Mostra la font per a Espai vectorial

[[Fitxer:Vector addition ans scaling.png|miniatura|Suma vectorial i multiplicació per un escalar: un vector '''v''' (blau) s'afegeix a un altre vector '''w''' (il·lustració vermella, a dalt). A sota, a '''w''' se li aplica un factor d'escala de 2, i llavors es calcula la suma {{nowrap|'''v''' + 2·'''w'''}}.]]
Un '''espai vectorial''' és, en [[matemàtiques]], i més concretament en [[àlgebra]] [[àlgebra lineal|lineal]], una [[estructura algebraica]] formada per un [[conjunt]] de '''[[Vector (matemàtiques)|vectors]]'''. Els vectors són objectes que es poden [[suma vectorial|sumar entre ells]] i es poden multiplicar per un [[nombre]], que en aquest context s'anomena [[escalar]], i "aplicar-los un factor d'escala". Sovint es considera que els escalars són [[nombres reals]], però també es poden definir espais vectorials amb la multiplicació escalar per [[nombres complexos]], [[nombres racionals]] o, fins i tot, [[cos (matemàtiques)|cossos]] més generals en lloc de fer servir cossos de nombres. Les operacions d'addició vectorial i multiplicació escalar han de satisfer certs requisits, anomenats [[axioma|axiomes]], que es descriuen a la secció d'aquest article on es dóna la [[#definició formal|definició formal]] d'espai vectorial. 

Un exemple d'espai vectorial és el dels [[vectors euclidians]], que es fan servir sovint per representar quantitats [[física|físiques]] com ara [[força (física)|forces]]. Dues forces qualssevol (que tinguin el mateix punt d'aplicació) es poden afegir, substituint-les per una tercera força que produeixi el mateix efecte que si s'apliquen les dues alhora, i la multiplicació d'un vector força per un factor real és un altre vector força que té el mateix punt d'aplicació, direcció i sentit però el mòdul del qual s'ha multiplicat pel factor real. Un altre exemple més purament [[geometria|geomètric]] són els vectors que representen desplaçaments al pla o en l'espai tridimensional, que també formen un espai vectorial.

Els espais vectorials són l'objecte d'estudi de l'[[àlgebra lineal]] i, des d'aquest punt de vista, se'n té una comprensió profunda atès que els espais vectorials es caracteritzen per la seva [[dimensió d'un espai vectorial|dimensió]] que, a grans trets, especifica el nombre de direccions independents a l'espai. La teoria s'amplia introduint en els espais vectorials alguna estructura addicional, com ara una [[norma (matemàtiques)|norma]] o un [[producte escalar]]. Aquesta mena d'espais sorgeixen de forma natural en l'[[anàlisi matemàtica]], principalment en la forma d'[[espai de funcions|espais de funcions]] de dimensió infinita, els vectors dels quals són [[funció (matemàtiques)|funcions]]. Hi ha problemes analítics que requereixen l'habilitat de decidir si una successió de vectors [[convergència (matemàtiques)|convergeix]] en un vector donat. Això s'aconsegueix fent servir espais vectorials amb estructures addicionals, principalment espais dotats d'una [[topologia]] adequada, que d'aquesta manera permeten definir conceptes de proximitat i [[funció contínua|continuïtat]]. Aquests [[espai vectorial topològic|espais vectorials topològics]], en particular els [[espai de Banach|espais de Banach]] i els [[espai de Hilbert|espais de Hilbert]], tenen una teoria més extensa.

Històricament, les primeres idees que condueixen al concepte d'espai vectorial es poden remuntar fins al {{segle|XVII|s}} amb els desenvolupaments de la [[geometria analítica]], les [[matriu (matemàtiques)|matrius]], els [[sistema d'equacions lineals|sistemes d'equacions lineals]], i els [[vectors euclidians]]. El tractament modern, més abstracte, va ser formulat inicialment per [[Giuseppe Peano]] a finals del [[segle XIX]]; inclou objectes més generals que l'espai euclidià, però gran part de la teoria es pot veure com una ampliació de les idees geomètriques clàssiques com ara [[recta|línies rectes]], [[pla]]ns i els seus anàlegs de dimensió superior.

Actualment, els espais vectorials s'apliquen a les [[matemàtiques]], la [[ciència]] i l'[[enginyeria]]. Són la noció algebraica adequada per tractar [[sistemes d'equacions lineals]], ofereixen una estructura per a les [[sèrie de Fourier|sèries de Fourier]], que es fan servir en tècniques de [[compressió d'imatge]], o proporciona un entorn que es pot fer servir per tècniques de solució d'[[equacions diferencials en derivades parcials]]. A més, els espais vectorials subministren una forma abstracta, independent del [[sistema de coordenades]], per tractar amb objectes geomètrics i físics com [[tensor]]s, els quals permeten examinar les propietats locals de les [[varietat (matemàtiques)|varietat]]s per tècniques de linealització. Els espais vectorials també es poden generalitzar de diverses maneres, i això porta a nocions avançades de geometria i [[àlgebra abstracta]].

== Definició formal ==
Sigui ''K'' un [[cos (matemàtiques)|cos]] (per exemple, el cos <math>\mathbb{R}</math> dels [[nombres reals]] o el cos <math>\mathbb{C}</math> dels [[nombres complexos]]).

Un '''espai vectorial <math>\mathcal{E}</math> sobre el cos ''K''''' és una terna <math>\mathcal{E}</math>={{nowrap|(''E'', +, ⋅)}}, on ''E'' és un conjunt, +&nbsp;és la '''suma vectorial''' (donats elements '''u''', '''v''' de ''E'', la seva suma '''u'''+'''v''' és de ''E''), i ⋅&nbsp;és el '''producte per un escalar''' (donats un escalar ''a'' de ''K'' i un vector '''v''' de ''E'', el seu producte ''a''⋅'''v''' és de ''E'') que satisfà les següents propietats:

# ''E'' amb la suma vectorial forma un [[grup abelià]], és a dir, (''E'',+) satisfà:
##<math> \mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w}) = (\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w} \quad \forall \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} \in E</math> ([[propietat associativa]]);
## <math> \exists \mathbf{0} \in E</math> (el [[vector nul]]) tal que <math>\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{v} = \mathbf{v} \quad \forall \mathbf{v} \in E</math> (és a dir, '''0''' és l'[[element neutre]] de la suma vectorial);
##<math> \forall \mathbf{v} \in E \quad \exists (- \mathbf{v}) \in E</math> tal que <math>\mathbf{v} + (- \mathbf{v}) = \mathbf{0}</math> (és a dir, tot element té un [[oposat]] respecte a la suma);
## <math>\mathbf{v} + \mathbf{w} = \mathbf{w} + \mathbf{v}\quad \forall \mathbf{v},\mathbf{w} \in E</math> ([[propietat commutativa]]).
# El producte per un escalar satisfà que:
##<math>a \cdot (b \cdot \mathbf{v}) = (a b) \cdot \mathbf{v} \quad \forall a,b \in K \quad \forall \mathbf{v} \in E</math>;
## Si 1 denota l'[[element neutre]] del producte en el cos ''K'', llavors <math> 1 \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \quad\forall \mathbf{v}\in E</math>;
##<math> a \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = (a \cdot \mathbf{v}) + (a \cdot \mathbf{w}) \quad \forall a \in K  \quad \forall \mathbf{v}, \mathbf{w}\in E</math>, [[propietat distributiva]] del producte per un escalar amb la suma vectorial.
##<math>(a + b) \cdot \mathbf{v} = (a \cdot \mathbf{v}) + (b \cdot \mathbf{v}) \quad \forall a,b \in K \quad \forall \mathbf{v}\in E</math>.

Els elements de ''E'' s'anomenen '''[[vector (matemàtiques)|vector]]s'''. En textos impresos de vegades es ressalten en negreta ('''v'''), tal com s'ha fet en aquest article, amb una fletxa a sobre (<math>\vec v</math>) o subratllats ({{subratllat|v}}). Els elements de ''K'' s'anomenen [[escalar]]s. Encara que l'espai vectorial sobre ''K'' pròpiament dit sigui la terna (''E'',+,⋅) és molt habitual simplificar la nomenclatura dient directament que ''E'' és un espai vectorial sobre ''K'' o també un ''K''-espai vectorial.

Aquests axiomes permeten treballar amb la resta de vectors i la divisió d'un vector per un escalar, entenent que:

:'''v''' − '''w''' := '''v''' + (−'''w'''),
:'''v''' / ''a'' := (1 / ''a'') · '''v'''.

Contràriament a la intuïció que prové de vectors en el cas de l'[[espai euclidià]] pla i de dimensions superiors, en espais vectorials generals no hi ha cap noció de [[entorn (matemàtiques)|proximitat]], [[angle]]s o [[distància|distàncies]]. Per tractar aquestes qüestions, cal introduir tipus particulars d'espais vectorials amb estructures addicionals.

== Història ==

Els espais vectorials provenen de la [[geometria afí]], mitjançant la introducció de [[sistemes de coordenades]] en l'espai pla o tridimensional. Al voltant de [[1636]], [[René Descartes|Descartes]] i [[Pierre de Fermat|Fermat]] fundaren la [[geometria analítica]] identificant les solucions d'una equació de dues variables amb punts en una [[corba]] plana.<ref>{{Harvard citations|last = Bourbaki|year = 1969|nb = yes|loc = cap. "Algèbre linéaire et algèbre multilinéaire", pàg. 78–91}}</ref> El [[1804]], per aconseguir solucions geomètriques sense fer servir coordenades, [[Bernard Bolzano|Bolzano]] va introduir certes operacions sobre els punts, les línies i els plans que són predecessors de vectors.<ref>{{Harvard citations|last = Bolzano|year = 1804|nb = yes}}</ref> Aquest treball el van realitzar l'any [[1827]] fent ús de la concepció de [[coordenades baricèntriques]] de [[August Ferdinand Möbius|Möbius]].<ref>{{Harvard citations|last = Möbius|year = 1827|nb = yes}}</ref> L'inici de la definició de vectors va ser la noció de [[Giusto Bellavitis|Bellavitis]] del bipunt: un segment orientat, en el qual un dels extrems és l'origen i l'altre el destí. Els vectors es van tornar a considerar amb la presentació dels [[nombres complexos]] feta per [[Jean-Robert Argand|Argand]] i [[William Rowan Hamilton|Hamilton]] i la concepció dels [[quaternions]] per part d'aquest darrer.<ref>{{Harvard citations|last = Hamilton|year = 1853|nb = yes}}</ref> Són elements en ℝ<sup>2</sup> i ℝ<sup>4</sup>; el fet de tractar-los fent servir [[combinacions lineals]] és degut a [[Laguerre]] que, el [[1867]], també va definir els [[sistema d'equacions lineals|sistemes d'equacions lineals]].

El [[1857]], [[Arthur Cayley|Cayley]] presentà la [[matriu (matemàtiques)|notació matricial]] que permet una harmonització i simplificació de les [[aplicació lineal|aplicacions lineals]]. A la mateixa època, [[Grassmann]] va estudiar el càlcul baricèntric iniciat per Möbius; imaginava conjunts d'objectes abstractes dotats d'operacions.<ref>{{Harvard citations|last = Grassmann|year = 2000|nb = yes}}</ref> En el seu treball, els conceptes d'[[independència lineal]], [[dimensió]] i el de [[producte escalar]] ja hi són presents. De fet, el treball de Grassmann de [[1844]] excedeix l'estructura d'espais vectorials; a partir de la seva multiplicació albira el que actualment s'anomenen [[àlgebra|àlgebres]]. [[Giuseppe Peano|Peano]], el [[1888]], va ser el primer a donar la definició moderna d'espais vectorials i aplicacions lineals.<ref>{{Harvard citations|last = Peano|year = 1888|nb = sí cap. de |loc = IX}}</ref>

Un desenvolupament important dels espais vectorials és degut a la construcció dels [[espai funcional|espais funcionals]] per part de [[Henri Lebesgue|Lebesgue]]. Aquest desenvolupament va ser formalitzat més tard, al voltant del [[1920]], per [[Stefan Banach|Banach]] i [[David Hilbert|Hilbert]].<ref>{{Harvard citations|last = Banach|year = 1922|nb = yes}}</ref> En aquella època, els especialistes comencen a interaccionar l'[[àlgebra]] i el camp nou de l'[[anàlisi funcional]], amb conceptes clau com el d'[[Espai Lp|espais de funcions ''p''-integrables]] i el d'[[espai de Hilbert|espais de Hilbert]];<ref>{{Harvard citations|last = Dorier|year = 1995|nb = yes}}, {{Harvard citations|last = Moore|year = 1995|nb = yes}}</ref> també cal incloure el de dimensió infinita, que es consolida en una noció fermament establerta, i moltes branques matemàtiques comencen a fer ús d'aquest concepte.

== Exemples ==

=== Espais de coordenades i espais funcionals ===
El primer exemple d'un espai vectorial sobre un cos ''F'' és el mateix cos, proveït amb les seves addició i multiplicació estàndards. Aquest és el cas en què {{nowrap begin}}''n'' = 1{{nowrap end}}, en un espai vectorial que normalment es representa com ''F''<sup>''n''</sup>, i es coneix com l'[[espai de coordenades]]. Els seus elements són n-[[tupla|tuples]] ([[successió (matemàtiques)|successions]] de longitud ''n''):
:(''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>), on ''a''<sub>''i''</sub> són elements de ''F''.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|loc = cap. I.1|nb = yes}}</ref>
En el cas ''F'' = ''R'' i ''n'' = 2, els vectors són parelles de nombres reals ''x'' i ''y'', que es representen (''x'', ''y''); l'ordre dels components es conserva de tal forma que una parella també s'anomena una [[parella ordenada]]. Aquestes parelles formen vectors tot definint, component a component, l'addició de vectors i el producte per un escalar; és a dir:
:(''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>) + (''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>) = (''x''<sub>1</sub> + ''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>1</sub> + ''y''<sub>2</sub>)
i
:''r'' · (''x'', ''y'') = (''rx'', ''ry''). 

Les successions infinites de coordenades i, de forma més general, les funcions des de qualsevol conjunt donat Ω en un cos ''F'' també formen espais vectorials, definint l'addició i la multiplicació escalar punt a punt. És a dir, la suma de dues funcions ''ƒ'' i ''g'' ve donada per: 
:(''&fnof;'' + ''g'')(''w'') = ''&fnof;''(''w'') + ''g''(''w'')

i el mateix succeeix amb la multiplicació. Aquests [[espai funcional|espais funcionals]] es donen en moltes situacions geomètriques, quan Ω és la [[recta real]], un [[interval (matemàtiques)|interval]] o altres subconjunts de ''R''<sup>n</sup>. Moltes nocions en topologia i anàlisi, com la [[funció contínua|continuïtat]], la [[integral|integrabilitat]] o la [[derivada|derivabilitat]] respecten la linealitat: les sumes i els productes per un escalar de funcions que posseeixen tal propietat continuen tenint la mateixa propietat.<ref>e.g. {{Harvard citations|last = Lang|year = 1993|loc = cap. XII.3., pàg. 335|nb = yes}}</ref> Per tant, els conjunts formats per aquestes funcions són espais vectorials. S'estudien amb més detall fent servir els mètodes d'[[anàlisi funcional]].<ref>Vegeu [[#labelFunctionalAnalysis|més avall a l'article]]</ref> Moltes construccions algebraiques també produeixen espais vectorials, un dels exemples més importants n'és l'espai vectorial F[x] dels [[polinomi]]s,
:''&fnof;''(''x'') = ''r''<sub>0</sub> + ''r''<sub>1</sub>''x'' + ... + ''r''<sub>''n''−1</sub>''x''<sup>''n''−1</sup> + ''r''<sub>''n''</sub>''x''<sup>''n''</sup>, on els [[coeficient]]s ''r''<sub>0</sub>, ..., ''r''<sub>''n''</sub> pertanyen a ''F''.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|loc = cap. IX.1|nb = yes}}</ref>

=== Equacions lineals ===
{{principal|Equació lineal|Equació diferencial lineal|Sistema d'equacions lineals}}
Els sistemes d'[[equació lineal homogènia|equacions lineals homogènies]] estan estretament relacionats amb els espais vectorials.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|loc = cap. VI.3.|nb = yes}}</ref> Per exemple, les solucions de

<math>\begin{cases}
a+3b+c=0 \\
4a+2b+2c=0
\end{cases}</math>

vénen donades per ternes amb ''a'' arbitrari, ''b'' = ''a''/2, i ''c'' = −5 ''a''/2. Formen un espai vectorial: les sumes i els productes escalars d'aquestes ternes continuen satisfent les mateixes proporcions entre les tres variables; per tant també són solucions. Les [[matriu (matemàtiques)|matrius]] es poden fer servir per condensar múltiples equacions lineals com les d'abans en una [[equació vectorial]], és a dir
:<cite id=equation3>''A'''''x''' = '''0''',</cite>
on ''A'' = <math>\begin{pmatrix}
1 & 3 & 1 \\
4 & 2 & 2\end{pmatrix}</math> és la matriu que conté els coeficients de les equacions donades, '''x''' és el vector {{nowrap|(''a'', ''b'', ''c''),}} ''A'''''x''' denota la [[multiplicació de matrius]] i '''0''' = (0, 0) és el vector zero. De forma similar, les solucions d'''equacions diferencials lineals'' homogènies formen espais vectorials. Per exemple
:<cite id=equation1>''&fnof;<nowiki>''</nowiki>''(''x'') + 2''&fnof;<nowiki>'</nowiki>''(''x'') + ''&fnof;''(''x'') = 0</cite>
dóna {{nowrap begin}}''ƒ''(''x'') = ''a&thinsp;e''<sup>−''x''</sup> + ''bx&thinsp;e''<sup>−''x''</sup>,{{nowrap end}} on ''a'' i ''b'' són constants arbitràries, i ''e''<sup>''x''</sup> és la [[funció exponencial]].

=== Extensions de cossos ===
Les [[extensió de cossos|extensions de cossos]] ''F'' / ''E'' ("''F'' sobre ''E''") subministren una altra classe d'exemples d'espais vectorials, de forma particular en [[àlgebra]] i en [[teoria algebraica de nombres]]: un cos ''F'' que conté un [[subcòs|cos més petit]] ''E'' esdevé un ''E''-espai vectorial amb les operacions de multiplicació i addició de ''F''.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year =2002|loc = cap. V.1|nb = yes}}</ref> Per exemple el cos ℂ dels [[nombres complexos]] és un ℝ-espai vectorial. Un tipus d'extensió de cossos que té un interès particular en [[teoria de nombres]] és ℚ(α), l'extensió dels nombres racionals ℚ per un nombre complex fixat α. ℚ(α) és el cos més petit que conté els racionals i el nombre complex fixat α. La seva dimensió com a espai vectorial sobre ℚ depèn de l'elecció de α.

== Bases i dimensió ==
{{Principal|Base (àlgebra)|l1=Base|Dimensió d'un espai vectorial|l2=Dimensió}}
[[Fitxer:Vector components and base change.svg|Un vector '''v''' de '''R'''<sup>2</sup> (blau) expressat en termes de diferents bases: fent servir la [[base canònica]] de '''R'''<sup>2</sup> '''v''' = ''x'''''e'''<sub>1</sub> + ''y'''''e'''<sub>2</sub> (negre), i fent servir una base diferent formada per vectors no [[ortogonal]]s: '''v''' = '''f'''<sub>1</sub> + '''f'''<sub>2</sub> (vermell).|miniatura]]
Les <cite id=label1>''bases''</cite> mostren l'estructura dels espais vectorials d'una manera concisa. Una base es defineix com un conjunt (finit o infinit) {{nowrap begin}}''B'' = {'''v'''<sub>''i''</sub>}<sub>''i'' ∈ ''I''</sub>{{nowrap end}} de vectors '''v'''<sub>''i''</sub> indexats per algun [[conjunt índex]] que per [[combinació lineal]] ''genera'' tot l'espai, i és mínim amb aquesta propietat. En el cas d'un espai vectorial de dimensió finita, l'anterior afirmació vol dir que qualsevol vector '''v''' es pot expressar com una suma finita (anomenada [[combinació lineal]] dels elements base)
:'''v''' = ''a''<sub>1</sub>'''v'''<sub>1</sub> + ''a''<sub>2</sub>'''v'''<sub>2</sub> + ... + ''a''<sub>''n''</sub>'''v'''<sub>''n''</sub>,
on els ''a''<sub>''k''</sub> són escalars i '''v'''<sub>''k''</sub> {{nowrap begin}}(''k'' = 1, ..., ''n''){{nowrap end}} són elements de la base ''B''. Per altra banda, el fet de ser mínima es formalitza exigint que els elements de ''B'' siguin ''[[Independència lineal|linealment independents]]''. Es diu que un conjunt de vectors és linealment independent si cap dels seus elements es pot expressar com a combinació lineal dels altres. Això és equivalent a dir que l'equació
:''a''<sub>1</sub>'''v'''<sub>1</sub> + ''a''<sub>2</sub>'''v'''<sub>2</sub> + ... + ''a''<sub>''n''</sub>'''v'''<sub>n</sub> = 0
es pot complir [[si i només si]] tots els escalars ''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub> són igual a zero. La independència lineal garanteix que la representació de qualsevol vector com a combinació lineal dels vectors de la base (l'existència de la qual es garanteix per l'exigència que la base ''generi'' ''V'') és única.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|loc = cap. II.2., pàg. 47–48|nb = yes}}</ref>

Això es coneix com el punt de vista coordinaditzat dels espais vectorials, pel fet de veure els vectors de la base com una generalització dels vectors de coordenades ''x'', ''y'', ''z'' de ℝ<sup>3</sup> i de forma similar en cas de dimensions superiors.

Els vectors de coordenades {{nowrap begin}}'''e'''<sub>1</sub> = (1, 0, ..., 0),{{nowrap end}} {{nowrap begin}}'''e'''<sub>2</sub> = (0, 1, 0, ..., 0),{{nowrap end}} fins a {{nowrap begin}}'''e'''<sub>''n''</sub> = (0, 0, ..., 0, 1),{{nowrap end}} formen una base de ''F''<sup>''n''</sup>, anomenada la [[base canònica]], atès que qualsevol vector (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) es pot expressar de forma única com una combinació lineal d'aquests vectors:
:(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) = ''x''<sub>1</sub>(1, 0, ..., 0) + ''x''<sub>2</sub>(0, 1, 0, ..., 0) + ... + ''x''<sub>''n''</sub>(0, ..., 0, 1) = ''x''<sub>1</sub>'''e'''<sub>1</sub> + ''x''<sub>2</sub>'''e'''<sub>2</sub> + ... + ''x''<sub>''n''</sub>'''e'''<sub>''n''</sub>.

Tot espai vectorial té una base. Això resulta del [[Lema de Zorn]], una formulació equivalent de l'[[axioma d'elecció]].<ref>{{Harvard citations|last = Roman|year = 2005|nb = yes|loc=Teorema 1.9, pàg. 43}}</ref> Donats els altres axiomes de la [[ZFC|teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel]], l'existència de bases és equivalent a l'axioma d'elecció.<ref>{{Harvard citations|last = Blass|year = 1984|nb=yes}}</ref> 
El [[lema de l'ultrafiltre]], que és més feble que l'axioma d'elecció, implica que totes les bases d'un espai vectorial donat tinguin el mateix [[cardinal]], el mateix nombre d'elements.<ref>{{Harvard citations|last = Halpern|year = 1966|nb = yes|loc=p. 670–673}}</ref> A aquest valor se l'anomena ''dimensió'' de l'espai vectorial, i se'l denota per dim ''E''. Si l'espai es genera per una quantitat finita de vectors (si l'espai és de dimensió finita), les afirmacions anteriors es poden demostrar sense necessitat d'aquestes aportacions fonamentals procedents de la [[teoria de conjunts]].<ref>{{Harvard citations|last = Artin|year = 1991|nb = yes|loc=Teorema 3.3.13}}</ref> 

La dimensió de l'espai de coordenades ''F''<sup>''n''</sup> és ''n'', per la base presentada més amunt. La dimensió de l'anell de polinomis ''F''[''x''] presentat [[#labelPolynomialRing|més amunt]] és [[infinit numerable]], una base ve donada per 1, ''x'', ''x''<sup>2</sup>, ..., la dimensió d'espais funcionals més generals, com l'espai de funcions en alguns intervals (limitats o il·limitats), és infinita.<ref group=nb>Les [[Funció característica (matemàtiques)|funcions característiques]] dels [[interval (matemàtiques)|intervals]] (de les quals n'hi ha una quantitat infinita) són linealment independents, per exemple.</ref> Sota suposicions de regularitat adequades sobre els coeficients implicats, la dimensió de l'espai de solucions d'una [[equació diferencial ordinària]] homogènia és igual al grau de l'equació.<ref>{{Harvard citations|last = Braun|year = 1993|nb = yes|loc=Tema 3.4.5, pàg. 291}}</ref> Per exemple, l'espai de solucions de l'[[#equation1|equació de més amunt]] està generat per ''e''<sup>−''x''</sup> i ''xe''<sup>−''x''</sup>. Aquestes dues funcions són linealment independents sobre ℝ, per tant la dimensió d'aquest espai és dos, igual que el grau de l'equació.

La dimensió (o [[grau (àlgebra)|grau]]) del cos d'extensió ℚ(α) sobre ℚ depèn d'α. Si α satisfà alguna equació polinòmica
:''q''<sub>''n''</sub>α<sup>''n''</sup> + ''q''<sub>''n''−1</sub>α<sup>''n''−1</sup> + ... + ''q''<sub>0</sub> = 0, amb coeficients racionals ''q''<sub>''n''</sub>, ..., ''q''<sub>0</sub>.
("α és un [[nombre algebraic]]"), la dimensió és finita. Més precisament, és igual al grau del [[polinomi mínim]] que té α com [[arrel (matemàtiques)|arrel]].<ref>{{Harvard citations|last = Stewart|year = 1975|nb = yes|loc=Proposició 4.3, pàg. 52}}</ref> Per exemple, els nombres complexos ℂ són un espai vectorial real bidimensional, [[Espai vectorial generat|generat]] per 1 i la [[unitat imaginària]] ''i''. Aquest nombre complex satisfà {{nowrap begin}}''i''<sup>2</sup> + 1 = 0{{nowrap end}}, una equació polinòmica de grau dos. Per tant, ℂ és un espai vectorial real bidimensional (i, com qualsevol cos, monodimensional com a espai vectorial sobre si mateix, ℂ). Si α no és algebraic, la dimensió de ℚ(α) sobre ℚ és infinita. Per exemple, per α = [[Nombre π|&pi;]] no hi ha cap equació d'aquest tipus, en altres paraules π és un [[nombre transcendent]].<ref>{{Harvard citations|last = Stewart|year = 1975|nb = yes|loc=Teorema 6.5, pàg. 74}}</ref>

== Aplicacions lineals i matrius ==
{{principal|Aplicació lineal}}
La relació entre dos espais vectorials es pot expressar per una '''[[aplicació lineal]]''' o '''transformació lineal'''. Són [[funció (matemàtiques)|funcions]] que respecten l'estructura d'espai vectorial és a dir, conserven les sumes i les multiplicacions per un escalar:
:''&fnof;''('''x''' + '''y''') = ''&fnof;''('''x''') + ''&fnof;''('''y''')   per tot '''x''','''y''' del ''K''-espai vectorial ''E''. 
:''&fnof;''(''a'' · '''x''') = ''a'' · ''&fnof;''('''x''') per tot '''x''', '''y''' de ''E'', per tot ''a'' de ''K''.<ref>{{Harvard citations|last = Roman|year = 2005|nb = yes|loc=cap. 2, pàg. 45}}</ref> 

Les aplicacions lineals són els [[morfisme]]s dels espais vectorials. Un ''[[isomorfisme]]'' és un [[morfisme]] ([[aplicació lineal]]) [[bijectiu]] ([[injectiu]] i [[exhaustiu]] alhora). En altres paraules, és una aplicació lineal {{nowrap|''&fnof;'' : ''E'' → ''F''}} que admet una aplicació lineal [[aplicació inversa|inversa]] {{nowrap|''g'' : ''F'' → ''E''}}, és a dir, una tal que les dues [[composició de funcions|composicions]] possibles: {{nowrap|''&fnof;'' ∘ ''g'' : ''F'' → ''F''}} i {{nowrap|''g'' ∘ ''&fnof;'' : ''E'' → ''E''}} són la [[funció identitat]].<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|nb = yes|loc=cap. IV.4, Corolari, pàg. 106}}</ref> Si existeix un isomorfisme entre ''E'' i ''F'', es diu que els dos espais són isomorfs; llavors són essencialment idèntics com a espais vectorials, ja que totes les identitats que es compleixen a ''E'' mitjançant ''ƒ'', es transporten a identitats similars a ''F'', i viceversa mitjançant ''g''.

[[Fitxer:Vector components.svg|miniatura|En descriure un vector '''v''' per les seves coordenades ''x'' i ''y'' s'està emprant un isomorfisme d'espais vectorials -entre l'espai vectorial de les fletxes que comencen a l'origen i l'espai vectorial de les parelles de nombres reals-.]]
Per exemple, l'espai vectorial ''V''<sub>2</sub> format pels vectors del pla i el [[producte cartesià]] <math>\mathbb{R}^2</math> dels parells de nombres reals són isomorfs: un vector al pla ''v'' que s'inicia a l'origen d'algun [[sistema de coordenades]] (fixat) es pot expressar com un parell ordenat de nombres reals prenent els components ''x'' i ''y'' de la fletxa, com es mostra en la imatge de la dreta. I viceversa, donat un parell (''x'', ''y''), que va fins a ''x'' unitats cap a la dreta (o cap a l'esquerra si ''x'' és negativa), i ''y'' unitats cap amunt (cap avall si ''y'' és negativa) defineixen un vector '''v'''.

El conjunt de totes les aplicacions lineals ''f'': ''E'' → ''F'' entre dos ''K''-espais vectorials ''E'' i ''F'' forma un nou espai vectorial anomenat Hom<sub>''K''</sub>(''E'', ''F''), que també es denota <math>\mathcal{L}(E,F)</math>.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|nb = yes|loc=Exemple IV.2.6}}</ref> L'espai de les aplicacions lineals de ''E'' a ''K'' s'anomena l'[[espai vectorial dual]], i es denota ''E''<sup>∗</sup>.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|nb = yes|loc=cap. VI.6}}</ref> Mitjançant l'aplicació injectiva natural ''E'' → ''E''<sup>∗∗</sup>, qualsevol espai vectorial es pot identificar a un subespai del seu ''bidual''; l'aplicació és un isomorfisme [[si i només si]] l'espai és de dimensió finita.<ref>{{Harvard citations|last = Halmos|year =1974|nb = yes|loc=p. 28, Ex. 9}}</ref> 

Un cop s'ha triat una base de ''E'', les aplicacions lineals {{nowrap|''&fnof;'' : ''E'' → ''F''}} queden completament determinades especificant les imatges dels vectors base, perquè qualsevol element de ''E'' es pot expressar de forma única com una combinació lineal dels vectors de la base.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|nb = yes|loc=Teorema IV.2.1, pàg. 95}}</ref> Si {{nowrap begin}}dim ''E'' = dim ''F'',{{nowrap end}} una [[bijecció|correspondència bijectiva]] entre bases donades de ''E'' i ''F'' dóna lloc a una aplicació lineal que a cada element de la base de ''E'' li fa correspondre un element de la base de ''F''. És un isomorfisme, per la mateixa definició.<ref>{{Harvard citations|last = Roman|year = 2005|nb = yes|loc=Tema. 2.5 i 2.6, pàg. 49}}</ref> Per tant, dos espais vectorials són isomorfs si les seves dimensions concorden i viceversa. Una altra forma d'expressar això és dient que els espais vectorials estan ''completament ordenats'' (tret d'isomorfismes) per la seva dimensió. En particular, qualsevol espai vectorial ''E'' sobre ''K'' de dimensió ''n'' és isomorf a ''K''<sup>''n''</sup>. Però no hi ha cap isomorfisme "canònic" o preferit; de fet, triar un isomorfisme {{nowrap|&phi;: ''K''<sup>''n''</sup> → ''E''}} és equivalent a triar una base de ''E'', fent correspondre la base canònica de ''K''<sup>''n''</sup> a ''E'', via φ. La llibertat per triar una base adequada és de particular utilitat en el context de dimensió infinita, vegeu [[#bases en espais de dimensió infinita|més avall]].

===Matrius===
{{Principal|Matriu (matemàtiques)|l1=Matriu|Determinant (matemàtiques)}}
[[Fitxer:Matrix.svg|miniatura|Una matriu]]
Les ''matrius'' són una noció útil per codificar les aplicacions lineals.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|nb = yes|loc=cap. V.1}}</ref> S'escriuen com una taula rectangular d'escalars com per exemple a la imatge de la dreta. Qualsevol matriu de ''m''-per-''n'' es correspon a una aplicació lineal de ''K''<sup>''n''</sup> en ''K''<sup>''m''</sup>, de la següent manera
:<math>\mathbf x = (x_1, x_2, \cdots, x_n) \mapsto \left(\sum_{j=1}^n a_{1j}x_j, \sum_{j=1}^n a_{2j}x_j, \cdots, \sum_{j=1}^n a_{mj}x_j \right)</math>, on <math>\sum</math> vol dir [[sumatori]],
o, fent servir el [[producte matricial]] de la matriu ''A'' pel vector de coordenades '''x''':
:<cite id=equation2>'''x''' ↦ ''A'''''x'''.</cite>
A més fent aquesta assignació, una vegada triades les bases de ''E'' i ''F'', qualsevol aplicació lineal {{nowrap|''&fnof;'' : ''E'' → ''F''}} té una representació matricial única.<ref name="Harvard">{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|nb = yes|loc=cap. V.3., Corolari, pàg. 106}}</ref>

[[Fitxer:Determinant parallelepiped.svg|miniatura|El volum d'aquest [[paral·lelepípede]] és el valor absolut del [[determinant (matemàtiques)|determinant]] de la matriu 3-per-3 formada pels vectors ''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub>, i ''r''<sub>3</sub>.]]
El [[determinant (matemàtiques)|determinant]] det (''A'') d'una [[matriu quadrada]] ''A'' és un escalar que indica si l'aplicació associada és un isomorfisme o no: perquè ho sigui és suficient i necessari que el determinant corresponent sigui diferent de zero.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|nb = yes|loc=Teorema VII.9.8, pàg. 198}}</ref> La transformació lineal de ℝ<sup>''n''</sup> que correspon a una matriu de ''n''-per-''n'' real preserva l'[[orientació (matemàtiques)|orientació]] [[si i només si]] el determinant és positiu.

=== Vectors propis i valors propis ===
{{Principal|Valor propi, vector propi i espai propi}}
Les aplicacions lineals {{nowrap|''&fnof;'' : ''E'' → ''E''}}, anomenades [[endomorfismes]], són especialment importants, ja que en aquest cas els vectors '''v''' es poden comparar amb la seva imatge per ''ƒ'', ''ƒ''('''v'''). Qualsevol vector diferent de zero '''v''' que satisfà {{nowrap begin}}''λ'''''v''' = ''ƒ''('''v'''){{nowrap end}}, on ''λ'' és un escalar, s'anomena un vector propi de ''ƒ'' amb el valor propi ''λ''.<ref group=nb>En [[anglès]] es diuen ''eigen values'' i ''eigen vectors'' perquè ha derivat de l'[[alemany]] "eigen", que vol dir propi.</ref><ref>{{Harvard citations|last = Roman|year = 2005|nb = yes|loc=cap. 8, pàg. 135–156}}</ref> De forma equivalent, '''v''' és un element del nucli de la diferència {{nowrap|''&fnof;'' − ''λ'' · Id}} (on Id és l'[[aplicació identitat]] {{nowrap|''E'' → ''E'').}}). Si ''E'' té dimensió finita, això es pot reformular fent servir determinants: ''ƒ'' té valor propi ''λ'' és equivalent a
:det (''&fnof;'' − ''λ'' · Id) = 0.
Explicitant el càlcul del determinant, l'expressió de l'esquerra es pot veure com una funció polinòmica de ''λ'', anomenada el [[polinomi característic]] de ''ƒ''.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|nb = yes|loc=cap. IX.4}}</ref> Si el cos ''K'' és prou gran per contenir un zero d'aquest polinomi (cosa que passa automàticament si ''K'' és algebraicament tancat, com en el cas {{nowrap begin}}''K'' = ℂ){{nowrap end}}) qualsevol aplicació lineal té com a mínim un vector propi. L'espai vectorial ''E'' pot tenir o no una base pròpia, una base formada per vectors propis. Aquest fenomen està governat per la [[forma canònica de Jordan]] de l'aplicació.<ref group=nb>{{Harvard citations|last = Roman|year = 2005|nb = yes|loc=cap. 8, pàg. 140}}. Vegeu també [[descomposició de Jordan–Chevalley]].</ref> El conjunt de tots els vectors propis que corresponen a un valor propi particular de ''ƒ'' formen un espai vectorial conegut com l'espai propi que correspon al valor propi (i ''ƒ'') en qüestió. Per demostrar el [[teorema espectral]], (l'afirmació corresponent en el cas de dimensió infinita), es necessita la maquinària de l'anàlisi funcional, vegeu més [[#labelTeorema Espectral|avall]].

== Conceptes basats en espais vectorials ==
A més a més dels conceptes explicats abans, hi ha uns altres conceptes algebraics que es construeixen basats en els espais vectorials i que generen espais vectorials relacionats amb un espai vectorial donat. A més a més de les definicions que es presenten a sota, també es caracteritzen per [[propietat universal|propietats universals]], les quals determinen un objecte ''X'' especificant les aplicacions lineals des de ''X'' fins a qualsevol altre espai vectorial.
=== Subespais i espais quocient ===
{{Principal|Subespai vectorial|Espai quocient (àlgebra lineal)}}
[[Fitxer:Linear subspaces with shading.svg|miniatura|Una recta que passa per l'[[origen (matemàtiques)|origen]] (blau gruixut) a [[espai euclidià|ℝ<sup>3</sup>]] és un subespai vectorial. És la intersecció de dos [[pla]]ns (verd i groc).]]

Un [[subconjunt]] no buit ''F'' d'un espai vectorial ''E'' tancat respecte de l'addició de vectors i la multiplicació escalar s'anomena un '''subespai vectorial''' de ''E''.<ref>{{Harvard citations|last = Roman|year = 2005|nb = yes|loc=cap. 1, pàg. 29}}</ref> Els subespais vectorials de ''E'' són espais vectorials (sobre el mateix cos). La intersecció de tots els subespais que contenen un conjunt donat ''S'' de vectors s'anomena el subespai generat (o engendrat) pels vectors de ''S'' denotat <''S''>, i és el subespai més petit de ''E'' que conté el conjunt ''S''. Expressat en funció dels elements, <''S''> és el subespai que consisteix en combinacions lineals dels elements de ''S''.<ref>{{Harvard citations|last = Roman|year = 2005|nb = yes|loc=cap. 1, pàg. 35}}</ref>

La contrapartida als subespais generats són els ''[[espai vectorial quocient|espais vectorials quocient]]''.<ref>{{Harvard citations|last = Roman|year = 2005|nb = yes|loc=cap. 3, pàg. 64}}</ref> Donat qualsevol subespai ''N'' de ''E'', l'espai quocient, ''E''/''N'' ("''E'' [[aritmètica modular|mòdul]] ''N''") es defineix de la manera següent: com a conjunt, consta de {{nowrap begin}}'''v''' + ''N'' = {'''v''' + '''w''', '''w''' ∈ ''N''},{{nowrap end}} on ''v'' és un vector qualsevol de ''E''. La suma de dos elements d'aquest conjunt, '''v'''<sub>1</sub> + ''N'' i '''v'''<sub>2</sub> + ''N'' és {{nowrap|('''v'''<sub>1</sub> + '''v'''<sub>2</sub>) + ''N'',}} i la multiplicació escalar ve donada per {{nowrap begin}}''a'' · ('''v''' + ''N'') = (''a'' · '''v''') + ''N''.{{nowrap end}} El punt clau en aquesta definició és que {{nowrap begin}}'''v'''<sub>1</sub> + ''N'' = '''v'''<sub>2</sub> + ''N''{{nowrap end}} [[si i només si]] la diferència entre '''v'''<sub>1</sub> i '''v'''<sub>2</sub> pertany a ''N''.<ref group=nb>Alguns autors (com per exemple {{Harvard citations|last = Roman|year = 2005|nb = yes}}) trien de començar amb aquesta [[relació d'equivalència]] i en dedueixen la forma concreta de ''E''/''N'' a partir d'ella.</ref> D'aquesta manera, l'espai quocient "oblida" la informació que es conté en el subespai ''N''.

El [[nucli (matemàtiques)|nucli]] Ker(''ƒ'') d'una aplicació lineal ''ƒ'': ''E'' → ''F'' consta dels vectors '''v ''' tals que tenen per imatge el '''0 ''' de ''F''.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|nb = yes|loc=cap. IV.3.}}</ref> Tant el nucli com la [[imatge (matemàtiques)|imatge]] {{nowrap begin}}im(''ƒ'') = {''ƒ''('''v'''), '''v ''' ∈ ''E''}{{nowrap end}} són subespais de ''E'' i ''F'' respectivament.<ref>{{Harvard citations|last = Roman|year = 2005|nb = yes|loc=cap. 2, pàg. 48}}</ref> 

L'existència del nucli i la imatge són part del fet que la [[categoria dels espais vectorials]] (sobre un cos determinat ''K'') és una [[categoria abeliana]], és a dir, un corpus d'objectes matemàtics i morfismes entre ells (una [[categoria (matemàtiques)|categoria]]) que es comporta en gran manera com la [[categoria dels grups abelians]].<ref>{{Harvard citations|last = Mac Lane|year = 1998|nb = yes}}</ref> A causa d'això, moltes afirmacions com el [[primer teorema d'isomorfia]] (també anomenat [[teorema del rang]] en termes de matrius)
:''E'' / ker(''&fnof;'') &cong; im(''&fnof;'').
i el segon i tercer teorema d'isomorfia es poden formular i demostrar de forma molt similar a les afirmacions corresponents per a [[grup (matemàtiques)|grup]]s.

Un exemple important és el nucli d'una aplicació lineal '''x''' ↦ ''A'''''x''' per a una matriu donada ''A'', com la de [[#equation2|dalt]]. El nucli d'aquesta aplicació és el subespai format pels vectors '''x''' tals que ''A'''''x''' = 0, que és precisament el conjunt de les solucions del sistema d'equacions lineals homogènies que corresponen a ''A''. Aquest concepte també s'estén a les equacions diferencials lineals
:<math>a_0 f + a_1 \frac{d f}{d x} + a_2 \frac{d^2 f}{d x^2} + \cdots + a_n \frac{d^n f}{d x^n} = 0</math>, on els coeficients ''a''<sub>''i''</sub> també són funcions de ''x''. 
En l'aplicació corresponent
:<math>f \mapsto D(f) = \sum_{i=0}^n a_i \frac{d^i f}{d x^i}</math>,
les [[derivada|derivades]] de la funció ''ƒ'' hi surten de forma lineal (en oposició a ''ƒ''<nowiki>''</nowiki>(''x'')<sup>2</sup>, per exemple). Atès que la derivació és un procediment lineal (és a dir, {{nowrap begin}}(''ƒ'' + ''g'')<nowiki>'</nowiki> = ''ƒ''<nowiki>'</nowiki> + ''g''&thinsp;<nowiki>'</nowiki>{{nowrap end}} i {{nowrap begin}}(''c''·''ƒ'')<nowiki>'</nowiki> = ''c''·''ƒ''<nowiki>'</nowiki>{{nowrap end}} per una constant ''c'') aquesta assignació és lineal, anomenada [[operador diferencial lineal]]. En particular, les solucions a l'equació diferencial {{nowrap begin}}''D''(''ƒ'') = 0{{nowrap end}} formen un espai vectorial (sobre ℝ o ).

=== Producte directe i suma directa ===
{{Principal|Producte directe|Suma directa}}
El ''producte directe'' <math>\textstyle{\prod_{i \in I} V_i}</math> d'una família d'espais vectorials ''V''<sub>''i''</sub> consta del conjunt de tots els tuples ('''v'''<sub>''i''</sub>)<sub>''i'' ∈ ''I''</sub>, que especifiquen, per a cada índex ''i'' d'algun [[conjunt índex]] ''I'', un element '''v'''<sub>''i''</sub> de ''V''<sub>''i''</sub>.<ref>{{Harvard citations|last = Roman|year = 2005|nb = yes|loc=cap. 1, pàg. 31–32}}</ref> L'addició i la multiplicació escalar en l'espai resultat del producte directe es fan component a component. Una variant d'aquesta construcció és la ''suma directa'' <math>\oplus_{i \in I} V_i</math> (també anomenat coproducte i notat <math>\textstyle{\coprod_{i \in I}V_i}</math>), on només es permeten tuples amb una quantitat finita de vectors diferents de zero. Si el conjunt índex ''I'' és finit, les dues construccions coincideixen, però si no, són diferents.

=== Producte tensorial ===
{{Principal|Producte tensorial}}
El ''producte tensorial'' ''V'' ⊗<sub>''F''</sub> ''W'', o simplement ''V'' ⊗ ''W'', de dos espais vectorials ''V'' i ''W'' és una de les nocions centrals en [[àlgebra multilineal]] que tracta l'extensió de nocions com les aplicacions lineals a diverses variables. Una aplicació g de mapa: {{nowrap|''g'': [[Producte cartesià|''V'' &times; ''W'']] → ''X''}} s'anomena [[aplicació bilineal|bilineal]] si ''g'' és lineal en les dues variables ''v'' i ''w''. És a dir, per a un ''w'' fixat l'aplicació {{nowrap|'''v''' ↦ ''g''('''v''', '''w''')}} és lineal en el sentit definit més amunt i el mateix passa per a un ''v'' fixat.

El producte tensorial és un espai vectorial particular que és un receptor ''universal'' d'aplicacions bilineals ''g'', de la manera següent. Es defineix com l'espai vectorial que consta de sumes finites (formals) de símbols anomenats [[tensor]]s
:'''v'''<sub>1</sub> ⊗ '''w'''<sub>1</sub> + '''v'''<sub>2</sub> ⊗ '''w'''<sub>2</sub> + ... + '''v'''<sub>''n''</sub> ⊗ '''w'''<sub>''n''</sub>,
subjectes a les següents regles 
:<span id=tensor_product></span>''a'' · ('''v''' ⊗ '''w''') = (''a'' · '''v''') ⊗ '''w''' = '''v''' ⊗ (''a'' · '''w'''), on ''a'' és un escalar,
:('''v'''<sub>1</sub> + '''v'''<sub>2</sub>) ⊗ '''w''' = '''v'''<sub>1</sub> ⊗ '''w''' + '''v'''<sub>2</sub> ⊗ '''w''', i
:'''v''' ⊗ ('''w'''<sub>1</sub> + '''w'''<sub>2</sub>) = '''v''' ⊗ '''w'''<sub>1</sub> + '''v''' ⊗ '''w'''<sub>2</sub>.</cite><ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 2002|loc = cap. XVI.1|nb = yes}}</ref> 
[[Fitxer:Universal property tensor product.png|miniatura|[[Diagrama commutatiu]] que il·lustra la propietat universal del producte tensorial.]]
Aquestes regles asseguren que l'aplicació ''ƒ''de ''V'' &times; ''W'' en ''V'' ⊗ ''W'' que fa correspondre una [[tupla]] ('''v''', '''w''') a {{nowrap|'''v''' ⊗ '''w'''}} és bilineal. La universalitat estableix que donat qualsevol espai vectorial ''X'' i ''qualsevol'' aplicació bilineal {{nowrap|''g'': ''V'' &times; ''W'' → ''X'',}}, existeix una aplicació única ''u'', que es mostra en el diagrama amb una fletxa de punts, que [[Composició de funcions|composta]] amb ''ƒ'' dóna ''g'': {{nowrap begin}}''u''('''v''' ⊗ '''w''') = ''g''('''v''', '''w''').{{nowrap end}}<ref>{{Harvard citations|last = Roman|year = 2005|nb = yes|loc=Tema. 14.3}}. Vegeu també [[lema de Yoneda]].</ref> Això s'anomena la [[propietat universal]] del producte tensorial, un exemple del mètode que es fa servir molt sovint en àlgebra abstracta avançada per definir objectes de forma indirecta especificant aplicacions des de o cap a l'objecte.

==<cite id=additional_structures>Espais vectorials amb estructura addicional</cite>==
Des del punt de vista de l'àlgebra lineal, els espais vectorials s'entenen completament en la mesura que qualsevol espai vectorial es caracteritza, fins a l'isomorfisme, per la seva dimensió. Tanmateix, els espais vectorials ''ad hoc'' no ofereixen una estructura per tractar amb la qüestió (fonamental per a l'[[anàlisi matemàtica]]) de si una successió de funcions [[convergència (matemàtiques)|convergeix]] cap a una altra funció. De la mateixa manera, l'àlgebra lineal no és adequada per tractar amb [[sèrie matemàtica|sèrie]]s infinites, ja que l'operació d'addició només admet l'addició d'una quantitat finita de termes.<cite id=labelFunctionalAnalysis> Per tant, les necessitats de l'[[anàlisi funcional]] exigeixen considerar estructures addicionals.</cite> En gran part, de la mateixa manera que el tractament axiomàtic dels espais vectorials mostra els seus trets algebraics essencials, estudiar espais vectorials amb estructures addicionals de manera abstracta també resulta ser avantatjós.

Un primer exemple d'una estructura addicional és una [[relació d'ordre]] ≤, un mètode pel qual els vectors es poden comparar.<ref>{{Harvard citations|last1 = Schaefer|last2=Wolff|year = 1999|loc = pàg. 204–205|nb = yes}}</ref> Per Exemple, l'espai n-dimensional '''R'''<sup>''n''</sup> es pot ordenar comparant els seus vectors component a component. Els [[espais vectorials ordenats]], per exemple els [[espai de Riesz|espais de Riesz]], són fonamentals per la [[integral de Lebesgue]], que depèn de l'habilitat per expressar una funció com a diferència de dues funcions positives
:''&fnof;'' = ''&fnof;''<sup>+</sup> − ''&fnof;''<sup>−</sup>,
on ''ƒ''<sup>+</sup> indica la part positiva de ''ƒ'' i ''ƒ''<sup>−</sup> la part negativa.<ref>{{Harvard citations|last = Bourbaki|year = 2004|nb = yes|loc=cap. 2, pàg. 48}}</ref>

=== Espais vectorials normats i producte escalar ===
{{Principal|Espais vectorials normats|Producte escalar}}
"Mesurar" vectors es fa especificant una [[norma (matemàtiques)|norma]], una dada que mesura longituds de vectors, o també es pot fer amb un [[producte escalar]], que mesura angles entre vectors. Les normes i els productes escalars es noten <math>| \mathbf v|</math> i <math>\lang \mathbf v | \mathbf w \rang</math>, respectivament. El fet de donar un producte escalar implica que les llargades dels vectors també es poden definir, definint la norma associada <math>|\mathbf v| := \sqrt {\langle \mathbf v | \mathbf v \rangle}</math>. Els espais vectorials dotats d'aquestes estructures es coneixen com ''espais vectorials normats'' i ''espais amb producte escalar'', respectivament.<ref>{{Harvard citations|last =Roman|year = 2005|nb = yes|loc=cap. 9}}</ref>

A l'espai de coordenades ''F''<sup>''n''</sup> se'l pot dotar del producte escalar estàndard:
:<math>\lang \mathbf x | \mathbf y \rang = \mathbf x \cdot \mathbf y = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n.</math>
En '''R'''<sup>2</sup>, això porta a la noció habitual d'angle entre dos vectors '''x''' i '''y''':
:<math>\mathbf x \cdot \mathbf y = \cos\left(\angle (\mathbf x, \mathbf y)\right) \cdot |\mathbf x| \cdot |\mathbf y|.</math>
Degut a això, dos vectors que satisfan <math>\lang \mathbf x | \mathbf y \rang = 0</math> s'anomenen [[ortogonal]]s. En l'[[espai de Minkowsky]] es fa servir una variant important del producte escalar estàndard: '''R'''<sup>4</sup> dotat amb el producte de Lorenz
:<math>\lang \mathbf x | \mathbf y \rang = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3 - x_4 y_4.</math><ref>{{Harvard citations|last =Naber|year = 2003|nb = yes|loc=cap. 1.2}}</ref>
A diferència del producte escalar estàndard aquest no és una [[forma bilineal definida positiva]]: <math>\lang \mathbf x | \mathbf x \rang</math> també pot tenir valors negatius, per exemple per {{nowrap begin}}'''x''' = (0, 0, 0, 1){{nowrap end}}. Triant la quarta coordenada de forma que es correspongui amb el temps, serveix per al tractament matemàtic de la [[relativitat especial]].

=== Espais vectorials topològics ===
{{Principal|Espai vectorial topològic}}
Les qüestions referents a la [[límit|convergència]] es tracten considerant que els espais vectorials ''V'' tenen una [[espai topològic|topologia]] compatible, una estructura que permet parlar d'elements que són més o menys a prop els uns dels altres.<ref>{{Harvard citations|last = Treves|year = 1967|nb = yes}}</ref><ref>{{Harvard citations|last = Bourbaki|year = 1987|nb = yes}}</ref> Aquí compatible vol dir que l'addició i el producte escalar han de ser [[funció contínua|funcions contínues]]. De forma col·loquial, si '''x''' i '''y''' de ''V'', i ''a'' de ''F'' varien en una quantitat limitada, llavors la variació de '''x''' + '''y''' i la de ''a'' '''x''' també són limitades.<ref group=nb>Aquest requisit implica que la topologia dóna lloc a una [[estructura uniforme]], {{Harvard citations|last = Bourbaki|year = 1989|loc = cap. II|nb = yes}}</ref> Perquè tingui sentit especificar la quantitat de canvi d'un escalar, el camp ''F'' també ha de tenir una topologia en aquest context; una elecció habitual per al cos ''F'' és emprar el cos dels nombres reals o el dels complexos.

En aquests ''espais vectorials topològics'' es poden estudiar [[sèrie matemàtica|sèries]] de vectors. És a dir, les sumes infinites
:<math>\sum_{i=0}^{\infty} f_i</math>

denota el [[límit (matemàtica)|límit]] de les sumes parcials finites corresponents de la successió (''ƒ''<sub>''i''</sub>)<sub>''i''∈'''N'''</sub> d'elements de ''V''. Per exemple, els ''ƒ''<sub>''i''</sub> podrien ser funcions (reals o complexes) que pertanyen a algun [[espai funcional]] ''V'', en aquest cas la sèrie és una [[sèrie de funcions]]. El [[tipus de convergència]] de la sèrie depèn de la topologia imposada a l'espai de funcions. En aquests casos, la [[convergència punt a punt]] i la [[convergència uniforme]] són dos exemples típics.

[[Fitxer:Vector norms2.svg|miniatura|[[bola unitària|Les "boles" unitàries]] en '''R'''<sup>2</sup> consisteixen en el conjunt dels vectors del pla de norma ≤ 1. Al dibuix hi ha les [[frontera (topologia)|fronteres]] de les boles unitàries en diferents [[norma Lp|normes Lp]], per a ''p'' = 1, 2, i ∞. El rombe més gran representa punts d'1-norma igual a <math>\sqrt 2</math>.]]
Una manera d'assegurar l'existència de límits de certes sèries infinites és restringir l'atenció a espais on qualsevol [[successió de Cauchy]] té límit; aquests espais vectorials s'anomenen [[espai complet|complets]]. Col·loquialment, la condició que un espai vectorial sigui complet imposa la condició que contingui tots els límits necessaris. Per exemple, l'espai vectorial de polinomis en l'interval unitari [0,1], dotat amb la [[topologia de convergència uniforme]] no és complet perquè, segons el [[teorema de Stone-Weierstrass]], tota funció contínua a [0,1] pot ser uniformement aproximada per una successió de polinomis (i no totes les funcions contínues són polinomis, per tant el conjunt dels polinomis no conté els seus límits).<ref>{{harvnb|Kreyszig|1989|loc=§4.11-5}}</ref> En canvi, l'espai de totes les funcions contínues en [0,1] amb la mateixa topologia és complet.<ref>{{harvnb|Kreyszig|1989|loc=§1.5-5}}</ref> Una norma dóna lloc a una topologia definint que una successió de vectors '''v'''<sub>''n''</sub> convergeix a ''v'' si i només si
:<math>\text{lim}_{n \rightarrow \infty} |\mathbf v_n - \mathbf v| = 0</math>. 
Els espais de Banach i de Hilbert són espais topològics complets les topologies dels quals vénen donades, respectivament, per una norma i un producte escalar. El seu estudi (peça clau en l'[[anàlisi funcional]]) se centra en l'anàlisi en espais vectorials de dimensió infinita, ja que totes les normes en espais vectorials topològics de dimensió finita donen lloc a la mateixa noció de convergència.<ref>{{Harvard citations|last =Choquet|year = 1966|nb = yes|loc=Proposició III.7.2}}</ref> La imatge de la dreta mostra l'equivalència de la 1-norma i la ∞-norma en '''R'''<sup>2</sup>: com que les "boles" unitàries s'encaixen l'una dins l'altra, una successió convergeix a zero en una norma si i només si també ho fa en l'altra norma. Tanmateix, en el cas de dimensió infinita, en general, hi haurà topologies que no seran equivalents, això fa l'estudi d'espais vectorials topològics més rics que el dels espais vectorials sense estructures addicionals.

Des d'un punt de vista conceptual, totes les nocions relacionades amb espais vectorials topològics haurien de lligar amb la topologia. Per exemple, en comptes de considerar totes les aplicacions lineals (també anomenades [[funcional (matemàtiques) |funcionals]]) ''V'' → ''W'', s'exigeix que les aplicacions entre espais vectorials topològics siguin contínues.<ref>{{Harvard citations|last = Treves|year = 1967|nb = yes|loc=p. 34–36}}</ref> En particular, <cite id=label2>l'espai dual (topològic) ''V''<sup>∗</sup></cite> consta de funcionals continus ''V'' → '''R''' (o '''C'''). El [[teorema de Hahn-Banach]] s'ocupa de la separació de subespais d'espais vectorials topològics apropiats per funcionals continus.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year =1983|nb = yes|loc=Cor. 4.1.2, pàg. 69}}</ref>
==== Espais de Banach ====
{{Principal|Espai de Banach}}
Un espai de Banach, (espais introduïts per [[Stefan Banach]]), és un espai vectorial normat complet (és a dir, tal que tota [[successió de Cauchy]] respecte a la mètrica d(x,y)=||x-y|| és convergent).<ref>{{Harvard citations|last = Treves|year = 1967|nb = yes|loc=cap. 11}}</ref> A és l'[[espai Lp|espai vectorial ℓ&thinsp;<sup>''p''</sup>]] format per vectors amb infinits components reals '''x''' = (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ...) la [[p-norma]] dels quals {{nowrap|(1 ≤ ''p'' ≤ ∞)}} ve donada per
:<math>|\mathbf x|_p := \left(\sum_i |x_i|^p \right)^{1/p}</math> for ''p'' < ∞ i <math>|\mathbf x|_\infty := \text{sup}_i |x_i|</math>
és finita. Les topologies de l'espai de dimensió infinita ℓ&thinsp;<sup>''p''</sup> no són equivalents en variar ''p''. Per exemple la successió de vectors '''x'''<sub>''n''</sub> = (2<sup>−''n''</sup>, 2<sup>−''n''</sup>, ..., 2<sup>−''n''</sup>, 0, 0, ...), és a dir, els primers 2<sup>''n''</sup> components són 2<sup>−''n''</sup>, i els següents són 0, convergeix al [[vector nul]] per a ''p'' = ∞, però no per a ''p'' = 1:
:<math>|x_n|_\infty = \sup (2^{-n}, 0) = 2^{-n} \rightarrow 0</math>, però <math>|x_n|_1 = \sum_{i=1}^{2^n} 2^{-n} = 2^n \cdot 2^{-n} = 1</math>.

De forma més general que les successions de nombres reals, les funcions ''ƒ'': Ω → '''R''' estan dotades d'una norma que substitueix la suma esmentada per la [[integral de Lebesgue]]
:<math>|f|_p := \left(\int_\Omega |f(x)|^p \, dx \right)^{1/p}</math>.
L'espai de funcions integrables sobre un [[domini (matemàtiques)|domini]] donat Ω (per exemple un interval) que satisfà |''ƒ''|<sub>''p''</sub> < ∞ i equipat amb aquesta norma s'anomenen [[Lp espai|espais de Lebesgue]], i es noten ''L''<sup>''p''</sup>(Ω).<ref group=nb>La [[desigualtat triangular]] per a |−|<sub>''p''</sub> la subministra la [[desigualtat de Minkowski]]. Per motius tècnics, per obtenir una norma i no només una [[seminorma]], en el context de funcions, s'han de identificar les funcions que coincideixen [[quasi per a tot]].</ref> Aquests espais són complets.<ref>{{Harvard citations|last = Treves|year = 1967|nb = yes|loc=Teorema 11.2, pàg. 102}}</ref> (en canvi si es fa servir la [[integral de Riemann]], l'espai ''no'' és complet, la qual cosa es pot veure com una justificació per la teoria de la integració de Lebesgue.<ref group=nb>"En la mesura de Lebesgue ''L''<sup>2</sup> moltes funcions, en ser no fitades, no es poden integrar amb la integral clàssica de Riemann. Així, espais de funcions Riemann integrables podrien no ser complets respecte a la norma ''L''<sup>2</sup>, i no se'ls podria aplicar la descomposició ortogonal. Això mostra un dels avantatges de la [[integració de Lebesgue]].", {{Harvard citations|last = Dudley|year = 1989|nb = yes|loc=sect. 5.3, pàg. 125}}</ref>) En concret això significa que per a qualsevol successió de funcions Lebesgue integrables {{nowrap|''&fnof;''<sub>1</sub>, ''&fnof;''<sub>2</sub>, ...}} amb {{nowrap begin}}|''ƒ''<sub>''n''</sub>|<sub>''p''</sub> < ∞{{nowrap end}}, que satisfacin la condició
:<math> \lim_{k,\ n \to \infty}\int_\Omega |{f}_k (x)-{f}_n (x)|^p \, dx = 0</math>
existeix una funció ''ƒ'' que pertany a l'espai vectorial ''L''<sup>''p''</sup>(Ω) tal que
:<math>\lim_{k \to \infty}\int_\Omega |{f} (x)-{f}_k (x)|^p \, dx = 0 \ .</math>

Imposant condicions de ser fitades, no només a la funció sinó també a les seves [[derivada|derivades]] porta als [[espais de Sobolev]].<ref>{{Harvard citations|last = Evans|year = 1998|loc = cap. 5|nb = yes}}</ref>
{{-}}

==== Espais de Hilbert ====
{{Principal|Espai de Hilbert}}
[[Fitxer:Periodic identity function.gif|miniatura|Les successives imatges mostren el sumatori dels termes que van de l'1 al 5 de l'aproximació d'una funció periòdica (blau) per una suma de funcions sinus (vermell).]]
Els espais complets basats en un producte escalar es coneixen com ''Espais de Hilbert'', en honor a [[David Hilbert]].<ref>{{Harvard citations|last = Treves|year = 1967|nb = yes|loc=cap. 12}}</ref> L'Espai de Hilbert ''L''<sup>2</sup>(Ω), amb el producte escalar definit com
:<math> \langle f\ | \ g \rangle = \int_\Omega f(x) \overline{g(x)} \, dx\,\!</math>, 
on <math>\overline{g(x)}</math> denota el [[conjugat]] de ''g''(''x'').<ref name=Dennery>{{Harvard citations|last = Dennery|year = 1996|loc = pàg.190|nb = yes}}</ref><ref group=nb>Per ''p'' ≠2, ''L''<sup>''p''</sup>(Ω) no és un espai de Hilbert.</ref> és un cas clau.

Per definició, en un Espai de Hilbert qualsevol successió de Cauchy convergeix a un límit. El recíproc, trobar una successió de funcions ''ƒ''<sub>''n''</sub> amb propietats adequades que aproxima en el límit una funció donada, és també molt important. Les anàlisis del tipus de l'[[Sèrie de Taylor|aproximació Taylor]], estableixen una aproximació de [[funció derivable|funcions diferenciables]] ''f'' per polinomis.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1993|loc = Tema. XIII.6, pàg. 349|nb = yes}}</ref> Pel <cite id=labelStoneWeierstrass>[[teorema de Stone-Weierstrass]]</cite>, tota funció contínua en {{nowrap|[''a, b'']}} es pot aproximar tan com es vulgui per un polinomi.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1993|loc = Tema. III.1.1|nb = yes}}</ref> Una tècnica similar d'aproximació per funcions trigonomètriques s'anomena comunament desenvolupament en [[sèrie de Fourier]], i s'aplica molt en enginyeria, vegeu més [[#labelFourier|avall]]. De forma més general, i més conceptual, el teorema dóna una descripció simple de quines "funcions bàsiques", o, en Espais de Hilbert abstractes, quins vectors base són suficients per generar un Espai de Hilbert ''H'', en el sentit que la [[clausura (topologia)|clausura]] de la seva expansió (és a dir, combinacions lineals finites i límits d'aquestes) és l'espai sencer. Aquests conjunts de funcions s'anomenen una ''base'' de ''H'', la seva cardinalitat es coneix com la [[dimensió Hilbert]].<ref group=nb>Una base d'un [[espai de Hilbert]] no és la mateixa cosa que una base en el sentit de l'àlgebra lineal de [[#label1|més amunt]]. Per distingir-les, a l'última se l'anomena una [[base de Hamel]].</ref> El teorema no només identifica les funcions base adequades per propòsits d'aproximació, sinó que juntament amb el [[procés de Gram-Schmidt]] també permet construir una [[base ortogonal|base de vectors ortogonals]].<ref>{{Harvard citations|last = Choquet|year = 1966|loc = Lema III.16.11|nb = yes}}</ref> Aquestes bases ortogonals són la generalització de Hilbert a espais de dimensió infinita dels eixos de coordenades en els [[espai euclidià|espais euclidians]] de dimensió finita.

Les solucions a moltes [[equació diferencial|equacions diferencials]] es poden interpretar en termes d'Espais de Hilbert. Per exemple, molts problemes de física i enginyeria porten a aquest tipus d'equacions i sovint les solucions amb propietats físiques particulars es fan servir com a funcions base, sovint ortogonals.<ref>{{Harvard citations|last=Kreyszig|year=1999|loc=Capítol 11|nb=yes}}</ref> Un exemple en física és l'[[equació de Schrödinger]] de la [[mecànica quàntica]] que descriu el canvi de les propietats físiques al llarg del temps, per mitjà d'una [[equació diferencial en derivades parcials]]. Les solucions d'aquesta equació s'anomenen [[funció d'ona|funcions d'ona]].<ref>{{Harvard citations|last=Griffiths|year=1995|loc=Capítol 1|nb=yes}}</ref> Els valors definits per a certes propietats físiques com ara l'[[energia]], o la [[quantitat de moviment]], es corresponen amb [[valor propi|valors propis]] d'un determinat [[operador diferencial]] (lineal) i les funcions d'ona associades s'anomenen estats propis. El <cite id=labelSpectralTheorem>[[teorema espectral]] descompon un [[operador compacte]] lineal que opera sobre funcions en una combinació lineal d'aquestes funcions pròpies i els seus valors propis.</cite><ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1993|loc =cap. XVII.3|nb = yes}}</ref>
{{-}}

=== Àlgebres sobre cossos ===
{{Principal|Àlgebra sobre un cos|Àlgebra de Lie}}
[[Fitxer:Rectangular hyperbola.svg|miniatura|Una [[hipèrbola]], definida per l'equació {{nowrap begin}}''x'' · ''y'' = 1.{{nowrap end}} La [[varietat algebraica]] de funcions sobre aquesta hipèrbola està definida per {{nowrap|'''R'''[''x'', ''y''] / (''x'' · ''y'' − 1),}} un espai vectorial de dimensió infinita sobre '''R'''.]]
Els espais vectorials generals no posseeixen una operació de multiplicació. Un espai vectorial proveït amb un [[operador bilineal]] addicional que defineix la multiplicació de dos vectors és una ''àlgebra sobre un cos''.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 2002|nb = yes|loc=cap. III.1, pàg. 121}}</ref> Moltes àlgebres provenen de funcions en algun objecte geomètric: com que es poden multiplicar funcions amb valors en un cos, aquestes entitats formen àlgebres. El teorema de Stone-Weierstrass esmentat [[#labelStoneWeierstrass|abans]], per exemple, depèn d'[[àlgebra de Banach|àlgebres de Banach]] que són alhora les dues coses, espais de Banach i àlgebres.

L'[[àlgebra commutativa]] fa molt ús d'[[anell de polinomis|anells de polinomis]] d'una o diverses variables, presentats més [[#labelPolynomialRing|amunt]]. La seva multiplicació és tant [[commutativa]] com [[associativa]]. Aquests anells i els seus [[anell quocient|quocients]] formen la base de la [[geometria algebraica]], perquè són anells de [[varietat algebraica|funcions d'objectes geomètrics algebraics]].<ref>{{Harvard citations|last = Eisenbud|year = 1995|nb = yes|loc=cap. 1.6}}</ref> 

Un altre exemple crucial són les [[àlgebra de Lie|àlgebres de Lie]], que no són ni commutatives ni associatives, però la manca de compliment d'aquestes propietats està limitada per les restriccions ([''x'', ''y''] denota el producte de ''x'' per ''y''):
:*{{nowrap|1=<math> \left [x, \, y \right] =</math> <math> - \left [y, \, x \right]</math>}} ([[propietat anticommutativa]]) i
:*{{nowrap|1=<math> \left [x, \, [y, z] \, \right]+ \left [y, \, [z, x] \, \right]+ \left [z, \, [x, y] \, \right] = 0</math>}} ([[Identitat de Jacobi]]).<ref>{{Harvard citations|last = Varadarajan|year = 1974|nb = yes}}</ref> 
Els exemples inclouen l'espai vectorial de matrius de ''n''-per-''n'', amb {{nowrap begin}}[''x'', ''y''] = ''xy'' − ''yx'',{{nowrap end}} el [[Commutador de dos operadors|commutador]] de dues matrius, i '''R'''<sup>3</sup>, dotat del [[producte vectorial]].

L'[[àlgebra tensorial]] T(''V'') és una manera formal d'afegir productes a qualsevol espai vectorial ''V'' per obtenir una àlgebra.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 2002|nb = yes|loc=cap. XVI.7}}</ref> Com a espai vectorial, s'expandeix per símbols, anomenats [[tensor]]s simples
:'''v'''<sub>1</sub> ⊗ '''v'''<sub>2</sub> ⊗ ... ⊗ '''v'''<sub>''n''</sub>, en el [[rang d'un tensor|grau]] ''n'' varia.
La multiplicació ve donada per la concatenació d'aquests símbols, imposant la [[propietat distributiva]] respecte de l'addició, i exigint que el producte per un escalar commuti amb el producte tensorial, de la mateixa manera com amb el producte tensorial de dos espais vectorials presentat [[#tensor_product|més amunt]]. En general, no hi ha cap relació entre '''v'''<sub>1</sub> ⊗ '''v'''<sub>2</sub> i '''v'''<sub>2</sub> ⊗ '''v'''<sub>1</sub>. Forçar que aquestes dues expressions siguin iguals porta a l'[[àlgebra simètrica]], mentre que imposant {{nowrap begin}}'''v'''<sub>1</sub> ⊗ '''v'''<sub>2</sub> = − '''v'''<sub>2</sub> ⊗ '''v'''<sub>1</sub>{{nowrap end}} porta a l'[[àlgebra exterior]].<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 2002|nb = yes|loc=cap. XVI.8}}</ref>

== Aplicacions ==
Els espais vectorials tenen aplicacions múltiples atès que apareixen en moltes circumstàncies, arreu on hi hagi implicades funcions amb valors en algun cos. Proporcionen un marc per tractar problemes analítics i geomètrics, o es fan servir en la transformada de Fourier. Aquesta llista no és exhaustiva: hi ha moltes més aplicacions, per exemple en [[optimització (matemàtiques)|optimització]]. El [[teorema de minimax]] de [[teoria de jocs]], que estableix l'existència d'un guany únic quan tots els jugadors juguen de manera òptima, es pot formular i demostrar fent servir mètodes d'espais vectorials.<ref>{{Harvard citations|last = Luenberger|year = 1997|nb = yes|loc=Secció 7.13}}</ref> La [[teoria de la representació]] trasllada profitosament la bona comprensió de l'àlgebra lineal i els espais vectorials a altres dominis matemàtics com la [[teoria de grups]].<ref>Vegeu [[teoria de la representació]] i [[representació de grup]].</ref>
=== Distribucions ===
{{Principal|Distribució (matemàtiques)|l1=Distribució}}
Una ''distribució'' (o ''funció generalitzada'') és una [[aplicació lineal]] que assigna, de forma contínua, un nombre a cada funció de "prova", normalment una funció [[contínuament derivable]] amb [[suport compacte]]: en la terminologia [[#label2|de més amunt]] l'espai de distribucions és el dual (continu) de l'espai de funcions de prova.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1993|loc =cap. XI.1|nb = yes}}</ref> Aquest últim espai està dotat amb una topologia que té en compte no només ''ƒ'' mateixa, sinó també totes les seves [[derivada#Derivades d'ordre superior|derivades d'ordre superior]]. Un exemple habitual és el resultat d'integrar una funció de prova ''ƒ'' sobre algun domini Ω:
:<math>I(f) = \int_\Omega f(x)\,dx.</math>
Quan Ω = {''p''}, el conjunt format per un únic punt, es redueix a la [[distribució de Dirac]], notada per δ, que associa a una funció de prova ''ƒ'' el seu valor a ''p'': δ(''ƒ'') = ''ƒ''(''p''). Les distribucions són un instrument potent per resoldre [[equacions diferencials]]. Com que totes les nocions analítiques habituals com les derivades són lineals, s'estenen de forma natural a l'espai de distribucions. Per això l'equació en qüestió es pot transferir a un espai de distribució, que és més gran que l'espai de funcions subjacent, de manera que hi ha mètodes més flexibles per resoldre l'equació. Per exemple, les [[Funció de Green|funcions de Green]] i les [[solucions fonamentals]] habitualment són distribucions més que no pas funcions pròpiament dites, i llavors es poden fer servir per trobar solucions de l'equació amb les condicions de contorn imposades. Llavors de vegades es pot demostrar que la solució trobada és de fet una veritable funció, i una solució a l'equació original (per exemple, fent servir el [[teorema de Lax-Milgram]], una conseqüència del [[teorema de representació de Riesz]]).<ref>{{Harvard citations|last = Evans|year = 1998|loc =Tema. 6.2.1|nb = yes}}</ref>

=== Anàlisi de Fourier ===
{{Principal|Transformada de Fourier}}
[[Fitxer:Heat eqn.gif|miniatura|L'equació de conducció de la calor descriu la dissipació gradual de propietats físiques, com la disminució de la temperatura d'un cos calent posat en un ambient més fred (el groc correspon a regions més calentes que el vermell).]]

Expressar una [[funció periòdica]] com una suma de [[funcions trigonomètriques]] forma una <cite id=labelFourier>''[[sèrie de Fourier ]]''</cite>, que és una tècnica que es fa servir molt en física i en enginyeria.<ref group=nb>Tot i que les sèries de Fourier són periòdiques, la tècnica es pot aplicar a qualsevol funció ''L''<sup>2</sup> en un interval a base de considerar que la funció es repeteix periòdicament fora de l'interval. Vegeu {{Harvard citations|last = Kreyszig|year = 1988|loc=p. 601|nb = yes}}</ref><ref>{{Harvard citations|last = Folland|year = 1992|loc = pàg. 349 ''ff''|nb = yes}}</ref> L'espai vectorial subjacent normalment és l'[[espai de Hilbert]] ''L''<sup>2</sup>(0, 2π), per al qual les funcions sin ''mx'' i cos ''mx'' (''m'' enter) formen una base ortogonal.<ref>{{Harvard citations|last1 = Gasquet|last2 = Witomski|year=1999|loc=p. 150|nb=yes}}</ref> El desenvolupament en sèrie de Fourier d'una funció de ''L''<sup>2</sup> ''f'' és
:<math>
\frac{a_0}{2} + \sum_{m=1}^{\infty}\left[a_m\cos\left(mx\right)+b_m\sin\left(mx\right)\right].
</math>

Els coeficients ''a''<sub>''m''</sub> i ''b''<sub>''m''</sub> s'anomenen coeficients de Fourier de ''ƒ'', i es calculen amb les fórmules<ref name="Harvard01">{{Harvard citations|last1 = Gasquet|last2 = Witomski|year=1999|loc=§4.5|nb=yes}}</ref>
:<math>a_m = \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} f(t) \cos (mt) \, dt</math>, <math>b_m = \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} f(t) \sin (mt) \, dt.</math>

En termes propis de la [[física]] la funció es representa com una [[principi de superposició|superposició]] d'[[ona sinusoïdal|ones sinusoïdals]] i els coeficients donen informació sobre l'[[espectre de freqüències]] de la funció.<ref>{{Harvard citations|last1 = Gasquet|last2 = Witomski|year=1999|loc=p. 57|nb=yes}}</ref> Habitualment també es fa servir una forma d'expressar les sèries de Fourier basada en els [[nombres complexos]].<ref name="Harvard01"/> Les fórmules concretes de damunt són les conseqüències d'una dualitat matemàtica més general anomenada [[dualitat de Pontryagin]].<ref>{{Harvard citations|last1=Loomis | year=1953|loc=cap. VII|nb=yes}}</ref> Aplicada al [[grup (matemàtiques)|grup]] '''R''', produeix la transformada clàssica de Fourier; una aplicació en física en són els [[reticle recíproc|reticles recíprocs]], on el grup subjacent és un espai vectorial real de dimensió finita dotat de l'estructura addicional d'un [[reticle (geometria)|reticle]] que codifica les posicions dels [[àtoms]] en els [[cristall]]s.<ref>{{Harvard citations|last1=Ashcroft | last2=Mermin | year=1976|loc=cap. 5|nb=yes}}</ref>

Les sèries de Fourier es fan servir per resoldre [[problemes de condició de contorn]] en [[equacions diferencials en derivades parcials]].<ref>{{Harvard citations|last = Kreyszig|year = 1988|loc=p. 667|nb = yes}}</ref> El 1822, [[Joseph Fourier|Fourier]] va fer servir per prima vegada aquesta tècnica per resoldre l'[[equació de transferència de calor]].<ref>{{Harvard citations|last = Fourier|year = 1822|nb = yes}}</ref> Una [[Transformada Discreta de Fourier|versió discreta]] de la Sèrie de Fourier es pot fer servir en aplicacions de [[mostratge]] en aplicacions de [[processament del senyal]] on el valor de funció es coneix només en un nombre finit de punts equiespaiats. En aquest cas la Sèrie de Fourier és finita i el seu valor en els punts de mostra coincideix amb els valors mesurats.<ref>{{Harvard citations|last1 = Gasquet|last2 = Witomski|year=1999|loc=p. 67|nb=yes}}</ref> El conjunt de coeficients es coneix com la transformada discreta de Fourier (DFT) de la successió de mostra donada. La DFT és una de les eines clau del [[processament digital del senyal]], un camp que s'aplica al [[radar]], la [[Codificador de veu|codificació de veu]], i la [[compressió d'imatge]]s.<ref>{{Harvard citations|last1 = Ifeachor|last2 = Jervis|year=2002|loc=p. 3–4, 11|nb=yes}}</ref> El format d'imatge de JPEG és una aplicació de la [[Transformada Cosinus Discreta]] que hi està relacionada de prop.<ref>{{Harvard citations|last = Wallace|year = Feb 1992|nb = yes}}</ref>

La [[transformada ràpida de Fourier]] és un algorisme per calcular ràpidament la transformada discreta de Fourier.<ref>{{Harvard citations|last1 = Ifeachor|last2 = Jervis|year=2002|loc=p. 132|nb=yes}}</ref> Es fa servir no només per calcular els coeficients de Fourier sinó, utilitzant el [[teorema de convolució]], també per calcular la [[convolució]] de dues successions finites.<ref>{{Harvard citations|last1 = Gasquet|last2 = Witomski|year=1999|loc=§10.2|nb=yes}}</ref> Aquests mètodes s'apliquen en [[filtre digital|filtres digitals]]<ref>{{Harvard citations|last1 = Ifeachor|last2 = Jervis|year=2002|loc=p. 307–310|nb=yes}}</ref> i com a [[algorisme de multiplicació]] ràpid per a [[polinomi]]s i [[nombre enter|enters]] grans ([[algorisme de Schönhage-Strassen]]).<ref>{{Harvard citations|last1 = Gasquet|last2 = Witomski|year=1999|loc=§10.3|nb=yes}}</ref><ref>{{Harvard citations|last1=Schönhage|last2=Strassen|year=1971|nb=yes}}</ref>

=== Geometria diferencial ===
{{Principal|Espai tangent}}
[[Fitxer:Image Tangent-plane.svg|miniatura|L'espai tangent a una [[esfera]] en un punt és el pla infinit que toca l'esfera en aquest punt.]]
El [[pla tangent]] a una superfície a un punt és de forma natural un espai vectorial l'origen del qual s'identifica amb el punt de contacte. El pla tangent és la millor [[aproximació lineal]], o [[linealització]], d'una superfície a un punt.<ref group=nb>Això és dir que {{harv|BSE-3|2001}}, el pla que passa pel punt de contacte ''P'' és tal que la distància d'un punt ''P''<sub>1</sub> de la superfície al pla és [[comparació asimptòtica|infinitesimalment petita]] comparada amb la distància de ''P''<sub>1</sub> a ''P'' en el límit quan ''P''<sub>1</sub> tendeix a ''P'' al llarg de la superfície.</ref> Fins i tot en un espai euclidià tridimensional, és impossible prescriure una base del pla de tangent d'una manera natural, atès que es defineix com un espai vectorial abstracte més que com un espai de coordenades real. L{{'}}''espai tangent'' és la generalització a [[varietat diferenciable|varietats diferenciables]] de dimensió superior.<ref name="Harvard02">{{Harvard citations|last = Spivak|year = 1999|loc = cap. 3|nb = yes}}</ref>

Les [[varietat de Riemann|varietats Riemannianes]] són varietats els espais tangent de les quals es doten d'un producte intern adequat.<ref>{{Harvard citations|last = Jost|year = 2005|nb = yes}}. Vegeu també [[varietat de Lorentz]].</ref> D'aquí s'obté el [[tensor de curvatura de Riemann]], que codifica totes les [[Curvatura|curvatures]] d'una varietat en un objecte, cosa que té aplicacions en la [[relativitat general]], per exemple, on el [[tensor de curvatura d'Einstein]] descriu la curvatura de l'[[espaitemps]].<ref>{{Harvard citations|last1 = Misner|last2=Thorne|last3=Wheeler|year = 1973|loc = cap. 1.8.7, pàg. 222 i cap. 2.13.5, pàg. 325|nb = yes}}</ref><ref>{{Harvard citations|last = Jost|year = 2005|loc = cap. 3.1|nb = yes}}</ref> A l'espai tangent d'un [[grup de Lie]] se li pot donar de forma natural l'estructura d'una [[àlgebra de Lie]] i es pot fer servir per classificar els [[grup de Lie compacte|grups de Lie compactes]].<ref>{{Harvard citations|last = Varadarajan|year = 1974|loc = cap. 4.3, Teorema 4.3.27|nb = yes}}</ref>

== Generalitzacions ==
=== Fibrat vectorial ===
{{Principal|Fibrat vectorial|Fibrat tangent}}
[[Fitxer:Moebiusstrip.png|miniatura|Una [[cinta de Möbius]]. Localment, [[homeomorfisme|té l'aspecte de]] {{nowrap|''U'' &times; '''R'''.}}]]
Un ''fibrat vectorial'' és una família d'espais vectorials parametritzada contínuament per un [[espai topològic]] ''X''.<ref name="Harvard02"/> Més precisament, un fibrat vectorial sobre ''X'' és un espai topològic ''E'' proveït d'una aplicació contínua
:&pi;&thinsp;: ''E'' → ''X''
tal que, per a cada ''x'' de ''X'', la [[fibra (matemàtiques)|fibra]] π<sup>−1</sup>(''x'') és un espai vectorial (real o complex). Quan les fibres tenen dimensió 1 s'anomena [[fibrat de línia]]. Per a qualsevol espai vectorial ''V'' (de dimensió finita), la projecció ''X'' &times; ''V'' → ''X'' dota el producte ''X'' &times; ''V'' d'una estructura de fibrat vectorial anomenat "trivial". Als fibrats vectorials sobre ''X'' se'ls exigeix que [[propietat local|localment]] siguin un producte de ''X'' per algun espai vectorial (fixat) ''V'': per a cada ''x'' de ''X'', hi ha un [[veïnat (matemàtiques)|veïnat]] obert ''U'' de ''x'' tal que la restricció de π a π<sup>−1</sup>(''U'')' és isomorf<ref group=nb> És a dir hi ha un [[homeomorfisme]] de π<sup>−1</sup>(''U'') en ''V'' &times; ''U'' que es restringeix a isomorfismes lineals entre fibres.</ref> al fibrat trivial ''U'' &times; ''V'' → ''U''. Malgrat el seu caràcter localment trivial, els fibrats vectorials poden (depenent de la forma de l'espai subjacent ''X'') estar "torçats" a gran escala, és a dir, el fibrat no necessita ser "trivialitzable" (globalment isomorf al fibrat trivial {{nowrap|''X'' &times; ''V''}}). Per exemple, la [[cinta de Möbius]] es pot veure com a fibrat de línia sobre la circumferència ''S''<sup>1</sup>. És, tanmateix, diferent del [[cilindre]] ''S''<sup>1</sup> &times; '''R''', perquè aquest últim és [[varietat orientable|orientable]] mentre que l'anterior no ho és.<ref>{{Harvard citations|last = Kreyszig|year = 1991|nb = yes|loc=§34, pàg. 108}}</ref> 

Les propietats de certs fibrats vectorials proporcionen informació sobre l'espai topològic subjacent. Per exemple, el [[fibrat tangent]] d'una varietat diferenciable és la unió de tots els seus [[espai tangent|espais de tangents]], parametritzada pels punts de la varietat. El fibrat tangent del cercle ''S''<sup>1</sup> és globalment isomorf a ''S''<sup>1</sup> &times; '''R''', ja que hi ha un [[camp vectorial]] global no nul a ''S''<sup>1</sup>.<ref group=nb>Un fibrat de línia, com ara el fibrat tangent de ''S''<sup>1</sup> és trivial [[si i només si]] hi ha una [[secció d'un fibrat|secció]] que no s'anul·la enlloc, vegeu {{Harvard citations|last = Husemoller|year = 1994|nb = yes|loc=Corolari 8.3}}. Les seccions del fibrat tangent són precisament els [[camp vectorial|camps vectorials]].</ref> En canvi, pel [[teorema de la bola peluda]], no hi ha cap camp vectorial (tangent) en l'[[esfera]] ''S''<sup>2</sup> que sigui diferent de zero arreu.[100] La [[teoria k]] estudia les classes d'isomorfisme de tots els fibrats vectorials sobre algun espai topològic.<ref>{{harvard citations|last1=Eisenberg|last2=Guy|year=1979|nb=yes}}</ref> A més d'aprofundir en els conceptes topològics i geomètrics, té conseqüències purament algebraiques, com ara la classificació de les [[àlgebra de divisió|àlgebres de divisió]] reals de dimensió finita: '''R''', '''C''', i '''H''' (els [[quaternió|quaternions]]).

El [[fibrat cotangent]] d'una varietat diferenciable consta, en tots els punts de la varietat, del dual de l'espai de tangent, l'[[espai de cotangent]]. Les [[secció d'un fibrat|seccions]] d'aquest fibrat s'anomenen [[forma diferencial|1-formes diferencials]].

=== Mòduls ===
{{Principal|Mòdul}}
Els ''mòduls'' són als [[anell (matemàtiques)|anell]]s el que els espais vectorials als cossos. Exactament els mateixos axiomes, aplicats a un [[anell commutatiu]] ''R'' en comptes d'un cos ''K'' donen mòduls.<ref>{{Harvard citations|last = Artin|year = 1991|nb = yes|loc=cap. 12}}</ref> La teoria de mòduls, comparada amb la d'espais vectorials, es complica per la presència d'elements de l'anell que no tenen [[element invers de la multiplicació]]. Per exemple, els mòduls poden no tenir bases, com és el cas del '''Z'''-mòdul (és a dir el [[grup abelià]]) [[Aritmètica modular|'''Z'''/2'''Z''']]; els mòduls que en tenen (incloent-hi tots els espais vectorials) es coneixen com a [[mòdul lliure|mòduls lliures]]. La interpretació geomètrica dels anells commutatius mitjançant el seu [[espectre d'un anell|espectre]] permet el desenvolupament de conceptes com els [[mòdul localment lliures|mòduls localment lliures]], l'homòleg algebraic als fibrats vectorials.

=== Espais afí i projectiu ===
{{Principal|Espai afí|Espai projectiu}}
[[Fitxer:Affine subspace.svg|miniatura|Un [[pla afí]] (blau cel) en '''R'''<sup>3</sup>. És un subespai bidimensional desplaçat per un vector '''x''' (vermell).]] 
Parlant informalment, els espais afins són espais vectorials l'origen dels quals no està especificat.<ref>{{Harvard citations|last = Meyer|year = 2000|nb = yes|loc=Exemple 5.13.5, pàg. 436}}</ref> Més precisament, un espai afí és un conjunt amb una [[acció de grup|acció]] espacial vectorial [[acció de grup transitiva|transitiva lliure]]. En particular, un espai vectorial és un espai afí sobre si mateix, per l'aplicació
:''V'' &times; ''V'' → ''V'', ('''v''', '''a''') ↦ '''a''' + '''v'''.

Si ''W'' és un espai lineal, llavors un subespai afí és un subconjunt de ''W'' obtingut traslladant un subespai lineal ''V'' per un vector fix {{nowrap|'''x''' ∈ ''W''}}; aquest espai es nota '''x''' + ''V'' (és una [[classe lateral]] de ''V'' a ''W'') i consta de tots els vectors de la forma {{nowrap|'''x''' + '''v'''}} per a {{nowrap|'''v''' ∈ ''V''.}} Un exemple important és l'espai de solucions d'un sistema d'equacions lineals no homogènies
:''A'''''x''' = '''b'''
generalitzant el cas homogeni {{nowrap begin}}'''b''' = 0{{nowrap end}} [[#equation3|de més amunt]].<ref>{{Harvard citations|last = Meyer|year = 2000|nb = yes|loc=Exercici 5.13.15–17, pàg. 442}}</ref> L'espai de solucions és el subespai afí '''x''' + ''V'' on '''x''' és una solució particular de l'equació, i ''V'' és l'espai de solucions de l'equació homogènia (el nucli de ''A'').

El conjunt d'espais unidimensionals d'un espai vectorial de dimensió finita fixada ''V'' es coneix com ''l'espai projectiu''; es pot fer servir per a generalitzar la idea de [[paral·lelisme]] de rectes que s'intersequen en l'infinit.<ref>{{Harvard citations|last = Coxeter|year = 1987|nb = yes}}</ref> Les [[Grassmannianes]] i les [[Varietat de banderes generalitzada|varietats bandera]] generalitzen això parametritzant subespais lineals de dimensió fixada ''k'' i [[Bandera de subespais|banderes de subespais]], respectivament.

== Vegeu també ==
* [[vector (Matemàtiques)|Vector]]
* [[Vector (física)]]
* [[Covector]]
* [[Taula de símbols matemàtics]]
*[[Mòdul vectorial]]

== Notes ==
{{Referències|grup=nb|3}}

== Referències ==
{{referències}}

== Bibliografia ==
{{Commonscat}}

===Àlgebra lineal===

* {{Ref-llibre | cognom=Artin | nom=Michael | títol=Algebra | editorial= Prentice Hall | isbn=978-0-89871-510-1 | any=1991 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre | cognom=Blass | nom=Andreas | títol=Axiomatic set theory (Boulder, Colorado, 1983) | editorial= American Mathematical Society | lloc=Providence, R.I. | col·lecció=Contemporary Mathematics | any=1984 | volum=31 | capítol=Existence of bases implies the axiom of choice | pàgines=31–33 |llengua=anglès}}
* {{Ref-llibre | cognom=Brown | nom=William A. | títol=Matrices and vector spaces | editorial=M. Dekker | lloc=Nova York | isbn=978-0-8247-8419-5 | any=1991 |llengua=anglès}}
* {{Ref-llibre | cognom=Lang | nom=Serge | títol=Linear algebra | editorial= Springer-Verlag | lloc=Berlín, Nova York | isbn=978-0-387-96412-6 | any=1987 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre| cognom=Lang | nom=Serge| títol=Algebra | editorial= Springer-Verlag | lloc=Nova York |col·lecció= Graduate Texts in Mathematics | edició=Revised third| any=2002 | isbn=978-0-387-95385-4| volum=211 |llengua=anglès}}
* {{Ref-llibre | cognom=Meyer | nom=Carl D. | títol=Matrix Analysis and Applied Linear Algebra | url=http://www.matrixanalysis.com/ matrixanalysis.com | editorial= Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM) | isbn=978-0-89871-454-8 | any=2000 |llengua=anglès}}
* {{Ref-llibre | cognom=Roman | nom=Steven | títol=Advanced Linear Algebra | editorial= Springer-Verlag | lloc=Berlín, Nova York | edició=2a ed.| col·lecció=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-24766-3 | any=2005 | volum=135 |llengua=anglès}}
* {{Ref-llibre | cognom=van der Waerden | nom=Bartel Leendert | títol=Algebra | editorial= Springer-Verlag | lloc=Berlín, Nova York | edició=9a ed.| isbn=978-3-540-56799-8 | any=1993|llengua=alemany}}

===Anàlisi===
* {{Ref-llibre | cognom=Bourbaki | nom=Nicolas | títol=Topological vector spaces | editorial=Springer-Verlag | lloc=Berlín, Nova York | col·lecció=Elements of mathematics | isbn=978-3-540-13627-9 | any=1987 |llengua=anglès}}
* {{Ref-llibre | cognom=Bourbaki | nom=Nicolas | títol=Integration I | editorial= Springer-Verlag | lloc=Berlín, Nova York | isbn=978-3-540-41129-1 | any=2004 |llengua=anglès}}
* {{Ref-llibre | cognom=Braun | nom=Martin | títol=Differential equations and their applications: an introduction to applied mathematics | editorial=Springer-Verlag | lloc=Berlín, Nova York | isbn=978-0-387-97894-9 | any=1993 |llengua=anglès}}
* {{Ref-llibre | cognom=Choquet | nom=Gustave | títol=Topology | editorial= Academic Press | lloc=Boston, MA | any=1966 |llengua=anglès}}
* {{Ref-llibre | cognom=Dennery | nom=Philippe | cognom2=Krzywicki | nom2=Andre | títol=Mathematics for Physicists | editorial=Courier Dover Publications | isbn=978-0-486-69193-0 | any=1996 |llengua=anglès}}
* {{Ref-llibre | cognom=Dudley | nom=Richard M. | títol=Real analysis and probability | editorial=Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software | lloc=Pacific Grove, CA | col·lecció=The Wadsworth &amp; Brooks/Cole Mathematics Series | isbn=978-0-534-10050-6 | any=1989 |llengua=anglès}}
* {{Ref-llibre | cognom=Dunham | nom=William | títol=The Calculus Gallery | editorial= Princeton University Press | isbn=978-0-691-09565-3 | any=2005 |llengua=anglès}}
* {{Ref-llibre | cognom=Evans | nom=Lawrence C. | títol=Partial differential equations | editorial=American Mathematical Society | lloc=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-0772-9 | any=1998 |llengua=anglès}}
* {{Ref-llibre | cognom=Folland | nom=Gerald B. | títol=Fourier Analysis and Its Applications | editorial=Brooks-Cole | isbn=978-0-534-17094-3 | any=1992 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre | cognom= Gasquet | nom= Claude | cognom2 = Witomski | nom2 = Patrick | any = 1999 | títol = Fourier Analysis and Applications: Filtering, Numerical Computation, Wavelets | col·lecció = Texts in Applied Mathematics | lloc = Nova York | editorial = Springer-Verlag | isbn = 0-387-98485-2 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre | cognom= Ifeachor | nom= Emmanuel C. | cognom2 = Jervis | nom2 = Barrie W. | any = 2002 | títol = Digital Signal Processing: A Practical Approach | edició =2a ed.| lloc = Harlow, Essex, England | editorial = Prentice-Hall | isbn = 0-201-59619-9 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre | cognom= Krantz | nom= Steven G. | any = 1999 | títol = A Panorama of Harmonic Analysis | col·lecció = Carus Mathematical Monographs | lloc = Washington, DC | editorial = Mathematical Association of America | isbn = 0-88385-031-1 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre | cognom= Kreyszig | nom= Erwin | any = 1988 | títol = Advanced Engineering Mathematics | edició =6a ed.| lloc = Nova York | editorial = John Wiley & Sons | isbn = 0-471-85824-2 |llengua=anglès}}
*{{ref-llibre| cognom=Kreyszig | nom=Erwin | títol=Introductory functional analysis with applications | editorial= John Wiley & Sons | lloc=Nova York | col·lecció=Wiley Classics Library | isbn=978-0-471-50459-7 | any=1989 |llengua=anglès}}
* {{Ref-llibre | cognom=Lang | nom=Serge | títol=Real analysis | editorial= Addison-Wesley | isbn=978-0-201-14179-5 | any=1983 |llengua=anglès}}
* {{Ref-llibre | cognom=Lang | nom=Serge | títol=Real and functional analysis | editorial=Springer-Verlag | lloc=Berlín, Nova York | isbn=978-0-387-94001-4 | any=1993 |llengua=anglès}}
* {{ref-llibre | cognom=Loomis | nom=Lynn H. | títol=An introduction to abstract harmonic analysis | editorial=D. Van Nostrand Company, Inc. | lloc=Toronto-Nova York-Londres | any=1953 | pàgines=p. x+190 |llengua=anglès}}
* {{Ref-llibre | cognom=Schaefer | nom=Helmut H. | cognom2=Wolff | nom2=M.P. | títol=Topological vector spaces | editorial=Springer-Verlag | lloc=Berlín, Nova York | edició=2a ed.| isbn=978-0-387-98726-2 | any=1999 |llengua=anglès}}
* {{Ref-llibre | cognom=Treves | nom=François | títol=Topological vector spaces, distributions and kernels | editorial=Academic Press | lloc=Boston, MA | any=1967 |llengua=anglès}}

=== Referències històriques ===
* {{ref-publicació| cognom=Banach | nom=Stefan | títol=Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (On operations in abstract sets and their application to integral equations) | url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3120.pdf matwbn.icm.edu | any=1922 | publicació=Fundamenta Mathematicae | issn=0016-2736 | volum=3|llengua=francès}} 
* {{Ref-llibre | cognom=Bolzano | nom=Bernard | títol=Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Considerations of some aspects of elementary geometry) | url=http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/400338 | any=1804|llengua=alemany}} 
* {{Ref-llibre | cognom=Bourbaki | nom=Nicolas | títol=Éléments d'histoire des mathématiques (Elements of history of mathematics) | editorial=Hermann | lloc=Paris | any=1969|llengua=francès}} 
* {{ref-publicació| cognom=Dorier | nom=Jean-Luc | títol=A general outline of the genesis of vector space theory | url=http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6WG9-45NJHDR-C&_user=1634520&_coverDate=12%2F31%2F1995&_rdoc=2&_fmt=high&_orig=browse&_srch=doc-info(%23toc%236817%231995%23999779996%23308480%23FLP%23display%23volum)&_cdi=6817&_sort=d&_docanchor=&_ct=9&_acct=C000054038&_version=1&_urlVersion=0&_userid=1634520&md5=fd995fe2dd19abde0c081f1e989af006  | any=1995 | publicació=Historia Mathematica | issn=0315-0860 | volum=22 | exemplar=3 | pàgines=227–261 |llengua=anglès}}
* {{Ref-llibre | cognom=Fourier | nom=Jean Baptiste Joseph | títol=Théorie analytique de la chaleur | url=http://books.google.cat/books?id=TDQJAAAAIAAJ | editorial=Chez Firmin Didot, père et fils | any=1822|llengua=francès}} 
* {{Ref-llibre | cognom=Grassmann | nom=Hermann | títol=Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik | url=http://books.google.cat/books?id=bKgAAAAAMAAJ&pg=PA1&dq=Die+Lineale+Ausdehnungslehre+ein+neuer+Zweig+der+Mathematik  | any=1844}}, reprint: {{Ref-llibre | cognom=Kannenberg | nom=L.C. | títol=Extension Theory | editorial=American Mathematical Society | lloc=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-2031-5 | any=2000|llengua=alemany}} 
* {{Ref-llibre | cognom=Hamilton | nom=William Rowan | títol=Lectures on Quaternions | url=http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=05230001&seq=9 | editorial=Royal Irish Academy | any=1853 |llengua=anglès}}
* {{Ref-llibre | cognom=Möbius | nom=August Ferdinand | títol=Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentric calculus: a new utility for an analytic treatment of geometry) | url=http://mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_MOBIUS__1_1_0 | any=1827|llengua=alemany}} 
* {{ref-publicació| cognom=Moore | nom=Gregory H. | títol=The axiomatization of linear algebra: 1875-1940 | url=http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6WG9-45NJHDR-D&_user=1634520&_coverDate=12%2F31%2F1995&_rdoc=3&_fmt=high&_orig=browse&_srch=doc-info(%23toc%236817%231995%23999779996%23308480%23FLP%23display%23volum)&_cdi=6817&_sort=d&_docanchor=&_ct=9&_acct=C000054038&_version=1&_urlVersion=0&_userid=1634520&md5=4327258ef37b4c293b560238058e21ad  | any=1995 | publicació= Historia Mathematica | issn=0315-0860 | volum=22 | exemplar=3 | pàgines=262–303 |llengua=anglès}}
* {{Ref-llibre | cognom=Peano | nom=Giuseppe | títol=Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva | any=1888 | lloc=Turin|llengua=italià}}

=== Més referències ===
* {{Ref-llibre | cognom=Ashcroft | nom=Neil | cognom2=Mermin | nom2=N. David | títol=Solid State Physics | editorial=Thomson Learning | lloc=Toronto | isbn=978-0-03-083993-1 | any=1976}}
* {{ref-llibre| cognom=Atiyah | nom=Michael Francis | títol=K-theory | editorial=Addison-Wesley | edició=2a ed.| col·lecció=Advanced Book Classics | isbn=978-0-201-09394-0 |  any=1989}}
* {{Ref-llibre | cognom=Bourbaki | nom=Nicolas | títol=General Topology. Chapters 1-4 | editorial=Springer-Verlag | lloc=Berlín, Nova York | isbn=978-3-540-64241-1 | any=1989}}
* {{Ref-llibre | cognom=Coxeter | nom=Harold Scott MacDonald | títol=Projective Geometry | editorial=Springer-Verlag | lloc=Berlín, Nova York | edició=2a ed.| isbn=978-0-387-96532-1 | any=1987}}
* {{ref-publicació| cognom=Eisenberg | nom=Murray | cognom2=Guy | nom2=Robert | títol=A proof of the hairy ball theorem | url=http://www.jstor.org/stable/2320587 | any=1979 | publicació=American Mathematical Monthly|The American Mathematical Monthly | issn=0002-9890 | volum=86 | exemplar=7 | pàgines=572–574}}
* {{ref-llibre| cognom=Eisenbud | nom=David | títol=Commutative algebra | editorial=Springer-Verlag | lloc=Berlín, Nova York | col·lecció=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-94268-1; 978-0-387-94269-8 |  any=1995 | volum=150}}
* {{Ref-llibre | cognom=Goldrei | nom=Derek | títol=Classic Set Theory: A guided independent study | editorial=Chapman and Hall | lloc=Londres | edició=1a ed.| isbn=0-412-60610-0 | any=1996}}
* {{Ref-llibre | cognom=Griffiths | nom=David J. |títol=Introduction to Quantum Mechanics | any=1995 |editorial=Prentice Hall |lloc=Upper Saddle River, NJ |isbn=0-13-124405-1}}
* {{Ref-llibre | cognom=Halmos | nom=Paul R. | títol=Finite-dimensional vector spaces | editorial=Springer-Verlag | lloc=Berlín, Nova York | isbn=978-0-387-90093-3 | any=1974}}
* {{ref-publicació| cognom=Halpern | nom=James D. | títol=Bases in Vector Spaces and the Axiom of Choice | url=http://www.jstor.org/pss/2035388 | any=1966 | data=juny  | publicació=Proceedings of the American Mathematical Society | issn=0002-9939 | volum=17 | exemplar=3 | pàgines=670–673}}
* {{Ref-llibre | cognom=Husemoller | nom=Dale | títol=Fibre Bundles | editorial=Springer-Verlag | lloc=Berlín, Nova York | edició=3a ed.| isbn=978-0-387-94087-8 | any=1994}}
* {{Ref-llibre | cognom=Jost | nom=Jürgen | títol=Riemannian Geometry and Geometric Analysis | editorial=Springer-Verlag | lloc=Berlín, Nova York | edició=4a ed.| isbn=978-3-540-25907-7 | any=2005}}
* {{ref-llibre | cognom=Kreyszig | nom=Erwin | títol=Differential geometry | editorial=Dover Publications | lloc=Nova York | isbn=978-0-486-66721-8 | any=1991 | pàgines=p. xiv+352}}
* {{ref-llibre |cognom=Kreyszig |nom=Erwin |títol=Advanced Engineering Mathematics |edició=8a ed.|any=1999 |editorial=John Wiley & Sons | lloc=Nova York |isbn=0-471-15496-2}}
* {{Ref-llibre | cognom=Luenberger | nom=David | títol=Optimization by vector space methods | editorial=John Wiley & Sons | lloc=Nova York | isbn=978-0-471-18117-0 | any=1997}}
* {{Ref-llibre | cognom=Mac Lane | nom=Saunders | títol=Categories for the Working Mathematician | editorial=Springer-Verlag | lloc=Berlín, Nova York | edició=2a ed.| isbn=978-0-387-98403-2 | any=1998}}
* {{Ref-llibre | cognom=Misner | nom=Charles W. | cognom2=Thorne | nom2=Kip | cognom3=Wheeler | nom3=John Archibald | títol= Gravitation | editorial=W. H. Freeman | isbn=978-0-7167-0344-0 | any=1973}}
* {{ref-llibre| cognom=Naber | nom=Gregory L. | títol=The geometry of Minkowski spacetime | editorial=Dover Publications | lloc=Nova York | isbn=978-0-486-43235-9 |any=2003}}
* {{ref-publicació| cognom=Schönhage | nom=A. | cognom2=Strassen | nom2=Volker | títol=Schnelle Multiplikation großer Zahlen (Fast multiplication of big numbers) | url=http://www.springerlink.com/content/y251407745475773/fulltext.pdf | any=1971 | publicació=Computing | issn=0010-485X | volum=7 | pàgines=281–292|llengua= alemany}}  
* {{Ref-llibre | cognom=Spivak | nom=Michael | títol=A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (volum II) | editorial=Publish or Perish | lloc=Houston, TX | any=1999}}
* {{Ref-llibre | cognom=Stewart | nom=Ian | títol=Galois Theory | any=1975 | editorial=Chapman and Hall | isbn=0-412-10800-3 | lloc=Londres | col·lecció=Chapman and Hall Mathematics Series}}
* {{Ref-llibre| cognom=Varadarajan | nom= V. S. | títol= Lie groups, Lie algebras, and their representations | editorial=Prentice Hall | isbn=978-0-13-535732-3 | any=1974}}
* {{ref-publicació| cognom=Wallace | nom=G.K. | títol=The JPEG still picture compression standard | data=Feb 1992 | publicació=IEEE Transactions on Consumer Electronics | issn=0098-3063 | volum=38 | exemplar=1 | pàgines =xviii–xxxiv}}
* {{ref-llibre| cognom=Weibel| nom=Charles A.| títol=An introduction to homological algebra| editorial=Cambridge University Press| isbn=978-0-521-55987-4| any=1994| col·lecció=Cambridge Studies in Advanced Mathematics| volum=38| oclc=36131259}}

{{Article de qualitat}} 

{{ORDENA:Espai Vectorial}}
{{autoritat}}
[[Categoria:Espais vectorials| ]]
[[Categoria:Traduccions que són articles de qualitat]]
[[Categoria:Articles de qualitat de matemàtiques]]