Mostra la font per a Equacions de Maxwell

{{Vegeu3|les equacions electromagnètiques|les equacions termodinàmiques|Relacions de Maxwell}}
{{Electromagnetisme|secció=[[Electrodinàmica clàssica]]}}
Les '''equacions de Maxwell''' són un conjunt de quatre [[equació|equacions]] que, afegint-hi la [[força de Lorentz]], descriuen completament els fenòmens electromagnètics. La gran contribució de [[James Clerk Maxwell]] fou reunir en aquestes equacions molts anys de resultats experimentals i investigacions teòriques, deguts a [[Charles-Augustin de Coulomb|Coulomb]], [[Karl Friedrich Gauss|Gauss]], [[André-Marie Ampère|Ampère]], [[Michael Faraday|Faraday]] i altres, introduint els conceptes de [[Camp (Física)|camp]] i de [[corrent de desplaçament]], i unificant els camps elèctrics i magnètics en un sol concepte: el [[camp electromagnètic]]. De les equacions de Maxwell, a més, es desprèn l'existència d'[[ona electromagnètica|ones electromagnètiques]] propagant-se amb velocitat igual al valor de la [[velocitat de la llum]] ''c'' en el buit, amb la qual cosa Maxwell va identificar la llum amb una ona electromagnètica, unificant l'[[òptica]] amb l'[[electromagnetisme]].<ref>{{GEC|0041537|equacions de Maxwell}}</ref>

== Detall de les equacions ==
=== Llei de Gauss ===
{{AP|Llei de Gauss}}
[[Fitxer:GaussLaw1.svg|miniatura|La llei de Gauss afirma que, donat que la càrrega és positiva i està dins la superfície, el flux ser positiu, tal com veiem en el dibuix.]]
[[Fitxer:GaussLaw2.svg|miniatura|La llei de Gauss afirma que, donat que la càrrega està a l'exterior de la superfície, el flux serà nul, tal com s'intueix en el dibuix.]]
La llei de Gauss relaciona el [[Flux elèctric|flux del camp elèctric]] a través d'una superfície tancada amb la quantitat de càrrega que es troba a l'interior de la superfície.

Primer de tot, la definició del flux del camp elèctric <math>\Phi_E</math> és la integral sobre tota la superfície tancada del vector <math>\mathrm d \mathbf S</math> multiplicat escalarment pel vector camp elèctric <math>\mathbf E</math>:
{{equació|<math>\Phi_E = \oint_S \mathbf E \cdot \mathrm d \mathbf S </math>}}
Per altra banda, hem dit que ens interessa la quantitat de càrrega a l'interior de la superfície tancada. Per tant, sigui <math>V</math> el volum que està envoltat per la superfície <math>S</math> - és a dir, que <math>S</math> és la frontera de <math>V</math>: <math>S = \partial V </math> - la càrrega total a l'interior de <math>S</math> serà la [[integral de volum]] de la densitat de càrrega <math>\rho</math> :
{{equació|<math>Q_{\mathrm {int}} = \int_V \; \rho \; \mathrm dV</math>}}
Un cop dit això, la llei de Gauss afirma que el flux del camp elèctric a través d'una superfície <math>S = \partial V</math> és directament proporcional a la càrrega interior, i la constant de proporcionalitat és <math>\frac{1}{\varepsilon_0}</math>. Això escrit matemàticament és:
{{equació|<math> \oint_{\partial V} \mathbf E \cdot \mathrm d \mathbf S = \frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0} = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V \; \rho \; \mathrm dV </math>}}
Que s'anomena la '''llei de Gauss en forma integral'''. En el cas del camp electroestàtic, aquesta fórmula es pot deduir de la [[llei de Coulomb]] i viceversa. Tot i això, la llei de Gauss segueix sent vàlida en el cas electrodinàmic.

A partir de la fórmula anterior, i aplicant el [[teorema de la divergència]], obtindrem la '''llei de Gauss en forma diferencial'''. Vegem-ho:
{{equació|<math> \frac{Q_{\mathrm {int}}}{\varepsilon_0} = \int_V \; \frac{\rho}{\varepsilon_0} \; \mathrm dV  = \oint_{\partial V}  \mathbf E \cdot \mathrm d \mathbf S = \int_V \; \nabla \cdot \mathbf E \; \mathrm dV \; \Rightarrow \; \int_V \left(\nabla \cdot \mathbf E - \frac{\rho}{\varepsilon_0}\right) \mathrm dV = 0 </math>}}
On hem aplicat el teorema de la divergència en la tercera igualtat. Com que això es compleix per qualsevol volum <math>V</math>, això implica que l'element de dins l'última integral és sempre 0, de manera que concluïm que:
{{equació|<math>\nabla \cdot \mathbf E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>}}

=== Llei de Gauss per al magnetisme ===
{{AP|Llei de Gauss per al magnetisme}}
[[Fitxer:GaussLaw4.svg|miniatura|Veiem a la figura les línies de camp creat per un [[dipol magnètic]]. Veiem que, tal com afirma la llei de Gauss per al magnetisme, el flux a través de la superfície és nul, ja que entren tantes línies de camp com surten.]]
La llei de Gauss per al magnetisme afirma que no existeixen els [[monopol magnètic|monòpols magnètics]], és a dir, que no es pot aïllar un punt on només entrin línies de camp magnètic o només en surtin, sinó que totes les línies de camp són tancades. Això s'expressa dient que el camp magnètic és un [[camp solenoïdal]]. Fent servir el llenguatge del [[càlcul vectorial]], podem escriure la '''llei de Gauss per al magnetisme en forma diferencial''' de la següent manera:
{{equació|<math>\nabla \cdot \mathbf B = 0</math>}}
Com passava abans, aquesta llei pot ser escrita també integralment. Per passar d'una a l'altra, apliquem una integral de volum als dos costats de la igualtat anterior:
{{equació|<math>\int_V \nabla \cdot \mathbf B \; \mathrm dV = \int_V \; 0 \; \mathrm dV = 0</math>}}
Tornem a aplicar el [[teorema de la divergència]], així que ens queda que:
{{equació|<math>0 = \int_V \nabla \cdot \mathbf B \; \mathrm dV = \oint_{\partial V} \mathbf B \cdot \mathrm d \mathbf S</math>}}
Que és la '''llei de Gauss per al magnetisme en forma integral'''.

=== Llei de Faraday ===
{{AP|Llei de Faraday}}

[[Fitxer:Teorema_Stokes.svg|miniatura|Esquema on es visualitza una superfície <math>S</math>, la seva frontera <math>\partial S</math> i un vector diferencial de superfície <math>\mathrm d \mathbf S </math>, que és sempre perpendicular a la superfície en qualsevol punt. Cal fixar-se en el fet que l'orientació del camí segueix la regla de la mà dreta.]]

La llei de Faraday estableix la relació entre la [[força electromotriu|força electromotriu induïda]] a una espira i la variació del flux del camp magnètic a través de la superfície de l'espira. Començarem expressant la llei en forma integral, i llavors la passarem a forma diferencial.

Matemàticament, podem interpretar l'espira com una corba parametritzada. Aquesta corba és, al mateix temps, la frotera d'infinites superfícies obertes que també podem expressar matemàticament. Llavors, triarem una qualsevol d'aquestes superfícies (la que més adient sigui pel nostre problema) que anomenarem <math>S</math>. El [[flux magnètic|flux del camp magnètic]] a través de <math>S</math> és:
{{equació|<math>\Phi_B = \int_S \mathbf B \cdot \mathrm d \mathbf S </math>}}
Amb aquestes condicions, la llei de Faraday afirma que la variació del flux comporta una força electromotriu induïda a l'espira de la següent manera:
{{equació|<math>\mathcal E = - \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \Phi_B = - \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \int_S \mathbf B \cdot \mathrm d \mathbf S </math>}}
Però la força electromotriu induïda es pot interpretar com la integral de línia al llarg de l'espira del camp elèctric, és a dir:
{{equació|<math> \mathcal E = \oint_{\partial S} \mathbf E \cdot \mathrm d \mathbf l </math>}}
On la integral de línia es fa seguint l'orientació induïda per l'orientació de la superfície, o sigui, seguint la [[regla de la mà dreta]] (vegeu figura). Finalment, ens queda l'expressió definitiva de la '''llei de Faraday en forma integral''':
{{equació|<math>\oint_{\partial S} \mathbf E \cdot \mathrm d \mathbf l = - \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \int_S \mathbf B \cdot \mathrm d \mathbf S </math>}}
Com passava els altres cops, podem escriure-ho d'una altra manera, que anomenarem '''llei de Faraday en forma diferencial''':
{{equació|<math> \nabla \times \mathbf E = - \frac{\partial \mathbf B}{\partial t} </math>}}
Es pot deduir de l'expressió anterior fent servir el [[teorema de Stokes]].

== Formulació ==
La formulació moderna de les equacions de Maxwell és deguda a [[Oliver Heaviside]] i [[Josiah Willard Gibbs]], que el [[1884]] reformularen les equacions originals de Maxwell en un sistema abreujat utilitzant notació vectorial. La formulació original de Maxwell datava de [[1865]] i contenia 20 equacions de 20 variables. La formulació vectorial resultava especialment atractiva perquè remarcava les simetries intrínseques en les equacions fent més fàcil la seva utilització.

Les equacions de Maxwell, en forma integral i diferencial són les següents (ambdues formes són totalment equivalents, es pot passar d'una a l'altra amb les eines habituals del càlcul diferencial).

{| border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" 
|- style="background-color: #aaddcc;"
! Nom
! Forma diferencial
! Forma integral
|-
| [[Llei de Gauss]]
| <math>\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho </math> 
| <math>\oint_S \mathbf{D}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = Q_{i}</math>
|-
| [[Llei de Gauss per al magnetisme]]
| <math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math> 
| <math>\oint_S \mathbf{B} \cdot \mathrm d \mathbf{S} = 0</math>
|-
| [[Llei de Faraday]]:
| <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math> 
| <math>\oint_{\partial S} \mathbf{E} \cdot \mathrm d \mathbf{l} = - {\mathrm d \over \mathrm dt}\int_{S} \mathbf{B} \cdot \mathrm d \mathbf{S}</math> 
|-
| [[Llei d'Ampère#Llei d'Ampère corregida: l'equació d'Ampère-Maxwell|Llei d'Ampère-Maxwell]]:
| <math>\nabla \times \mathbf H = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf D}{\partial t}</math>
| <math>\oint_{\partial S} \mathbf{H} \cdot \mathrm d \mathbf{l} = \int_S \mathbf{J} \cdot \mathrm d \mathbf{S} +
{\mathrm d \over \mathrm dt} \int_S \mathbf{D} \cdot \mathrm d \mathbf{S}</math>
|}

* ''Q'' és la [[càrrega elèctrica]] (unitat [[Sistema Internacional d'Unitats|SI]]: [[coulomb]]).
* ''ρ'' és la [[densitat de càrrega]] elèctrica (unitat [[Sistema Internacional d'Unitats|SI]]: [[coulomb]] per metre cúbic), sense incloure càrregues dipolars lligades a un material.
* <math>\mathbf{B}</math> és la [[inducció magnètica]] (unitat SI: [[tesla (unitat)|tesla]], [[volt]] × [[segon]] per metre quadrat) <math>\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H} </math>.
* <math>\mathbf{D}</math> és el [[desplaçament elèctric]] (unitat SI: coulomb per [[metre quadrat]]) <math>\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E} </math>.
* <math>\mathbf{S}</math> és l'àrea de la superfície gaussiana d'integració.
* <math>\mathbf{E}</math> és el [[camp elèctric]] (unitat SI: [[volt]] per [[metre]]).
* <math>\mathbf{H}</math> és el [[camp magnètic]] (unitat SI: [[ampere]] per metre).
* <math>\mathbf{J}</math> és la densitat de [[corrent elèctric]] (unitat SI: ampere per metre quadrat)
* <math>\nabla \cdot</math> és l'[[operador]] [[divergència]] (unitat del SI: 1 per metre)
* <math>\nabla \times</math> és l'[[operador]] [[rotacional]] (unitat del SI: 1 per metre)

Encara que es donen les unitats del [[sistema internacional d'unitats]] per a les diversos magnituds, les equacions de Maxwell es mantenen en altres sistemes d'unitats. 

== Interpretació física de les equacions ==
Les quatre equacions de Maxwell expressen, respectivament, com les [[càrrega elèctrica|càrregues elèctriques]] produeixen [[camp elèctric|camps elèctrics]] ([[llei de Gauss]]), l'absència experimental de [[monopol magnètic|càrregues magnètiques]] (2a llei), com el [[Corrent elèctric|corrent]] produeix [[camp magnètic|camps magnètics]] ([[llei d'Ampère]]) i com els camps magnètics canviants produeixen camps elèctrics ([[Llei de Faraday|llei de la inducció de Faraday]]).

=== Conservació de la càrrega ===
{{AP|Conservació de la càrrega}}
La conservació de la càrrega és un principi que estableix que no és possible crear ni destruir càrrega. Això vol dir que si en un punt hi ha una disminució de la densitat de càrrega, implica que també hi ha d'haver una divergència positiva de densitat de corrent, i viceversa. 

Això pot ser resumit matemàticament en la següent expressió
{{equació|<math>\frac{\partial \rho}{\partial t}+ \nabla\cdot\mathbf J=0</math>}}
que pot deduir-se fàcilment a partir de les lleis de Maxwell.
{{demostració|
Per fer la demostració, aplicarem l'operador divergència a la [[Llei d'Ampère|llei d'Ampère-Maxwell]]:
{{equació|<math>\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf H) = \nabla \cdot  \mathbf J + \nabla \cdot {\partial \mathbf D \over \partial t} </math>}}
Però tenint en compte que la divergència del rotacional és zero, tenim que:
{{equació|<math>\nabla \cdot \mathbf J + {\partial  \over \partial t}(\nabla \cdot \mathbf D) = 0 </math>}}
Si apliquem la [[llei de Gauss]] obtenim
{{equació|<math>\nabla \cdot \mathbf J + {\partial \rho  \over \partial t} = 0 </math>}}
tal com volíem demostrar.
}}
Aquesta expressió també es pot escriure en forma integral:
{{equació|<math> \oint_{S} \mathbf J \cdot \mathrm d \mathbf S = -\frac{\mathrm d Q_{\mathrm{int}}}{\mathrm dt} </math>}}
Que s'obté utilitzant el [[teorema de la divergència]] a l'expressió diferencial anterior.
{{demostració|
Primer de tot, notem que si tenim un volum <math>V</math> que té per frontera una superfície <math>S = \partial V </math>, llavors es compleix que la càrrega interior al volum és
{{equació|<math> Q_{\mathrm{int}} = \int_V \rho \; \mathrm d V</math>}}
Així que si apliquem la integral de volum als dos costats de la condició de continuïtat en forma diferencial obtenim:
{{equació|<math>\int_V\frac{\partial \rho}{\partial t} \; \mathrm dV + \int_V \nabla\cdot\mathbf J \; \mathrm dV = \int_V 0 \; \mathrm dV = 0</math>}}
Que reescriurem com:
{{equació|<math>\frac{\mathrm d }{\mathrm d t}\int_V \rho \; \mathrm dV + \int_V \nabla\cdot\mathbf J \; \mathrm dV =0</math>}}
Fent servir el que hem dit al principi de la demostració pel primer sumand, i el [[Teorema de la divergència]] pel segon, obtenim:
{{equació|<math> \frac{\mathrm d Q_{\mathrm{int}}}{\mathrm dt} + \oint_{\partial V} \mathbf J \cdot \mathrm d \mathbf S = 0 </math>}}
Que tenint en compte que <math>\partial V = S</math> és el que volíem demostrar.
}}

=== Força de Lorentz ===
Les equacions de Maxwell expressen com les càrregues i corrents creen camps elèctrics i magnètics, però no com aquests camps actuen sobre la matèria. Per a això es necessita la llei de [[força de Lorentz]]:
:<math> \mathbf F = q(\mathbf E + \mathbf v\times \mathbf B) </math>
Aquesta llei ens diu quina força experimenta una [[càrrega puntual]] en moviment en el si d'un camp electromagnètic. Si en lloc d'una càrrega puntual tenim una distribució de càrrega, la corresponent força per unitat de volum és:
:<math> \mathbf f = \rho \mathbf E +\mathbf J \times \mathbf B </math>
i la resultant sobre tot el volum és la integral d'aquesta densitat estesa a tot el volum.

== Equacions de Maxwell en el buit ==
Considerarem que en el buit no hi ha ni càrregues ni corrents, és a dir, que:
{{equació|<math>\rho = 0 \qquad; \qquad \mathbf J = 0 </math>}}
A més a més també tindrem que en el buit no hi ha ni [[Polarització elèctrica|polarització]] ni [[magnetització]], de manera que:
{{equació|<math>\varepsilon_0 \mathbf E = \mathbf D \qquad; \qquad \mathbf B = \mu_0 \mathbf H </math>}} 

Així doncs, les equacions de Maxwell se simplifiquen considerablement i s'obté:

:<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 0</math>

:<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>

:<math>\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial\mathbf{B}} {\partial t}</math>

:<math>\nabla \times \mathbf{B} =  \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}</math>

Si les manipulem matemàticament, aquestes equacions condueixen a les següents dues [[EDP]]:

:<math>\nabla^2 \mathbf E = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2}</math>

:<math>\nabla^2 \mathbf B = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf B}{\partial t^2}</math>

{{demostració|Per demostrar això només ens fa falta la següent relació del [[càlcul vectorial]]:
{{equació|<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf A) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf A) - \nabla^2 \mathbf A</math>}}
on l'operador <math>\nabla^2</math> consisteix en fer el [[laplacià]] a cada funció component de <math>\mathbf A</math>. Un cop dit això, apliquem el rotacional a la quarta equació de Maxwell:
{{equació|<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf E) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf E) - \nabla^2 \mathbf E = - \nabla^2 \mathbf E </math>}}
Ja que la divergència del camp elèctric és zero. Per una altra banda:
{{equació|<math> \nabla \times (\nabla \times \mathbf E) = \nabla \times (- \frac{\partial \mathbf B}{\partial t}) = - \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathbf B) = - \frac{\partial}{\partial t} (\varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}) = - \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t ^2}</math>}}
}}
Les anteriors equacions tenen la mateixa forma que l'[[equació d'ona]], és a dir, que els camps electromagnètics en el buit es comporten com ones tridimensionals que es propaguen a velocitat
{{equació|<math>c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} </math>}}
Aquesta velocitat ''c'' és la [[velocitat de la llum]] en el buit, la qual cosa suggereix (tal com se sap actualment) que la llum és un tipus particular d'ona electromagnètica.

== Les equacions de Maxwell en relativitat especial ==

En [[relativitat especial]], per tal d'expressar més clarament que les equacions de Maxwell en el buit tenen la mateixa forma en qualsevol [[sistema de referència inercial]], s'acostumen a escriure en termes de [[quadrivector]]s i [[tensor (Matemàtiques)|tensors]] en forma covariant (en unitats cgs):

:<math> {4 \pi \over c }J^{\beta} = {\partial F^{\alpha\beta} \over {\partial x^{\alpha}} } \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \partial_{\alpha} F^{\alpha\beta} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ {F^{\alpha\beta}}_{,\alpha} \,\!</math>,

i
:<math>0 = \partial_{\gamma} F_{\alpha\beta} + \partial_{\beta} F_{\gamma\alpha} + \partial_{\alpha} F_{\beta\gamma} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ {F_{\alpha\beta}}_{,\gamma} + {F_{\gamma\alpha}}_{,\beta} +{F_{\beta\gamma}}_{,\alpha} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \epsilon_{\delta\alpha\beta\gamma} {F^{\beta\gamma}}_{,\alpha} </math>

on <math>\, J^{\alpha}</math> és el [[quadricorrent]], <math>\, F^{\alpha\beta}</math> és el [[tensor electromagnètic]], <math>\, \epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}</math> és el [[símbol de Levi-Civita]] i

:<math> { \partial \over { \partial x^{\alpha} } } \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \partial_{\alpha} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ {}_{,\alpha} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \left(\frac{\partial}{\partial ct}, \nabla\right)</math> 

és el [[quadrigradient]]. Els índexs repetits se sumen d'acord amb el [[conveni de sumació d'Einstein]].

La primera equació tensorial expressa les dues equacions de Maxwell inhomogènies: la [[llei de Gauss]] i la d'Ampère amb les correccions de Maxwell. La segona equació expressa les altres dues equacions homogènies: la [[llei de Faraday]] de la inducció i la llei de Gauss per al camp magnètic (l'absència de [[Monopol magnètic|monopols magnètics]]).

S'ha suggerit que el component '''v'''X'''B''' de la [[Força de Lorentz]] es pot derivar de la llei de Coulomb i la relativitat especial si hom assumeix la invariància de la càrrega elèctrica.<ref>L. D. Landau, E. M. Lifshitz, ''The Classical Theory of Fields''</ref><ref>{{format ref}} http://www.cse.secs.oakland.edu/haskell/SpecialRelativity.htm J H Field (2006) "Classical electromagnetism as a consequence of Coulomb's law, special relativity and Hamilton's principle and its relationship to quantum electrodynamics". ''Phys. Scr.'' 74 702-717</ref>

== Vegeu també ==
* [[Força d'Abraham-Lorentz]]
* [[Fórmules de Fresnel]]

== Referències ==
<references/>
{{Commonscat}}
{{Autoritat}}


[[Categoria:Electromagnetisme]]
[[Categoria:Equacions de la física|Maxwell]]