Mostra la font per a Fórmula de Stirling

[[Fitxer:Mplwp factorial gamma stirling.svg|miniatura|upright=1.5|<center>Comparació de l'aproximació de Stirling amb el [[factorial]]</center>]]
En matemàtiques, l''''aproximació de Stirling''' (o '''fórmula de Stirling''') és una aproximació pels [[Factorial|factorials]], que dóna un equivalent del factorial d'un [[Nombre enter|enter]] [[Nombre natural|natural]] ''n'' quan ''n'' tendeix a l'[[infinit]]: <center><math>\lim_{n \to +\infty} {n\,!\over \sqrt{2 \pi n} \; \left({n}/{\rm e}\right)^{n} } = 1</math></center>
que també s'escriu sovint així:
<center><math>n\,!\sim \sqrt{2\pi n}\,\left({n \over {\rm e}}\right)^n</math></center>
per tant, el [[nombre e]] és la base de l'[[Funció exponencial|exponencial]].

És una aproximació de bona qualitat, donant lloc a resultats precisos fins i tot per a valors petits de ''n''. Porta el nom de [[James Stirling]], tot i que es va afirmar per primera vegada per [[Abraham de Moivre]].{{sfn|Dutka|1991|p=225-249}}{{sfn|Le Cam|1986|p=78-96}}{{sfn|Pearson|1924|p=402-404}}

La fórmula que es fa servir normalment en aplicacions és
:<math>\ln n! = n\ln n - n +O(\ln n)</math>, o 
:<math>\ln n! \approx n\ln n - n</math> 
o, per exemple, en el pitjor dels casos del límit inferior per [[ordenació per comparació]] (pel canvi de la base del [[logaritme]]),
:<math>\log_2 n! = n\log_2 n - (\log_2 e)n +O(\log_2 n)</math>
(en [[Cota superior asimptòtica|notació O Gran]]). El següent terme en {{math|''O''(ln ''n'')}}  és  {{math|{{sfrac|1|2}}ln(2π''n'')}}; per tant, una variant més precisa de la fórmula és

:<math>n! \sim \sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n,</math>

on el signe ~ vol dir que les dues quantitats són [[Anàlisi asimptòtic|asimptòtiques]], és a dir, la seva relació tendeix a 1 quan ''n'' tendeix a infinit. 

També és possible donar una versió de la fórmula de Stirling amb els límits vàlids per a tots els enters positius ''n'', en lloc de l'asimptòtica, que és 

:<math>\sqrt{2\pi}\ n^{n+\frac12}e^{-n} \le n! \le e\ n^{n+\frac12}e^{-n}</math>

per a tots els nombres enters positius {{math|''n''}}.  Així, la relació de <math>\frac{n!}{n^{n+\frac12}e^{-n}}</math> és sempre entre <math>\sqrt{2\pi}=2.5066\ldots</math> i <math>e=2.71828\ldots</math>.

== Història ==
La fórmula va ser descoberta per primera vegada per [[Abraham de Moivre]] {{sfn|Le Cam|1935|p=78-96}} en la forma

:<math>n! \sim {\rm C} \cdot n^{n+\frac12} e^{-n}</math>
on C és una constant [[Nombre real|real]] (diferent de zero).

De Moivre va donar una expressió per a la constant en termes del seu [[logaritme natural]]. La contribució de Stirling consisteix en mostrar que la constant és <math>\sqrt{2 \pi n}</math> i proporcionar un [[desenvolupament limitat]] de <math>\ln n!</math>.{{sfn|Pearson|1924|p=402-404}}

== Demostració ==
La determinació de la constant no és immediata, però és fàcil de mostrar el resultat de De Moivre. La demostració clàssica de la fórmula asimptòtica es dóna en l'article sobre les [[integrals de Wallis]].

* Posant<center><math>u_n=\frac{n^{n+\frac12}\, \mathrm{e}^{-n}}{n\,!},</math>
:és suficient per mostrar que la seqüència de {{math|(''u{{sub|n}}'')}} convergeix, i que el seu límit no és zero. O {{math|(''u{{sub|n}}'')}}, estant en termes estrictament positius per {{math|''n ≥ 1''}}, es pot definir: 
<center><math>v_n= \ln \left( \frac{u_{n+1}}{u_n} \right) = \ln \left( \frac{(n+1)^{n+\frac12}\, \mathrm{e}^{-1}}{n^{n+\frac12}} \right) = \left( n+\frac{1}{2} \right) \ln \left(1+\frac{1}{n} \right) -1,</math></center>
:de manera que en utilitzar el desenvolupament limitat de {{math|''ln (1 + x'')}} en 0 a l'ordre 3, s'obté:<center><math>v_n = \left(n+ \frac{1}{2}\right)\left[\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n^3}+o\left(\frac1{n^3}\right) \right] -1 = 1-\frac{1}{2n}+ \frac{1}{3n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)+\frac{1}{2n}-\frac{1}{4n^2}+o\left(\frac1{n^2}\right)-1= \frac{1}{12n^2}+o\left(\frac1{n^2}\right).</math></center>on es dedueix que la [[Sèrie (matemàtiques)|sèrie]] {{math|∑''v{{sub|n}}''}} [[Sèrie convergent|convergeix]], per tant, escrivint ''{{math|v{{sub|n}}}}'' en forma de [[sèrie telescòpica]]: ''{{math|v{{sub|n}}}}'' = {{math|ln(''u''{{sub|''n ''+ 1}}) – ln(''u{{sub|n}}'')}}, ens trobem que el següent {{math|ln(''u{{sub|n}}'')}} convergeix a un límit que observem L, de manera que el resultat {{math|(''u{{sub|n}}'')}} també, i cap al límit diferent de zero, exp(L), que volíem demostrar.
* Per introduir el factor de Moivre, una altra manera de presentar és la següent: la [[fórmula d'Euler-Maclaurin]] aplicada a la funció [[Logaritme natural|ln]] entre 1 i {{math|''n''}}<center><math>\ln(n!) = \sum_{k=1}^n \ln k = \int_{1}^n \ln (x) \mathrm{d}x + \frac12 (\ln 1 + \ln n) + O(1) = n\ln(n) - n+\frac 12 \ln(n)+O(1).</math></center>on llavors prenem l'exponencial i això dóna la idea del càlcul anterior. 
* Fins i tot es pot introduir el factor <math>\sqrt{2 \pi}</math>  pel [[mètode del descens ràpid]]. Aquest mètode és bastant potent i aplicant-la s'entén l'aparició de <math>\sqrt{2 \pi}</math>   i es pot trobar immediatament el resultat de Stirling.

== Expansió asimptòtica ==
Assumint el coeficient <math>C = \sqrt{2 \pi}</math> ja conegut, la fórmula d'Euler-Maclaurin dóna l'[[expansió asimptòtica]] de ''ln (n!)'' prop d'infinit per l'ordre {{math|''K'' ≥ 1}} :
<center><math>\ln(n\,!) = n\ln(n) - n + \frac{1}{2}\ln(2 \pi n) + \sum_{k=1}^K\frac{(-1)^{k+1} B_{k+1}}{k (k+1) n^{k}} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^{K+1}}\right) \ ,</math></center>
on B<sub>i</sub> són els [[nombres de Bernoulli]]. Recordeu que la suma anterior no tendeixen a un límit finit quan ''K'' tendeix a infinit.

Sabent que, a banda de B<sub>1</sub> (que no està involucrat en la fórmula), tots els nombres de Bernoulli de rang imparell són iguals a zero, podem reescriure l'expansió (en ordre 2K):
<center><math>\ln(n\,!) = n\ln(n) - n + \frac{1}{2}\ln(2 \pi n) + \sum_{k=1}^K\frac{B_{2k}}{2k (2k-1) n^{2k-1}} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^{2K+1}}\right) \ .</math></center>

Es defineix la funció {{math|''μ''}} de [[Jacques Philippe Marie Binet|Binet]]  per fer tendir formalment ''K'' fins a l'infinit:
<center><math>\mu(n) \triangleq \ln(n\,!) - n\ln(n) + n - \frac{1}{2}\ln(2 \pi n) </math></center>
i això dona
<center><math>n\,! = \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{\operatorname{e}}\right)^n \operatorname{e}^{\mu(n)} \ .</math></center>

Mitjançant el càlcul dels primers termes de e''<sup>μ(n)</sup>'' través de la [[fórmula exponencial]] (que involucra als [[polinomis de Bell]]), tenim el desenvolupament asimptòtic de ''n!'' a prop de l'infinit:
<center><math>n\,! = \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{\operatorname{e}}\right)^n \left[1 + \frac{1}{12 n} + \frac{1}{288 n^2} - \frac{139}{51840 n^3} - \frac{571}{2488320 n^4} + \frac {163879}{209018880 n^5} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^6}\right) \right] \ ,</math></center>
És també l'expansió asimptòtica de la funció gamma.

== Versió contínua ==
La fórmula anterior és una conseqüència, per al cas particular d'un argument sencer, la fórmula asimptòtica de Stirling per a la [[Funció gamma|funció Γ d'Euler]] :
<center><math>\Gamma(z) \sim z^{z - \frac{1}{2}}{\rm e}^{-z} \sqrt{2\pi}, \quad |\arg(z)| < \pi.</math></center>

== Derivació ==
La fórmula, juntament amb les estimacions precises del seu error, es pot derivar de la següent manera. En lloc d'aproximar a [[Factorial|n!]], es té en compte el seu logaritme natural, que és una [[Funció de variació lenta|funció que varia lentament]]:

:<math>\ln n! = \ln 1 + \ln 2 + \cdots + \ln n.</math>

El costat dret d'aquesta equació menys

:<math>\tfrac{1}{2}(\ln 1 + \ln n) = \tfrac{1}{2}\ln n,</math>

és l'aproximació pel [[mètode trapezial]] de la [[Integració|integral]]

:<math>\ln n! - \tfrac{1}{2}\ln n \approx \int_1^n \ln x\,{\rm d}x = n \ln n - n + 1,</math>

i l'error en aquesta aproximació està donada per la fórmula d'Euler-Maclaurin:

:<math>\begin{align}
\ln n! - \tfrac{1}{2}\ln n & = \tfrac{1}{2}\ln 1 + \ln 2 + \ln 3 + \cdots + \ln(n-1) + \tfrac{1}{2}\ln n\\
& = n \ln n - n + 1 + \sum_{k=2}^{m} \frac{(-1)^k B_k}{k(k-1)} \left( \frac{1}{n^{k-1}} - 1 \right) + R_{m,n},
\end{align}</math>

on {{math|''B''<sub>''k''</sub>}}  és un nombre de Bernoulli i {{math|''R''<sub>''m'',''n''</sub>}}  és el terme del  residu en la fórmula d'Euler-Maclaurin. S'utilitzen [[Límit|límits]] per trobar que

:<math>\lim_{n \to \infty} \left( \ln n! - n \ln n + n - \tfrac{1}{2}\ln n \right) = 1 - \sum_{k=2}^{m} \frac{(-1)^k B_k}{k(k-1)} + \lim_{n \to \infty} R_{m,n}.</math>

Denotar aquest límit com ''y''. A causa de que el residu {{math|''R''<sub>''m'',''n''</sub>}}  en la fórmula Euler-Maclaurin satisfà

:<math>R_{m,n} = \lim_{n \to \infty} R_{m,n} + O \left( \frac{1}{n^m} \right),</math>

on utilitzem la notació O Gran, combinant les equacions anteriors s'obté la fórmula d'aproximació en la seva forma logarítmica:

:<math>\ln n! = n \ln \left( \frac{n}{e} \right) + \tfrac{1}{2}\ln n + y + \sum_{k=2}^{m} \frac{(-1)^k B_k}{k(k-1)n^{k-1}} + O \left( \frac{1}{n^m} \right).</math>

Prenent l'[[Potenciació|exponencial]] de tots dos costats, i triant qualsevol nombre enter positiu ''m'', obtenim una fórmula que involucra una quantitat desconeguda {{math|''e''<sup>''y''</sup>}}. Per a m=1, la fórmula és

:<math>n! = e^{y} \sqrt{n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \left( 1 + O \left( \frac{1}{n} \right) \right).</math>

La quantitat {{math|''e''<sup>''y''</sup>}} es pot trobar prenent el límit en ambdós costats quan ''n'' tendeix a infinit i usant el [[producte de Wallis]], el que demostra que {{math|''e''<sup>''y''</sup>}} = <math>\sqrt{2 \pi}</math>. Per tant, obtenim la fórmula de Stirling:

:<math>n! = \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \left( 1 + O \left( \frac{1}{n} \right) \right).</math>

La fórmula també pot obtenir-se per repetides [[Integració per parts|integracions per parts]], i el terme principal es pot trobar a través del [[mètode de Laplace]].

La fórmula de Stirling, sense el factor <math>\sqrt{2 \pi n}</math>, que sovint és irrellevant en les aplicacions, es pot obtenir de forma ràpida mitjançant l'aproximació de la suma

:<math>\ln n! = \sum_{j=1}^n \ln j</math>

amb una integral:

:<math>\sum_{j=1}^n \ln j \approx \int_1^n \ln x \,{\rm d}x = n\ln n - n + 1.</math>

==  Una derivació alternativa ==
Una fórmula alternativa per {{math|''n''!}} usant la [[funció gamma]] es
:<math> n! = \int_0^\infty x^n e^{-x}\,{\rm d}x.</math>
(apareix per repetides integracions per parts). Reescrivint i canviant les variables {{math|''x'' {{=}} ''ny''}} s'obté
:<math> n! = \int_0^\infty e^{n\ln x-x}\,{\rm d}x = e^{n \ln n} n \int_0^\infty e^{n(\ln y -y)}\,{\rm d}y.</math>
Aplicant el mètode de Laplace tenim:
:<math>\int_0^\infty e^{n(\ln y -y)}\,{\rm d}y \sim  \sqrt{\frac{2\pi}{n}} e^{-n}</math>
que recupera la fórmula de la Stirling,
:<math> n! \sim   e^{n \ln n} n \sqrt{\frac{2\pi}{n}} e^{-n}
= \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.
</math>
Fent correccions addicionals també es poden obtenir utilitzant el mètode de Laplace. Per exemple, la comparació d'expansió de segon ordre usant el mètode de Laplace
:<math>\int_0^\infty e^{n(\ln y-y)}\,{\rm d}y \sim  \sqrt{\frac{2\pi}{n}} e^{-n}
\left(1+\frac{1}{12 n}\right)</math>
i dóna la fórmula de Stirling de dos ordres,
:<math> n! \sim   e^{n \ln n} n \sqrt{\frac{2\pi}{n}} e^{-n}\left(1+\frac{1}{12 n}\right)
= \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1+ \frac{1}{12 n}\right).
</math>

==  Velocitat de convergència i estimacions d'error ==
[[Fitxer:Stirling series relative error.svg|miniatura|(gràfic 1)<br />Error relatiu en una sèrie de Striling truncada respecte {{math|''n''}}, per 0 a 5 termes. Les torçades en les corbes representen els punts on la sèrie truncada coincideix amb {{math|&Gamma;(''n'' + 1)}}]]
La fórmula de Stirling és de fet la primera aproximació a la següent sèrie (que s'anomena '''sèrie de Stirling'''):

:<math>
n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 +\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2} - \frac{139}{51840n^3} -\frac{571}{2488320n^4}+ \cdots \right).</math>

Una fórmula explícita per als coeficients d'aquesta sèrie va ser donada per G. Nemes.{{sfn|Nemes|2010|p=5|ref=Nemes1}} El primer gràfic en aquesta secció <small>(gràfic 1)</small> es mostra l'[[error relatiu]] respecte ''n'', per 1 a 5 termes esmentats anteriorment.

[[Fitxer:Stirling error vs number of terms.svg|miniatura|(gràfic 2)<br />Error relatiu en una sèrie de Stirling truncada respecte el nombre de termes utilitzats]]
Com n → ∞, l'error en la sèrie truncada és asimptòticament igual al primer terme omès. Aquest és un exemple d'una [[expansió asimptòtica]]. No és una [[sèrie convergent]]; per a qualsevol valor particular de ''n'' només hi ha molts termes de la sèrie que milloren la precisió, després de la qual cosa la exactitud en realitat empitjora. Això es mostra en el gràfic que mostra l'error relatiu <small>(gràfic 2)</small>, enfront del nombre de termes de la sèrie, per a un major nombre de termes. De manera més precisa, sigui ''S(n, t)'' la sèrie de Stirling en ''t'' avaluats en ''n'' termes. 

Els gràfics mostren 
:<math>\left | \ln \left (\frac{S(n, t)}{n!} \right) \right |, </math>
que, en ser petita, és essencialment l'error relatiu.

Escrivint sèrie de Stirling en la forma

:<math>\ln n! \sim n\ln n - n + \tfrac12\ln(2\pi n) +\frac{1}{12n} - \frac{1}{360n^3} + \frac{1}{1260n^5} - \frac{1}{1680n^7} + \cdots,</math>

se sap que l'error en el truncament de la sèrie és sempre del mateix signe i com a màxim la mateixa magnitud que el primer terme omès.

Límits més precisos, a causa de Robbins,{{sfn|Robbins|1995|p=26-29}} vàlid per a tots els enters positius ''n'' són

:<math>\sqrt{2\pi}\ n^{n+\frac12}e^{-n} e^{\frac{1}{12n + 1}} < n! < \sqrt{2\pi}\ n^{n+\frac12}e^{-n} e^{\frac{1}{12n}} </math>.

== La fórmula de Stirling per a la funció gamma ==
Per a tots els enters positius,

:<math>n! = \Gamma(n+1),</math>

on Γ denota la [[funció gamma]].

No obstant això, la funció gamma, a diferència del factorial, es defineix de manera més àmplia per a tots els [[Nombre complex|nombres complexos]] diferents dels nombres enters no positius; però, la fórmula de Stirling encara es pot aplicar. Si Re (z)> 0 llavors

:<math>\ln\Gamma (z) = z\ln z - z + \tfrac12\ln\frac{2\pi}{z} + \int_0^\infty\frac{2\arctan(\frac{t}{z})}{e^{2\pi t}-1}\,{\rm d}t.</math>

repetint la integració per parts dóna

:<math>\ln\Gamma(z) \sim z\ln z - z + \tfrac12\ln\frac{2\pi}{z} + \sum_{n=1}^\infty\frac{B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}</math>

que {{math|''B<sub>n</sub>''}} és l'enèsim [[Nombres de Bernoulli|nombre de Bernoulli]] (s'ha de tenir en compte que la suma infinita no és [[Convergència (successió matemàtica)|convergent]], pel que aquesta fórmula és simplement una expansió asimptòtica). La fórmula és vàlida per {{math|''z''}} prou gran en valor absolut quan | arg(''z'') | < π −&nbsp;''ε'', on {{math|''ε''}} és positiu, amb un terme d'error de {{math|''O''(''z''<sup>−2''m'' − 1</sup>)}} quan s'utilitzen els primers {{math|''m''}} termes. L'aproximació corresponent es pot escriure:

:<math>\Gamma(z) = \sqrt{\frac{2\pi}{z}}\,{\left(\frac{z}{e}\right)}^z \left(1 + O\left(\frac{1}{z}\right)\right).</math>

Una altra aplicació d'aquesta expansió asimptòtica és per l'argument complex {{math|''z''}} amb {{math|Re(''z'')}} constant. Vegeu, per exemple, la fórmula de Stirling aplicada a {{math|Im(''z'') {{=}} ''t''}} de la [[funció zeta de Riemann-Siegel]] en la línia recta {{math|{{sfrac|1|4}} + ''it''}}

==  Límits d'error ==
Per a qualsevol enter positiu N, introduïm la següent notació:

<math>\ln\Gamma(z) = z\ln z - z + \tfrac12\ln\frac{2\pi}{z} + \sum\limits_{n=1}^{N-1}{\frac{{B_{2n}}}{{2n\left({2n - 1}\right)z^{2n - 1} }}} + R_N(z)</math>

i

<math>\Gamma(z) = \sqrt{\frac{{2\pi}}{z}} \left({\frac{z}{e}}\right)^z  \left({\sum\limits_{n=0}^{N-1}{\frac{{a_n}}{{z^n}}} + \widetilde{R}_N(z)}\right).</math>

Llavors <ref>F. W. Schäfke, A. Sattler, Restgliedabschätzungen für die Stirlingsche Reihe, ''Note. Mat.'' '''10''' (1990), 453–470.</ref>

<math>
|R_N(z)| \le
  \frac{{|B_{2N}|}}{{2N(2N-1)|z|^{2N-1}}}
  \begin{cases}
    1                                      & \text{ if } |\arg z| \leq \frac{\pi}{4}, \\
    |\csc(\arg z)|                         & \text{ if } \frac{\pi}{4}<|\arg z| < \frac{\pi}{2}, \\
    \sec^{2N}\left(\frac{\arg z}{2}\right) & \text{ if } |\arg z| < \pi,
  \end{cases}
</math>

i <ref>G. Nemes, Error bounds and exponential improvements for the asymptotic expansions of the gamma function and its reciprocal, ''Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A'' '''145''' (2015), 571–596.</ref>

<math>
  |\widetilde{R}_N(z)| \le
    \left(\frac{|a_N|}{|z|^N} + \frac{|a_{N+1}|}{|z|^{N+1}}\right)
    \begin{cases}
      1              & \text{ if } |\arg z| \leq \frac{\pi}{4}, \\
      |\csc(\arg z)| & \text{ if } \frac{\pi}{4} < |\arg z| < \frac{\pi}{2}.
    \end{cases}
</math>

Per a més informació i altres límits d'error, vegeu els documents citats.

== Una versió convergent de la fórmula de Stirling ==
[[Thomas Bayes]] va mostrar, en una carta a [[John Canton]] publicada per la [[Royal Society]] en [[1763]], que la fórmula de Stirling no donava una [[sèrie convergent]].<ref>http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/letter.pdf</ref> L'obtenció d'una versió convergent de la fórmula de Stirling implica l'avaluació de la [[fórmula de Raabe]]:

:<math>\int_0^\infty \frac{2\arctan(\frac{t}{x})}{e^{2\pi t}-1}\,{\rm d}t = \ln\Gamma(x) - x\ln x + x - \tfrac12\ln\frac{2\pi}{x}.</math>

Una manera de fer-ho és per mitjà d'una sèrie convergent d'[[Símbol de Pochhammer|exponencials creixents]] invertits. Si

:<math>z^{\bar n} = z(z+1) \cdots (z+n-1)</math>

llavors

:<math>\int_0^\infty \frac{2\arctan(\frac{t}{x})}{e^{2\pi t}-1}\,{\rm d}t = \sum_{n=1}^\infty \frac{c_n}{(x+1)^{\bar n}}</math>

on

:<math> c_n = \frac{1}{n} \int_0^1 x^{\bar n} \left(x - \tfrac{1}{2}\right)\,{\rm d}x = \frac{1}{2n}\sum_{k=1}^n \frac{k|s(n,k)|}{(k + 1)(k + 2)}</math>

on {{math|''s''(''n'',&nbsp;''k'')}} denota els [[nombres de Stirling de primera classe]]. A partir d'aquest s'obté una versió de la sèrie de Stirling

:<math>\begin{align}
\ln\Gamma(x) = x\ln x - x + \tfrac12\ln\frac{2\pi}{x} + \frac{1}{12(x+1)} + \frac{1}{12(x+1)(x+2)} + \\
  + \frac{59}{360(x+1)(x+2)(x+3)} + \frac{29}{60(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)} + \cdots
\end{align}</math>

que convergeix quan {{math|Re(''x'') > 0}}.

== Càlculs numèrics ==
=== Precisió de la fórmula de Stirling ===
Per jutjar la seva precisió, podem fer els primers valors de la taula de ''n '':
{|class="wikitable centre alternance" style="text-align:center;"
|--- 
! ''n''
! ''n !''
! <math>\sqrt{2\pi n}\,\left({n \over {\rm e}}\right)^n</math>
! <math>\sqrt{2\pi n}\,\left({n \over {\rm e}}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12\ n}\right)</math>
|---
! 1
| '''1''' || 0,92 || 0,999
|---
! 2
| '''2''' || 1,92 || 1,999
|---
! 3
| '''6''' || 5,84 || 5,998
|---
! 4
| '''24''' || '''2'''3,51 || '''2'''3,996
|---
! 5
| '''120''' || '''1'''18,02 || '''1'''19,99
|---
! 6
| '''720''' || '''7'''10,08 || '''7'''19,94
|---
! 7
| '''5 040''' || 4 980,4 || '''5 0'''39,7
|---
! 8
| '''40 320''' || 39 902,4 || '''40 3'''18,1
|---
! 9
| '''362 880''' || '''3'''59 536,9 || '''362 8'''66,0
|---
! 10
| '''3 628 800''' || '''3''' 598 696  || '''3 628''' 685
|---
! 15
| '''1 307 674 368 000''' || '''1,30'''0 431 × 10<sup>12</sup> || '''1,307 6'''65 × 10<sup>12</sup>
|---
! 20
| '''2 432 902 008 176 640 000''' || '''2,4'''22 787 × 10<sup>18</sup> || '''2,432''' 882 × 10<sup>18</sup>
|---
! 25
| '''15 511 210 043 330 985 984 000 000''' || '''1,5'''45 959 × 10<sup>25</sup> || '''1,551 1'''13 × 10<sup>25</sup>
|---
! 30
| '''265 252 859 812 191 058 636 308 480 000 000''' || '''2,6'''45 171 × 10<sup>32</sup> || '''2,652 5'''19 × 10<sup>32</sup>
|---
! 40
| '''815 915 283 247 897 734 345 611 269 596 115 894 272 000 000 000''' || '''8,1'''42 173 × 10<sup>47</sup> || '''8,159 1'''36 × 10<sup>47</sup>
|}
En <math>\sqrt{n}</math>, si reemplacem ''n ''per ''n ''+ {{frac|1|6}} , els càlculs es milloren de manera significativa per a valors petits de ''n ''(aproximació de [[Bill Gosper|Gosper]]); també es pot triar un marc;<ref>{{MathWorld|nom_url=StirlingsApproximation|titre=Stirling's Approximation}}</ref>  finalment, es pot prendre la {{OEIS|id=A055775}}.

=== Aproximació logarítmica ===
[[Fitxer:Mplwp_factorial_stirling_loglog2.svg|miniatura|<center>Comparació de les aproximacions logarítmiques de la fórmula de Stirling</center>]]
Com a part de la [[termodinàmica estadística]] ([[distribució de Boltzmann]]), és convenient considerar el [[logaritme natural]] d'un factor en fer l'aproximació de Stirling.<ref>Atkins, ''Chimie Physique'', {{3e}} éd., deBoeck, Bruxelles, 2008</ref>

L'aproximació consisteix en assimilar la suma a una integral quan ''n'' és prou gran.<ref>Jannès, ''Chimie Physique : Distribution de Boltzmann'', HELdB IMC, Bruxelles, 2010</ref>

<center><math> \ln\left(n!\right) = \sum_{i=1}^n{\ln\left(i\right)} \simeq \int_1^n{\ln\left(x\right)\, \mathrm dx} = \left[ x\ln\left(x\right) - x \right]_1^n = n\ln\left(n\right) - n + 1. </math></center>

Finalment obtenim la següent aproximació:

<center><math>\ln\left(n!\right) \simeq n\ln\left(n\right) - n,</math></center>

per la qual, l'[[error relatiu]] és menor de l' 1% quan ''n> 100''. Aquesta aproximació es considera vàlida (l'error és insignificant) com a part de la distribució de Boltzmann donats els grans valors de ''n'' utilitzats (que representen configuracions microscòpiques un estat macroscòpic).

Una aproximació més exacta de ''ln (n!)'' va ser donada per [[Srinivasa Ramanujan]].{{sfn|Trott|2006|p=359}}{{sfn|Askey|1988}}

<center><math>
\ln(n!)=n\ln(n) - n + \frac {\ln(8n^3+4n^2+n+1/30+o(1))}6+ \frac {\ln(\pi)}2.
</math></center>

=== Versions per a calculadores ===
L'aproximació:

:<math>\Gamma(z) \approx \sqrt{\frac{2 \pi}{z}} \left(\frac{z}{e} \sqrt{z \sinh\frac{1}{z} + \frac{1}{810z^6} } \right)^z,</math>

o de manera equivalent,

:<math>2\ln\Gamma(z) \approx \ln(2\pi) - \ln z + z \left(2\ln z + \ln\left(z\sinh\frac{1}{z} + \frac{1}{810z^6}\right) - 2\right),</math>

es pot obtenir per la reordenació de la fórmula desenvolupada de Stirling i s'observa una coincidència entre la sèrie de potències resultant i el desenvolupament en [[sèrie de Taylor]] de la funció [[sinus hiperbòlic]]. Aquesta aproximació és bona per a més de 8 dígits decimals per {{math|''z''}} amb una part real més gran que 8. Robert H. Windschitl la va suggerir en [[2002]] per al càlcul de la funció gamma amb força exactitud en les calculadores amb programa limitat o registre de memòria.<ref>[http://www.rskey.org/gamma.htm Toth, V. T. ''Programmable Calculators: Calculators and the Gamma Function'' (2006)]</ref> 

Gergo Nemes va proposar en [[2007]] una aproximació que dóna el mateix nombre de dígits exactes com l'aproximació de Windschitl, però és molt més simple:{{sfn|Nemes|2010|p=161-169|ref=Nemes2}}

:<math>\Gamma(z) \approx \sqrt{\frac{2\pi}{z} } \left(\frac{1}{e} \left(z + \frac{1}{12z - \frac{1}{10z}}\right)\right)^z,</math>

o de manera equivalent,

:<math> \ln\Gamma(z) \approx \tfrac{1}{2} \left[\ln(2\pi) - \ln z\right] + z\left[\ln\left(z + \frac{1}{12z - \frac{1}{10z}}\right) - 1\right]. </math>

==Referències==
{{Referències}}

==Bibliografia==
{{Div col|cols=2}}
* {{Ref-llibre |cognom1=Abramowitz |nom1=M |cognom2=Stegun |nom2=I |llengua=anglès |títol=Handbook of Mathematical Functions |editorial= |lloc= |data=2002 |isbn= }}
* {{Ref-llibre |cognom=Askey |nom=Richard |llengua=anglès |títol=Book Review: The lost notebook and other unpublished papers |editorial=American Mathematical Society. Bulletin. New Series, 19 (2) |lloc= |data=1988 |isbn= |doi=10.1090/S0273-0979-1988-15741-2}} <small>ISSN 0002-9904, MR 1567721</small>
* {{Ref-llibre |cognom=Dutka |nom=Jacques |llengua=anglès |títol=The early history of the factorial function |editorial=Archive for History of Exact Sciences (Springer) 43 (3) |lloc= |data=1991 |isbn= |doi=10.1007/BF00389433}}
* {{Ref-llibre |cognom=Le Cam |nom=L |llengua=anglès |títol=The central limit theorem around 1935 |editorial=Statistical Science 1 (1 |lloc=1986 |data= |isbn= |doi=10.1214/ss/1177013818 }}
* {{Ref-llibre |cognom=Li |nom=Y.C |llengua=anglès |títol=A Note on an Identity of The Gamma Function and Stirling’s Formula |editorial= |lloc=Real Analysis Exchang, Vol. 32(1) |data=2006 |isbn= }}
* {{Ref-llibre |cognom=Nemes |nom=Gergő |llengua=anglès |títol=On the Coefficients of the Asymptotic Expansion of n! |editorial=Journal of Integer Sequences 13 (6) |lloc= |data=2010 |isbn= |ref=Nemes1}}
* {{Ref-llibre |cognom=Nemes |nom=Gergő |llengua=anglès |títol=New asymptotic expansion for the Gamma function |editorial=Archiv der Mathematik 95 (2) |lloc= |data=2010 |isbn= |doi=10.1007/s00013-010-0146-9r|ef=Nemes2}} <small>ISSN 0003-889X</small>
* {{Ref-llibre |cognom=Nemes |nom=Gergő |llengua=anglès |títol=Error bounds and exponential improvements for the asymptotic expansions of the gamma function and its reciprocal |editorial=Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 145 |lloc= |data=2015 |isbn= }}
* {{Ref-llibre |cognom1=Paris |nom1=R. B |cognom2=Kaminski |nom2=D |llengua=anglès |títol=Asymptotics and the Mellin–Barnes Integrals |editorial=Cambridge University Press |lloc=New York |data=2001 |isbn=0-521-79001-8 }}
* {{Ref-llibre |cognom=Pearson |nom=Karl |llengua=anglès |títol=Historical note on the origin of the normal curve of errors |editorial=Biometrika 16 |lloc= |data=1924 |isbn= |doi=10.2307/2331714}}
* {{Ref-llibre |cognom=Robbins |nom=Herbert |llengua=anglès |títol=A Remark on Stirling's Formula |editorial=The American Mathematical Monthly 62 (1) |lloc= |data=1955 |isbn= |doi=10.2307/2308012}}
* {{Ref-llibre |cognom=Romik |nom=Dan |llengua=anglès |títol=Stirling’s Approximation for n!: The Ultimate Short Proof? |editorial=The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 6 |lloc= |data=2000 |isbn= }}
* {{Ref-llibre |cognom1=Schäfke |nom1=F. W |cognom2=Sattler |nom2=A |llengua=alemany |títol=Restgliedabschätzungen für die Stirlingsche Reihe, Note. Mat. 10 |editorial= |lloc= |data=1990 |isbn= }}
* {{Ref-llibre |cognom=Trott |nom=M |llengua=anglès |títol=Birkhäuser. The Mathematica GuideBook for Symbolics |editorial= |lloc= |data=2006 |isbn=978-0-38795020-4 }}
* {{Ref-llibre |cognom1=Whittaker |nom1=E. T |cognom2=Watson |nom2=G. N |llengua=anglès |títol=A Course in Modern Analysis |editorial=Cambridge University Press |lloc=New York |data=1996 |isbn=0-521-58807-3 }}
{{Div col end}}

==Vegeu també==
* [[Factorial]]
* [[Funció Gamma]]
* [[Aproximació de Lanczos]]
* [[Aproximació de Spouge]]

==Enllaços externs==
{{commonscat}}
* {{springer|title=Stirling formula|id=p/s087830}}
* [http://www.luschny.de/math/factorial/approx/SimpleCases.html Peter Luschny, ''Approximation formulas for the factorial function n!'']
* {{MathWorld | urlname=StirlingsApproximation | title=Stirling's Approximation}}
* {{PlanetMath | urlname=StirlingsApproximation | title=Stirling's approximation}}

[[Categoria:Anàlisi matemàtica]]