Mostra la font per a Fórmula de la tangent de l'angle meitat

En diverses aplicacions de [[trigonometria]], és útil de reescriure les [[funció trigonomètrica|funcions trigonomètriques]] (tals com el sinus i el cosinus) en termes de [[funció racional|funcions racionals]] d'una nova variable ''t''. Aquestes identitats, es coneixen de forma col·lectiva amb el nom de '''fórmules de la tangent de l'angle meitat''' degut a la definició de ''t''. Aquestes identitats poden ser útils en [[càlcul infinitesimal]] per tal de transformar funcions racional del sinus i del cosinus en funcions de ''t'' per tal de trobar les seves [[primitiva|primitives]]. 

Tècnicament, l'existència de les fórmules de la tangent de l'angle meitat surt del fet que la [[circumferència]] és una [[corba algebraica]] de [[gènere (matemàtiques)|gènere]] 0. Per tant s'espera que les funcions circulars siguin reductibles a funcions racionals.

Geomètricament, la construcció va així: per qualsevol punt (cos &phi;, sin &phi;) de la [[circumferència goniomètrica]], es dibuixa la línia recta que passa per ell i el punt (−1,0). Aquesta línia travessa l'eix ''y'' en algun punt ''y'' = ''t''. Es pot demostrar que ''t'' = tan(&phi;/2). L'equació per traçar la línia és ''y'' = (1 + ''x'')''t''. L'equació per a la intersecció entre la línia recta i la circumferència és una [[equació de segon grau]] de la variable ''t''. Les dues solucions a aquesta equació són (−1,0) i (cos &phi;, sin &phi;). Això permet escriure aquestes últimes com a funcions racionals de ''t'' (les solucions es donen més avall.

:[[Fitxer:Weierstrass substitution.png|center|500px|Fórmula de la tangent de l&#039;angle meitat]]

Fixeu-vos també que el paràmetre ''t'' representa la [[Projecció azimutal estereogràfica]] del punt (cos &phi;, sin &phi;) sobre l'eix ''y'' amb el centre de projecció a (−1,0). Per tant, la fórmula de la tangent de l'angle meitat dona les conversions entre las coordenada estereogràfica ''t'' de la circumferància goniomètrica i la coordenada angular estàndard &phi;.

==Identitats==

Les fórmules de la tangent de l'angle meitat són com segueix. Sia

:<math>t = \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right) = \frac{\sin(\varphi)}{1 + \cos(\varphi)} = \frac{1-\cos(\varphi)}{\sin(\varphi)}.</math>

Llavors es té
{| cellpadding=5 style="margin-left: 2em;"
|<math>\cos(\varphi) = \frac{1 - t^2}{1 + t^2},</math>
|&nbsp;
|<math>\sin(\varphi) = \frac{2t}{1 + t^2},</math>
|-
|<math>\sec(\varphi) = \frac{1 + t^2}{1 - t^2},</math>
|&nbsp;
|<math>\tan(\varphi) = \frac{2t}{1 - t^2},</math>
|-
|<math>\csc(\varphi) = \frac{1 + t^2}{2t},</math>
|&nbsp;
|<math>\cot(\varphi) = \frac{1 - t^2}{2t},</math>
|}
i
{| cellpadding=5 style="margin-left: 2em;"
|<math>e^{i \varphi} = \frac{1 + i t}{1 - i t},</math>
|&nbsp;
|<math>e^{-i \varphi} = \frac{1 - i t}{1 + i t}.</math>
|}

Invertint les fórmules exponencials de ''t'' i trobant &phi; en funció de ''t'', s'arriba a les següents expressions per a l'[[arctangent]] en funció del [[logaritme natural]]
:<math>\tan^{-1}t = \frac{1}{2i}\ln\frac{1+it}{1-it}.</math>

==Ús a càlcul infinitesimal==

En [[Càlcul infinitesimal|càlcul]], les ideintitats de la tangent de l'angle meitat poden ser usades en [[substitució trigonomètrica]] per trobar primitives de funcions racionals del sin(&phi;) i del cos(&phi;). Després d'establir

:<math>t=\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right),</math>

es té

:<math>dt=\sec^2\left( { \varphi \over 2 } \right)\,{ d\varphi \over 2}.</math>

També, com que
:<math>\varphi=2\arctan(t),</math>
es té
:<math>d\varphi = {{2\,dt} \over {1 + t^2}}.</math>

==Identitats hiperbòliques==

Es pot jugar un joc completament anàleg amb les [[funció hiperbòlica|funcions hiperbòliques]]. Un punt de (la branca dreta) d'una [[hipèrbola]] ve donat per (cosh &theta;, sinh &theta;). Projectant-lo sobre l'eix ''y'' a partir del centre (−1,0) dóna el següent:

:<math>t = \tanh\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sinh(\theta)}{\cosh(\theta)+1} = \frac{\cosh(\theta)-1}{\sinh(\theta)}</math>

amb les identitats
{| cellpadding=5 style="margin-left: 2em;"
|<math>\cosh(\theta) = \frac{1 + t^2}{1 - t^2}</math>
|&nbsp;
|<math>\sinh(\theta) = \frac{2t}{1 - t^2}</math>
|-
|<math>\mbox{sech}(\theta) = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}</math>
|&nbsp;
|<math>\tanh(\theta) = \frac{2t}{1 + t^2}</math>
|-
|<math>\mbox{csch}(\theta) = \frac{1 - t^2}{2t}</math>
|&nbsp;
|<math>\coth(\theta) = \frac{1 + t^2}{2t}</math>
|}
i
{| cellpadding=5 style="margin-left: 2em;"
|<math>e^{\theta} = \frac{1 + t}{1 - t}</math>
|&nbsp;
|<math>e^{-\theta} = \frac{1 - t}{1 + t}</math>
|}

Trobant &theta; en funció de ''t'' porta a la següent relació entre l'arctangent hiperbòlica i el logaritme natural:
:<math>\tanh^{-1}t = \frac{1}{2}\ln\frac{1+t}{1-t}</math>

==La funció Gudermanniana==

Comparant les identitats hiperbòliques amb les circulars, es veu que impliquen les mateixes funcions de ''t'', només que permutades. Si s'identifica el paràmetre ''t'' en tots dos casos s'arriba a una relació entre les funcions circulars i les hiperbòliques. És a dir, si

:<math>t = \tan\frac{\varphi}{2} = \tanh\frac{\theta}{2}</math>

llavors

:<math>\varphi = 2\tan^{-1}\tanh\frac{\theta}{2} \equiv \mbox{gd}(\theta)</math>
La funció gd(&theta;) es diu la [[funció Gudermanniana]]. La funció Gudermanniana dona una relació directa entre les funcions circulars i les hiperbóliques que no involucra els nombres complexos. Les descripcions anteriors de les fórmules de la tangent de l'angle meitat (projeccions de la circumferència goniomètrica i de la hipèrbola estàndard sobre l'eix ''y'') dóna una interpretació elegant d'aquesta funció. 

==Vegeu també==
*[[Llista d'identitats trigonomètriques]]
*[[Funció trigonomètrica racional]]
*[[Projecció azimutal estereogràfica]]
*[[Funció Gudermanniana]]

{{Trigonometria}} 
{{Autoritat}}
{{ORDENA:Formula De La Tangent De L'Angle Meitat}}
[[Categoria:Trigonometria]]