Mostra la font per a Desigualtat de Laguerre-Samuelson

La '''desigualtat de Laguerre–Samuelson''' dóna fites per a les [[Arrel d'una funció|arrels]] de [[polinomi]]s que tenen totes les arrels reals. En concret, la desigualtat s'enuncia per a [[polinomi mònic|polinomis mònics]] de grau {{nowrap|''n'' ≥ 2}} tals que les seves ''n'' arrels {{nowrap|''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>n</sub>}} són [[nombres reals]] (el nombre d'arrels comptades amb multiplicitat és ''n'' pel [[teorema fonamental de l'àlgebra]], però podrien ser qualsevol [[nombre complex]]). Donat un polinomi
:<math>P(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + ... + a_0,</math>
si totes les arrels són reals, aleshores qualsevol arrel ''x''<sub>i</sub> compleix que
:<math>\left|x_i+\frac{a_{n-1}}{n}\right| \leq \left|\frac{n-1}{n}\sqrt{a_{n-1}^2-\frac{2n}{n-1}a_{n-2}}\right|.</math>
Això es pot reescriure per a fitar ''x''<sub>i</sub> entre dos valors, i s'obté un interval que conté totes les arrels:
:<math>-\frac{a_{n-1}}{n} - \frac{n-1}{n}\sqrt{a_{n-1}^2-\frac{2n}{n-1}a_{n-2}} \leq x_i \leq -\frac{a_{n-1}}{n} + \frac{n-1}{n}\sqrt{a_{n-1}^2-\frac{2n}{n-1}a_{n-2}}.</math>

Aquest resultat fou demostrat per primera vegada pel matemàtic [[Edmond Laguerre]] el 1880. Les fites establertes depenen dels coeficients ''a''<sub>n-1</sub>, ''a''<sub>n-2</sub> i del grau del polinomi ''n''. Si el polinomi no és mònic, només cal dividir-lo entre ''a''<sub>n</sub> per fer-lo mònic i obtenir la desigualtat corresponent.

L'economista [[Paul Samuelson]] arribà a un resultat equivalent el 1968, però enunciat en termes estadístics. Samuelson dóna fites pels valors d'una [[Mostra estadística|mostra]] {{nowrap|''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>n</sub> ∈ ℝ}} a partir de la [[mitjana aritmètica]] x̄, la [[desviació tipus]] σ i la [[mida mostral]] ''n''. L'enunciat de Samuelson estableix que, per a qualsevol {{nowrap|1= ''i'' = 1,...,''n''}},
:<math>\left|x_i-\overline{x}\right| \leq \left|\sigma\sqrt{n-1}\right|</math>
o bé, reescrivint-ho,
: <math> \overline{x} - \sigma\sqrt{n-1} \le x_i \le \overline{x} + \sigma\sqrt{n-1},</math>
a on, per definició,
: <math> \overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i} \qquad \text{i} \qquad \sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 }. </math>

Tant en l'enunciat de Laguerre com en el de Samuelson s'estableix un interval que ha de contenir els ''n'' valors donats. L'interval està centrat, en el primer cas, en −''a''<sub>n-1</sub>/''n'', que es pot veure que és la mitjana de les arrels, i en el segon cas directament en x̄. Aquest interval és la millor fita possible pels valors ''x''<sub>i</sub> si només es coneix ''a''<sub>n-1</sub>, ''a''<sub>n-2</sub> i ''n'' (o bé x̄, σ i ''n''), ja que es poden posar exemples en què s'assoleix la igualtat.

== Expressions per als coeficients del polinomi ==
La [[Factorització dels polinomis|factorització]] d'un polinomi mònic ''P''(''x'') amb arrels  {{nowrap|''x<sub>1</sub>'',...,''x<sub>n</sub>'' ∈ ℝ}} és
:<math>P(x) = \prod_{i=1}^{n}(x-x_i) = (x-x_1)\dotsm(x-x_n).</math>
Desenvolupant aquest producte pels termes de grau més gran s'obté que
:<math>P(x) = x^n+\left(-\sum_{i=1}^{n}x_i\right)x^{n-1}+\left(\sum_{1 \leq i < j \leq n}x_i x_j \right) x^{n-2} + \dotsb</math>
i així ja es poden expressar els coeficients ''a<sub>n-1</sub>'' i ''a<sub>n-2</sub>'' en funció de les arrels:
:<math>a_{n-1} = -\sum_{i=1}^{n}x_i \qquad \text{i} \qquad a_{n-2} = \sum_{1 \leq i < j \leq n} x_i x_j.</math>

== Equivalència dels enunciats ==
L'equivalència entre els enunciats de Laguerre i Samuelson s'obté considerant com a mostra {{nowrap|''x<sub>1</sub>'',...,''x<sub>n</sub>'' ∈ ℝ}} les arrels d'un polinomi ''P(x)'', o viceversa.

=== Relació entre els paràmetres ===
D'una banda,
:<math> \overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i} = -\frac{a_{n-1}}{n}.</math>
De l'altra, fent servir la igualtat anterior i la identitat
:<math>\left(\sum_{i=1}^{n}x_i\right)^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 + \underset{1 \leq i < j \leq n\ \ \ \ }{2\ \sum \ x_i x_j}</math><!-- Els espais (\ ) són un pedaç per tenir una bona presentació de la fórmula. -->
es pot desenvolupar
:<math>
\begin{align}
\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 &= \sum_{i=1}^n (x_i^2 -2\overline{x}x_i+\overline{x}^2)  = \sum_{i=1}^n x_i^2 -2n\overline{x}^2 + n\overline{x}^2\\
& = \left(\sum_{i=1}^{n}x_i\right)^2 -\underset{1 \leq i < j \leq n\ \ \ \ }{2\ \sum \ x_i x_j} -n\overline{x}^2  = a_{n-1}^2-2a_{n-2}-\frac{1}{n}a_{n-1}^2\\
& = \frac{n-1}{n}a_{n-1}^2 - 2a_{n-2},
\end{align}
</math>
i per tant
:<math>\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 } = \sqrt{\frac{n-1}{n^2}a_{n-1}^2 - \frac{2a_{n-2}}{n}}.</math>
Així, ja tenim la relació entre els [[Estadístic mostral|estadístics]] x̄  i σ i els [[coeficient]]s ''a<sub>n-1</sub>'' i ''a<sub>n-2</sub>'', mentre que el grau ''n'' del polinomi és igual a la mida ''n'' de la mostra.

=== Equivalència de les desigualtats ===
Partint de la desigualtat enunciada per Samuelson,
:<math>\left|x_i-\overline{x}\right| \leq \left|\sigma\sqrt{n-1}\right|,</math>
i substituint x̄  i σ per les expressions trobades a la subsecció anterior, s'obté
:<math>\left|x_i+\frac{a_{n-1}}{n}\right| \leq \left|\sqrt{\frac{n-1}{n^2}a_{n-1}^2 - \frac{2a_{n-2}}{n}}\sqrt{n-1}\right| = \left|\frac{n-1}{n}\sqrt{a_{n-1}^2-\frac{2n}{n-1}a_{n-2}}\right|,</math>
i aquesta és la desigualtat enunciada per Laguerre.

== Demostració ==
Per a demostrar que la desigualtat és vàlida per a qualsevol arrel ''x''<sub>i</sub> de ''P''(''x''), n'hi ha prou en veure-ho per a ''x''<sub>n</sub>, ja que no hem suposat cap ordre per a les arrels. Cal veure, doncs, que
:<math>\left|x_n+\frac{a_{n-1}}{n}\right| \leq \left|\frac{n-1}{n}\sqrt{a_{n-1}^2-\frac{2n}{n-1}a_{n-2}}\right|.</math>
Substituint ''a''<sub>n-1</sub> i ''a''<sub>n-2</sub> per les seves expressions en termes de les arrels, això és que
:<math>\left|x_n-\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}\right| \leq \left|\frac{n-1}{n}\sqrt{\left(\sum_{i=1}^{n}x_i\right)^2-\frac{2n}{n-1}\sum_{1 \leq i < j \leq n} x_i x_j}\right|.</math>
Es pot desenvolupar
:<math>\sum_{i<j} x_i x_j = \frac{1}{2}\sum_{i<j}\left[x_i^2 + x_j^2 - (x_i-x_j)^2\right] = \frac{n-1}{2} \sum_i x_{i}^{2} \,-\, \frac{1}{2}\sum_{i < j} (x_i-x_j)^2,</math>
i per tant també
:<math>\left(\sum_i x_i\right)^2 = \sum_i x_i^2 +\sum_{i<j} 2 x_i x_j = n\sum_i x_i^2 - \sum_{i<j}(x_i-x_j)^2,</math>
havent pres ''i'', ''j'' ∈ {1,...,''n''}. Substituint a la desigualtat, s'obté
:<math>\left|x_n-\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}\right| \leq \left|\frac{n-1}{n}\sqrt{n\sum_{i=1}^n x_i^2 - \sum_{1 \leq i < j \leq n}(x_i-x_j)^2-\frac{2n}{n-1}\left(\frac{n-1}{2} \sum_{i=1}^n x_{i}^{2} \,-\, \frac{1}{2}\sum_{1 \leq i < j \leq n} (x_i-x_j)^2\right)}\right|,</math>
i simplificant,
:<math>\left|x_n-\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}\right| \leq \left|\frac{n-1}{n}\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{1 \leq i < j \leq n} (x_i-x_j)^2}\right|.</math>
Com que els dos costats són quantitats positives, es poden elevar al quadrat i s'obté una desigualtat equivalent:
:<math>\left(x_n-\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}\right)^2 \leq \frac{n-1}{n^2}\sum_{1 \leq i < j \leq n} (x_i-x_j)^2.</math>
Ara, desenvolupant el quadrat,
:<math>x_n^2-\frac{2x_n}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i+\frac{1}{n^2}\left(\sum_{i=1}^{n}x_i\right)^2 \leq \frac{n-1}{n^2}\sum_{1 \leq i < j \leq n} (x_i-x_j)^2,</math>
i substituint com abans,
:<math>x_n^2-\frac{2x_n}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i+\frac{1}{n^2}\left(n\sum_{i=1}^n x_i^2 - \sum_{1 \leq i < j \leq n}(x_i-x_j)^2\right) \leq \frac{n-1}{n^2}\sum_{1 \leq i < j \leq n} (x_i-x_j)^2,</math>
que simplificant queda
:<math>x_n^2-\frac{2x_n}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2 \leq \frac{1}{n}\sum_{1 \leq i < j \leq n} (x_i-x_j)^2.</math>
Si se separen els termes amb ''x''<sub>n</sub> s'obté
:<math>x_n^2-\frac{2x_n}{n}\sum_{i=1}^{n-1}x_i-\frac{2x_n^2}{n}+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n-1} x_i^2 +\frac{x_n^2}{n} \leq \frac{1}{n}\sum_{1 \leq i < j \leq n-1} (x_i-x_j)^2 + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n-1} (x_i-x_n)^2,</math>
se segueix
:<math>\frac{n-1}{n}x_n^2-\frac{2x_n}{n}\sum_{i=1}^{n-1}x_i+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n-1} x_i^2 \leq \frac{1}{n}\sum_{1 \leq i < j \leq n-1} (x_i-x_j)^2 + \frac{n-1}{n}x_n^2-\frac{2x_n}{n}\sum_{i=1}^{n-1} x_i +\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n-1} x_i^2,</math>
i cancel·lant termes,
:<math>0 \leq \frac{1}{n}\sum_{1 \leq i < j \leq n-1} (x_i-x_j)^2.</math>
S'ha obtingut, finalment, una desigualtat que és equivalent a l'inicial (una es compleix [[si i només si]] es compleix l'altra) i que és clarament certa, ja que els termes de la dreta, en ser quadrats, mai poden ser negatius. Això conclou la demostració.

== Casos d'igualtat ==
La igualtat s'assoleix quan hi ha ''n''−1 valors iguals i un de diferent. Quan el valor que va sol és el més petit s'assoleix la fita inferior, i quan és el més gran, la superior.

Efectivament, si {{nowrap|1=''x''<sub>1</sub> = ... = ''x''<sub>n-1</sub>}}, llavors
:<math>\overline{x} = \frac{nx_1-x_1+x_n}{n} \qquad \text{i} \qquad \sigma =\sqrt{(n-1)}\frac{|x_n-x_1|}{n},</math>
les fites per a ''x''<sub>i</sub> són
:<math>
\begin{cases}
x_n \le x_i \le x_1+\frac{n-2}{n}(x_1-x_n) & \quad \text{si} \quad x_n \leq x_1, \\
x_1-\frac{n-2}{n}(x_n-x_1) \le x_i \le x_n & \quad \text{si} \quad x_n \geq x_1,
\end{cases}
</math>
i aquestes fites s'assoleixen per ''x''<sub>n</sub>.

Recíprocament, si s'assoleix la igualtat per a una arrel, la resta d'arrels han de ser iguals entre elles. Això es pot veure seguint els mateixos passos que a la secció «[[Desigualtat de Laguerre-Samuelson#Demostració|Demostració]]»: si es compleix la igualtat aleshores s'ha de complir que
:<math>0 = \frac{1}{n}\sum_{1 \leq i < j \leq n-1} (x_i-x_j)^2,</math>
i per tant, per a qualssevol ''i'' i ''j'' menors que ''n'', {{nowrap|1= ''x''<sub>i</sub> = ''x''<sub>j</sub>}}.

En el cas particular ''n'' = 2 l'interval té d'extrems les solucions de la fórmula de l'[[equació de segon grau]], així que les fites sempre són exactes.

== Referències ==
* Samuelson, Paul. «How Deviant Can You Be?», ''Journal of the American Statistical Association'', volum 63, número 324 (desembre de 1968), p.&nbsp;1522–1525. [[JSTOR]] [http://www.jstor.org/stable/2285901 2285901].
* Jensen, Shane Tyler [http://www.collectionscanada.gc.ca/obj/s4/f2/dsk1/tape10/PQDD_0027/MQ50799.pdf ''The Laguerre–Samuelson Inequality with Extensions and Applications in Statistics and Matrix Theory''], MSc Thesis (1999). Department of Mathematics and Statistics, [[McGill University]].

[[Categoria:Desigualtats]]