Mostra la font per a Desigualtat de Cauchy-Schwarz

En [[matemàtica|matemàtiques]], la '''desigualtat de Cauchy-Schwarz''', també coneguda com a '''desigualtat de Schwarz''', '''desigualtat de Cauchy''' o '''desigualtat de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz''' és una desigualtat molt útil present en moltes àrees, tals com l'àlgebra lineal aplicada a vectors, en l'anàlisi aplicat a sèries infinites i integració de productes, i en teoria de probabilitats, aplicada a [[variància|variàncies]] i covariàncies.

La desigualtat per sumes va ser publicada per [[Augustin Louis Cauchy|Augustin Cauchy]] (1821), mentre que la corresponent desigualtat per a integrals va ser establerta per [[Viktor Yakovlevich Bunyakovski]] (1859) i redescoberta per [[Hermann Schwarz|Hermann Amandus Schwarz]] (1888).

La desigualtat de Cauchy-Schwarz estableix que per a tot parell de vectors ''x'' i ''y'' d'un espai de producte intern real o complex, 

:<math>|\langle x,y\rangle|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle.</math>

De la mateixa manera, prenent l'arrel quadrada als dos costats i referint-se a la norma dels vectors, la desigualtat s'escriu:

:<math>|\langle x,y\rangle| \leq ||x|| \cdot ||y||.</math>

Addicionalment, ambdós costats són iguals si, i només si, ''x'' i ''y'' són [[Independència lineal|linealment dependents]].

La desigualtat de Cauchy-Schwarz és usada per demostrar que el producte intern és una funció contínua respecte a la topologia induïda pel mateix producte intern. També s'utilitza per demostrar la [[desigualtat de Bessel]].

La formulació general del [[principi d'incertesa de Heisenberg]] es deriva utilitzant la desigualtat de Cauchy-Schwarz en l'espai de producte intern de les funcions d'ona físiques.

[[Categoria:Desigualtats|Cauchy-Schwarz]]