Mostra la font per a Distribució normal

{{Infotaula distribució de probabilitat 
  | name       = Distribució normal
  | type       = density
  | pdf_image  = [[Fitxer:Normal Distribution PDF.svg|350px]]<br /><small>La corba vermella és la ''distribució normal estàndard''</small>
  | cdf_image  = [[Fitxer:Normal Distribution CDF.svg|350px]]
  | notation   = <math>\mathcal{N}(\mu,\,\sigma^2)</math>
  | parameters = {{nowrap|''μ'' ∈ '''R'''}} — mitjana ([[paràmetre de posició|posició]])<br />{{nowrap|''σ''<sup>2</sup> > 0}} — variància ([[paràmetre d'escala|escala]] al quadrat)
  | support    = ''x'' ∈ '''R'''
  | pdf        = <math>\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}</math>
  | cdf        = <math>\frac12\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right] </math>
  | quantile   = <math>\mu+\sigma\sqrt{2}\,\operatorname{erf}^{-1}(2F-1)</math>
  | mean       = {{math|''μ''}}
  | median     = {{math|''μ''}}
  | mode       = {{math|''μ''}}
  | variance   = <math>\sigma^2\,</math>
  | skewness   = 0
  | kurtosis   = 0 <!-- DO NOT REPLACE THIS WITH THE OLD-STYLE KURTOSIS WHICH IS 3. -->
  | entropy    = <math>\frac12 \ln(2 \pi e \, \sigma^2)</math>
  | mgf        = <math>\exp\{ \mu t + \frac{1}{2}\sigma^2t^2 \}</math>
  | char       = <math>\exp \{ i\mu t - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2 \}</math>
  | fisher     = <math>\begin{pmatrix}1/\sigma^2&0\\0&1/(2\sigma^4)\end{pmatrix}</math>
  | conjugate prior = Normal distribution
  }}

La '''distribució normal''', també coneguda com a '''distribució gaussiana''', és una important família de distribucions de probabilitat contínues i és aplicable a molts camps.
Cada membre de la família queda definit per dos paràmetres: la localització o mitjana <math>\mu</math> i l'escala o desviació estàndard <math>\sigma</math>, i es denota per <math>\ \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)</math>. Un cas particular és la '''distribució normal estàndard''', per la qual la mitjana és 0 i la desviació estàndard és 1.
Fou [[Carl Friedrich Gauss]] qui descobrí la distribució normal quan analitzava dades astronòmiques, i definí l'equació de la seva [[funció de densitat de probabilitat]].<ref>Havil, 2003</ref> Aquesta distribució també s'anomena '''campana de Gauss''', atès que el gràfic de la seva funció de densitat de probabilitat s'assembla a una campana.

La importància de la distribució normal en les ciències naturals i del comportament rau en el [[teorema central del límit]]. Aquest teorema estableix que la suma d'un elevat nombre d'efectes independents segueix (aproximadament) una distribució normal. D'aquesta manera, és útil en processos en els quals hi ha errors de mesura que es deuen a un elevat nombre de factors, tots ells contribuint una petita porció a l'error total. En la teoria de probabilitat i d'inferència estadística, el [[teorema central del límit]] garanteix que un llarg nombre d'estadístics segueixen la distribució normal, si més no aproximadament. Per exemple, la mitjana mostral o els estimadors màxim versemblants segueixen aproximadament una distribució normal sota certes condicions matemàtiques que són força generals.

== Funció de densitat de probabilitat ==
:<math>
f(x;\mu,\sigma) =
\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \, e^{ -\frac{(x- \mu)^2}{2\sigma^2}} = \frac{1}{\sigma} \varphi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right) </math>

on σ és la [[desviacio estàndard]], μ és l'[[esperança matemàtica]], i

: <math>\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\,}} \, e^{-\frac{1}{2}x^2}</math>

és la funció de densitat de probabilitat de la distribució normal estàndard, és a dir, la distribució normal amb μ = 0 i σ = 1. Per comprovar que la [[integral]] de <math>\varphi(x)</math> sobre la recta real és igual a 1 vegeu la [[integral de Gauß]].

== Funció de distribució ==
No existeix una fórmula tancada per a la funció de distribució, però pot aproximar-se amb diversos mètodes, com [[integració numèrica]], [[sèries de Taylor]], [[sèries asimptòtiques]] i fraccions contínues.

== Funcions generadores ==
=== Funció generadora de moments ===

La [[funció generadora de moments]] es defineix com a l'[[esperança matemàtica]] de exp(''tX'').
Per la distribució normal la funció generadora de moments és:

: <math>
\begin{align}
M_X(t) & {} = \mathrm{E} \left[ \exp{(tX)} \right] \\
& {} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} }
\exp{\left( -\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right)}
\exp{(tx)} \, dx \\
& {} = \exp{ \left( \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right)}
\end{align}
</math>

=== Funció característica ===

La [[Funció característica (teoria de la probabilitat)|funció característica]] es defineix com a l'[[esperança matemàtica]] de exp(''itX''), on i és el nombre imaginari, i ''t'' és un nombre real.
Per la distribució normal la funció característica és:

: <math>\begin{align}
\chi_X(t;\mu,\sigma) &{} = M_X(i t) = \mathrm{E}
\left[ \exp(i t X) \right] \\
&{}=
\int_{-\infty}^{\infty}
 \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}
 \exp
 \left(- \frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}
 \right)
 \exp(i t x)
\, dx \\
&{}=
\exp
\left(
 i \mu t - \frac{\sigma^2 t^2}{2}
\right).
\end{align}
</math>

== Propietats ==

Algunes propietats:

# Si <math>X\, \sim\, \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)</math> i <math>a</math> i <math>b</math> són nombres reals, aleshores <math>a X + b\, \sim\, N(a \mu + b, (a \sigma)^2)</math> (veure [[esperança matemàtica|esperança]] i [[variància]]).
# Si <math>X \sim \mathcal{N}(\mu_X, \sigma^2_X)</math> i <math>Y \sim \mathcal{N}(\mu_Y, \sigma^2_Y)</math> són [[variable aleatòria|variables aleatòries]] normals [[independència estadística|independents]], aleshores:
#* La seva suma segueix la distribució normal amb <math>U = X + Y \sim \mathcal{N}(\mu_X + \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)</math>.
#* La seva diferència segueix una distribució normal amb <math>V = X - Y \sim \mathcal{N}(\mu_X - \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)</math>.
#* <math>U</math> i <math>V</math> són independents si i només si <math>\sigma_X = \sigma_Y</math>.
#* La [[divergència de Kullback-Leibler]], <math>D_{\rm KL}( X \| Y ) =
{ 1 \over 2 } \left( \log \left( { \sigma^2_Y \over \sigma^2_X } \right) + \frac{\sigma^2_X}{\sigma^2_Y} +
\frac{\left(\mu_Y - \mu_X\right)^2}{\sigma^2_Y} - 1\right).
</math>
# Si <math>X \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_X)</math> i <math>Y \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_Y)</math> són variables aleatòries normals independents, aleshores:
#* El seu producte <math>X Y</math> segueix una distribució and funció de probabilitat de densitat <math>p</math> donada per
#*: <math>p(z) = \frac{1}{\pi\,\sigma_X\,\sigma_Y} \; K_0\left(\frac{|z|}{\sigma_X\,\sigma_Y}\right),</math> on <math>K_0</math> és una [[funció de Bessel#funcions Bessel modificades|funció de Bessel modificada de segon tipus]].
#* El seu qüocient segueix una [[distribució de Cauchy]] amb <math>X/Y\, \sim\, \mathrm{Cauchy}(0,\, \sigma_X/\sigma_Y)</math>. 
# Si <math>X_1, \dots, X_n</math> són variables aleatòries independents idènticament distribuïdes amb distribució normal estàndard, aleshores <math>X_1^2 + \cdots + X_n^2</math> segueix una [[distribució khi quadrat]] amb ''n'' graus de llibertat.

=== Estandarditzant variables aleatòries normals ===

Com a conseqüència de la propietat 1, és possible relacionar totes les variables aleatòries normals amb la distribució normal estàndard.

Si <math>\ X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)</math>, aleshores

:<math>Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \!</math>

és una variable aleatòria normal estàndard: <math>\ Z \sim \mathcal{N}(0,1)</math>.
Una conseqüència important és que la funció de distribució de <math>\ X</math> és :

:<math>\Pr(X \leq x) = \Phi \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right),</math>

on <math>\Phi</math> és la funció de distribució normal estàndard: per a tot [[nombre real|real]] ''t'',
:<math>\ \Phi(t) = \int_{-\infty}^{\,t}\varphi(u)\, du = \int_{-\infty}^{\,t}\frac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{u^2}{2}}\, du = \frac{1}{2} \left(1 + \operatorname{erf}\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)\right).</math> 

D'altra banda, si <math>Z</math> és una variable aleatòria normal estàndard, <math>\ Z \sim \mathcal{N}(0,1)</math>, aleshores

:<math>X = \sigma\, Z + \mu</math>

és una variable aleatòria normal amb esperança <math>\mu</math> i variància <math>\sigma^2</math>. 

La funció de distribució normal estàndard <math>\Phi</math> ha estat tabulada, i les altres funcions de distribució normals en són simples transformacions, tal com hem explicat anteriorment. Per tant, un pot emprar valors tabulats de la funció de distribució normal estàndard per a trobar el valor de la funció de distribució de qualsevol altra distribució normal.

=== Moments ===
Alguns dels primers [[moments (matemàtiques)|moments]] de la distribució normal són:
{| class="wikitable"
|- bgcolor="#CCCCCC"
! Número !! Moment !! Moment central !! Cumulant
|-
| 0 || 1 || 1 ||
|-
| 1 || <math>\mu</math> || 0 || <math>\mu</math>
|-
| 2 || <math>\mu^2 + \sigma^2</math> || <math>\sigma^2</math> || <math>\sigma^2</math>
|-
| 3 || <math>\mu^3 + 3\mu\sigma^2</math> || 0 || 0
|-
| 4 || <math>\mu^4 + 6 \mu^2 \sigma^2 + 3 \sigma^4</math> || <math>3 \sigma^4</math> || 0
|}

Tots els [[cumulant]]s de la distribució normal a partir del segon són zero.

== Vegeu també ==
* [[Mètode dels mínims quadrats]].

== Referències ==
{{Commonscat}}
{{referències}}
{{Viccionari-lateral|distribució normal}}

{{Distribucions de probabilitat}}
{{Autoritat}}
{{ORDENA:Distribucio Normal}}

[[Categoria:Distribucions de probabilitat|Normal]]