<math>z = r\cdot(\cos\theta+i\sin\theta)</math>
I a partir d'aquí com
: <math>z = re^{i\theta} \,</math>
on ''e'' és la [[e (constant matemàtica)|constant d'Euler]], les quals són equivalents tal com es demostra per la [[fórmula d'Euler]].<ref>
 {{ref-llibre
 | cognom = Smith
 | nom = Julius O.
 | títol = Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT)
 | consulta = 22-09-2006
 | any = 2003
 | editorial = W3K Publishing
 | isbn = 0-9745607-0-7
 | capítol = Euler's Identity
 | urlcapítol = http://ccrma-www.stanford.edu/~jos/mdft/Euler_s_Identity.html
 }}</ref> (Fixeu-vos que aquesta fórmula, igual que totes les que impliquen exponencials d'angles, dóna per suposat que l'angle s'expressa en radians). Per convertir un complex de la forma rectangular a la polar o viceversa, es poden fer servir les fórmules donades [[#Conversió entre coordenades polars i coordenades cartesianes |més amunt]].

En general, les operacions de [[multiplicació]], [[divisió]], i [[exponenciació]] de nombres complexos són molt més fàcils de fer si els nombres s'expressen en notació polar que si s'expressen en notació rectangular. A partir de les lleis de l'exponenciació:

* Multiplicació:

:: <math>r_0 e^{i\theta_0} \cdot r_1 e^{i\theta_1}=r_0 r_1 e^{i(\theta_0 + \theta_1)} \,</math>

* Divisió:

:: <math>\frac{r_0 e^{i\theta_0}}{r_1 e^{i\theta_1}}=\frac{r_0}{r_1}e^{i(\theta_0 - \theta_1)} \,</math>

* Exponenciació ([[fórmula de De Moivre]]):

:: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta} \,</math>

== Càlcul ==
El càlcul es pot aplicar a equacions expressades en coordenades polars. En aquesta àrea, la coordenada angular θ s'expressa en radians. 

=== Càlcul diferencial ===
Es tenen les següents fórmules:

:<math>r \tfrac{\partial}{\partial r}= x \tfrac{\partial}{\partial x} + y \tfrac{\partial}{\partial y} \,</math>
:<math>\tfrac{\partial}{\partial \theta} = -y \tfrac{\partial}{\partial x} + x \tfrac{\partial}{\partial y} .</math>

Per trobar el pendent cartesià de la recta tangent a una corba polar ''r''(θ) a un punt donat qualsevol, primer s'expressa la corba en un sistema d'[[equació paramètrica|equacions paramètriques]].

:<math>x=r(\theta)\cos\theta \,</math>

:<math>y=r(\theta)\sin\theta \,</math>

[[Derivada|Derivant]] les dues equacions respecte de θ dóna

:<math>\frac{dx}{d\theta}=r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta \,</math>

:<math>\frac{dy}{d\theta}=r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta \,</math>

Dividint la segona equació entre la primera dóna el pendent cartesià de la recta tangent a la corba al punt (''r'', ''r''(θ)):

:<math>\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta}</math>

=== Càlcul integral ===
[[Fitxer:Polar coordinates integration region.svg|miniatura|La regió ''R'' queda limitada per la corba ''r''(θ) i els radis θ = ''a'' i θ = ''b''.]]
Sia ''R'' la regió tancada per la corba ''r''(θ) i els radis θ = ''a'' and θ = ''b'', on 0 < ''b'' − ''a'' < 2π. Llavors l'àrea de ''R'' és

:<math>\frac12\int_a^b r(\theta)^2\, d\theta.</math>

[[Fitxer:Polar coordinates integration Riemann sum.svg|miniatura|La regió ''R'' s'aproxima per ''n'' sectors (aquí, ''n'' = 5).]]
Aquest resultat es pot obtenir tal com segueix. Primer, l'interval [''a'', ''b''] es divideix en ''n'' subintervals, on ''n'' és un enter positiu qualsevol. Per tant Δθ, la longitud de cada subinterval, és igual a ''b'' − ''a'' (la longitud total de l'interval), dividida entre ''n'', el nombre de subintervals. Per cada subinterval ''i'' = 1, 2, …, ''n'', sia θ<sub>''i''</sub> el punt mitjà del subinterval, i es construeix un [[sector circular]] amb centre al pol, radi ''r''(θ<sub>''i''</sub>), angle centra Δθ i longitud d'arc <math>r(\theta_i)\Delta\theta\,</math>. L'àrea de cada un dels sectors que s'ha construït és igual a <math>\tfrac12r(\theta_i)^2\Delta\theta</math>. Per tant l'àrea total de tots els sectors és

:<math>\sum_{i=1}^n \tfrac12r(\theta_i)^2\,\Delta\theta.</math>

A mesura que el nombre de subintervals ''n'' creix, l'aproximació de l'àrea millora. En el límit quan ''n'' → ∞, el sumatori esdevé el [[sumatori de Riemann]] de la integral de més amunt.

==== Generalització ====
Utilitzant les [[coordenades cartesianes]], un element d'àrea infinitesimal es pot calcular com ''dA'' = ''dx'' ''dy''. La [[integració per substitució]] (o per canvi de variable) per [[integral múltiple|integrals múltiples]] estableix que cal considerar el [[determinant (matemàtiques)|determinant]] del [[Matriu jacobiana|Jacobià]] de la conversió de coordenades quan hi ha canvi de coordenades. Aquest determinant és: 
: <math>J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}
=\begin{vmatrix}
 \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\
 \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}
\end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}
 \cos\theta & -r \sin\theta \\
 \sin\theta & r \cos\theta
\end{vmatrix}
=r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r.</math>

Per tant, un element d'àrea en coordenades polars es pot escriure com 
:<math>dA = J\,dr\,d\theta = r\,dr\,d\theta.</math>

Per tant, una funció que es dóna en coordenades polars es pot integrar com segueix: 
:<math>\iint_R f(r,\theta) \, dA = \int_a^b \int_0^{r(\theta)} f(r,\theta)\,r\,dr\,d\theta.</math>
Aquí, ''R'' és la mateixa regió de més amunt, això és, la regió que està tancada per la corba ''r''(θ) i els radis θ = ''a'' i θ = ''b''.

La fórmula de l'àrea ''R'' de més amunt s'aconsegueix prenent ''f'' igual a 1. Una aplicació d'aquest resultat porta a la [[integral de Gauß]]
:<math> \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx = \sqrt\pi.</math>

=== Càlcul vectorial ===
El [[càlcul vectorial]] també es pot aplicar en coordenades polars. Sia <math>\mathbf{r}</math> el vector de posició <math>(r\cos(\theta),r\sin(\theta))\,</math>, amb ''r'' i <math>\theta</math> en funció del temps ''t'',sia <math>\hat{\mathbf{r}}</math> un vector unitari en la direcció <math>\mathbf{r}</math> i sia <math>\hat{\boldsymbol\theta}</math> un vector unitari perpendicular a <math>\mathbf{r}</math>. Les derivades primera i segona de la posició són 

:<math>\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \dot r\hat{\mathbf{r}} + r\dot\theta\hat{\boldsymbol\theta},</math>

:<math>\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta)\hat{\boldsymbol\theta}.</math>

== Tres dimensions ==
El sistema de coordenades polars es pot estendre a tres dimensions de dues formes diferents que donen lloc a dos sistemes de coordenades diferents, el sistema de coordenades cilíndriques i el sistema de coordenades esfèriques: tots dos inclouen com subconjunt el sistema de coordenades polar. En essència, el sistema de coordenades cilíndriques estén el sistema de coordenades polar a base d'afegir-li una coordenada addicional de tipus distància, mentre que el sistema de coordenades esfèriques l'estén a base d'afegir-li una coordenada addicional de tipus angular.

=== Coordenades cilíndriques ===
[[Fitxer:Cylindrical coordinates2.svg|miniatura|Un punt representat en coordenades cilíndriques.]]
{{principal|Sistema de coordenades cilíndriques}}
El ''sistema de coordenades cilíndriques'' és un sistema de coordenades que essencialment estén el sistema de coordenades polar bidimensional a base d'afegir-li una tercera coordenada que mesura l'alçada del punt per damunt del pla, de forma similar a com el [[sistema de coordenades cartesianes]] s'estén a tres dimensions. Habitualment es denota la tercera coordenada com ''h'', de forma que les tres coordenades cilíndriques són (''r'', θ, ''h'').

Les tres coordenades cilíndriques es poden transformar en coordenades cartesianes amb
:<math> \begin{align}
x &= r \, \cos\theta \\
y &= r \, \sin\theta \\
z &= h.
\end{align} </math>

=== Coordenades esfèriques ===
[[Fitxer:Spherical Coordinates (Colatitude, Longitude).svg|miniatura|Un punt representat emprant coordenades esfèriques.]]
{{principal|Sistema de coordenades esfèriques}}
Les coordenades polars també es poden estendre a tres dimensions fent servir les coordenades (ρ, φ, θ), on ρ és la distància a l'origen, φ és l'angle respecte de l'eix z (anomenat la colatitud o zenit i mesurat des de 0 fins a 180°) i θ és l'angle respecte de l'eix x (com a les coordenades polars). Aquest sistema de coordenades, anomenat ''sistema de coordenades esfèriques'', és similar al sistema basant-se en la [[latitud]] i la [[longitud (geografia)|longitud]] que es fa servir per determinar els punts a la superfície de la Terra, amb origen al centre de la Terra, la latitud δ és el complement de φ, determinat per δ = 90° − φ, i la longitud ''l'' es mesura per ''l'' = θ − 180°.<ref>{{ref-web| url = http://www.math.montana.edu/frankw/ccp/multiworld/multipleIVP/spherical/body.htm| títol = Spherical Coordinates| consulta = 16-09-2006| cognom = Wattenberg| nom = Frank| data = 1997
}}</ref>

Les coordenades esfèriques es poden transformar en coordenades cartesianes amb
:<math> \begin{align}
x &= \rho \, \sin\phi \, \cos\theta \\
y &= \rho \, \sin\phi \, \sin\theta \\
z &= \rho \, \cos\phi.
\end{align} </math>

== Aplicacions ==
Les coordenades polars són bidimensionals i per tant només es poden fer servir quan els punts pertanyen a un únic pla bidimensional. Són més apropiades en qualsevol context on el fenomen que es vol estudiar està lligat inherentment a la direcció i la distància respecte d'un punt central. Per exemple, en els casos de més amunt es mostra com equacions polars elementals són suficients per definir corbes -com ara l'espiral d'Arquimedes- per les que l'equació en coordenades cartesianes seria molt més complicada. A més, molts sistemes físics –com ara els relatius a cossos que es mouen entorn d'un punt central o a fenòmens originats a partir d'un punt central — són més senzills i més intuïtius de modelitzar fent servir coordenades polars. El motiu original per la introducció dels sistemes de coordenades polars va ser l'estudi del [[moviment circular]] i del [[òrbita|moviment orbital]].

=== Posició i navegació ===
Les coordenades polars es fan servir sovint en [[navegació marítima|navegació]], atès que la destinació o la direcció del viatge es poden donar com un angle i una distància a partir de l'objecte que s'està considerant. Per exemple, un [[avió]] fa servir una versió lleugerament modificada de les coordenades polars per la navegació. En aquest sistema, el radi de 0° se'n diu normalment direcció 360, i els angles segueixen el sentit de les agulles del rellotge en comptes de la direcció contrària d'aquestes, tal com es fa en el sistema matemàtic. La direcció 360 correspon al [[pol nord magnètic]], mentre que les direccions 90, 180 i 270 corresponen a l'est, sud i oest magnètics respectivament.<ref>{{ref-web| url = http://www.thaitechnics.com/nav/adf.html| títol = Aircraft Navigation System| consulta = 12-11-2006| cognom = Santhi| nom = Sumrit
}}</ref> Així, un avió que viatgi 5 milles nàutiques direcció est estarà viatjant 5 unitats en direcció 90 (pronunciat niner-zero pel servei de [[control del tràfic aeri]]).<ref>{{ref-web| url = http://www.faa.gov/library/manuals/aircraft/airplane_handbook/media/faa-h-8083-3a-7of7.pdf| títol = Emergency Procedures| consulta = 15-01-2007
}}</ref>

=== Modelització ===
[[Fitxer:Bosch 36W column loudspeaker polar pattern.png|miniatura|El patró de sortida d'un [[altaveu]] industrial fent servir diagrames polars esfèrics presos a sis freqüències diferents]]
Els sistemes que presenten [[simetria]] radial ofereixen un escenari natural pel sistema de coordenades polars, amb el punt central actuant com pol. Un exemple principal d'aquest ús és l'[[equació de flux d'aigües subterrànies]] quan s'aplica a pous amb simetria radial. Sistemes amb [[força central|forces radials]] són també bons candidats per fer servir els sistemes de coordenades polars. Aquests sistemes inclouen els [[gravitació|camps gravitacionals]], en què una dada és inversament proporcional al quadrat d'una altra dada, així com sistemes amb [[font puntual|fonts puntuals]] com ara [[antena (ràdio)|antenes de ràdio]].

Els sistemes que són radialment asimètrics també es poden modelitzar fent servi coordenades polars. Per exemple, els patrons polars d'un [[micròfon]] il·lustren la seva resposta proporcional a un so entrant provinent d'una direcció donada, i aquests patrons es poden representar com corbes polars. La corba per un micròfon cardioide estàndard, el micròfon unidireccional més comú, es pot representar com {{nowrap|1=''r'' = 0.5 + 0.5 sin θ}}.<ref>{{ref-llibre |cognom=Eargle |nom=John |títol=Handbook of Recording Engineering |any=2005 |edició=Quarta edició |editorial=Springer |isbn = 0387284702}}</ref> El patró es modifica passant cap a l'omnidireccionalitat a freqüències baixes.

La modelització tridimensional dels patrons de sortida dels [[altaveu]]s es pot utilitzar per predir les seves prestacions. Calen uns quants diagrames polars dibuixats en una àmplia selecció de freqüències perquè els patrons canvien molt amb la freqüència. Els diagrames polars ajuden a mostrar que molts altaveus tendeixen a comportar-se com omnidireccionals a baixes freqüències.

== Vegeu també ==
* [[Llista de transformacions canòniques de coordenades]]
* [[Coordenades cartesianes]]
* [[Coordenades cilíndriques]]
* [[Coordenades esfèriques]]
* [[Coordenades bipolars]]
* [[Coordenades generalitzades]]

== Referències ==
<div class="references-small">
;General
* {{ref-llibre|cognom=Anton|nom=Howard|coautors=Irl Bivens, Stephen Davis|títol=Calculus|edició=Seventh Edition|any=2002|editorial=Anton Textbooks, Inc.|isbn=0-471-38157-8}}
* {{ref-llibre|cognom=Finney|nom=Ross|coautors=George Thomas, Franklin Demana, Bert Waits|títol=Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic|edició=Single Variable Version|any=1994|mes=Juny|editorial=Addison-Wesley Publishing Co.|isbn=0-201-55478-X}}
;Específiques
</div>
{{referències}}

== Enllaços externs ==
{{Commonscat}}

* [http://fooplot.com/index.php?r0=2sin(4*theta)&type0=1 FooPlot (online function plotter in polar coordinates)]
* [http://www.unitsconversion.com.ar/coordinates/index.htm Online conversion tool between polar and Cartesian coordinates]

{{Article de qualitat}}

{{ORDENA:Coordenades Polars}}
{{autoritat}}
[[Categoria:Articles de qualitat de matemàtiques]]
[[Categoria:Sistema de coordenades]]
[[Categoria:Traduccions que són articles de qualitat]]