Mostra la font per a Factorial

{| class="wikitable" style="margin:0 0 0 1em; text-align:right; float:right;"
|+ Selecció de membres de la [[Seqüència (matemàtiques)|seqüència]] factorial {{OEIS|id=A000142}}; Els valors especificats en la [[notació científica]] s'arrodoneixen a la precisió mostrada
|-
! ''n''
! ''n''!
|-
| 0 || 1
|-
| 1 || 1
|-
| 2 || 2
|-
| 3 || 6
|-
| 4 || 24
|-
| 5 || 120
|-
| 6 || 720
|-
| 7 || {{gaps|5|040}}
|-
| 8 || {{gaps|40|320}}
|-
| 9 || {{gaps|362|880}}
|-
| 10 || {{gaps|3|628|800}}
|-
| 11 || {{gaps|39|916|800}}
|-
| 12 || {{gaps|479|001|600}}
|-
| 13 || {{gaps|6|227|020|800}}
|-
| 14 || {{gaps|87|178|291|200}}
|-
| 15 || {{gaps|1|307|674|368|000}}
|-
| 16 || {{gaps|20|922|789|888|000}}
|-
| 17 || {{gaps|355|687|428|096|000}}
|-
| 18 || {{gaps|6|402|373|705|728|000}}
|-
| 19 || {{gaps|121|645|100|408|832|000}}
|-
| 20 || {{gaps|2|432|902|008|176|640|000}}
|-
| 25 
| style="text-align:left" | {{val|1.551121004|e=25}}
|-
| 50 
| style="text-align:left" | {{val|3.041409320|e=64}}
|-
| 70 
| style="text-align:left" | {{val|1.197857167|e=100}}
|-
| 100 
| style="text-align:left" | {{val|9.332621544|e=157}}
|-
| 450 
| style="text-align:left" | {{val|1.733368733|e=1000|sortable=off}}
|-
| {{gaps|1|000}} 
| style="text-align:left" | {{val|4.023872601|e=2567|sortable=off}}
|-
| {{gaps|3|249}} 
| style="text-align:left" | {{val|6.412337688|e=10000|sortable=off}}
|-
| {{gaps|10|000}} 
| style="text-align:left" | {{val|2.846259681|e=35659|sortable=off}}
|-
| {{gaps|25|206}} 
| style="text-align:left" | {{val|1.205703438|e=100000|sortable=off}}
|-
| {{gaps|100|000}} 
| style="text-align:left" | {{val|2.824229408|e=456573|sortable=off}}
|-
| {{gaps|205|023}} 
| style="text-align:left" | {{val|2.503898932|e=1000004|sortable=off}}
|-
| {{gaps|1|000|000}} 
| style="text-align:left" | {{val|8.263931688|e=5565708|sortable=off}}
|-
| [[googol|{{val|e=100}}]] || 10<sup>{{val|9.956570552|e=101|sortable=off}}</sup>
|}

En [[matemàtiques]], el '''factorial''' d'un [[Nombre natural|enter no negatiu]] ''<math>n</math>'', denotat per '''<math>n!</math>''', és el [[Multiplicació|producte]] de tots els [[Nombre enter|nombres enters]] [[Nombre positiu|positius]] inferiors o iguals a ''<math>n</math>''. 
:<math>n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times ... \times n</math>
Per exemple,
:<math>5! = 1  \times  2  \times  3  \times  4  \times  5 = 120 </math>

El valor de <math>0!</math> és 1, d'acord amb la convenció d'un [[producte buit]].<ref>Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) ''[[Concrete Mathematics]]'', Addison-Wesley, Reading MA. {{ISBN|0-201-14236-8}}, p.&nbsp;111</ref> 

L'operació factorial es troba en moltes àrees de les matemàtiques, principalment en [[combinatòria]], [[àlgebra]] i [[anàlisi matemàtica]]. La seva aparició més bàsica és el fet que hi ha '''<math>n!</math>''' formes d'organitzar objectes diferents en una seqüència (és a dir, [[Permutació|permutacions]] del conjunt d'objectes). Aquest fet ja era conegut pels [[Matemàtiques a l'Índia|erudits indis]], almenys ja al {{segle|XII}}.<ref>N. L. Biggs, ''The roots of combinatorics'', Historia Math. 6 (1979) 109−136</ref> En 1677, [[Fabian Stedman]] va descriure els factorials aplicats per [[Canvi del timbre|canviar el timbre]].<ref>{{citar ref|cognom=Stedman|nom=Fabian|enllaçautor=Fabian Stedman|títol=Campanalogia|any=1677|pàgines=6–9|place=London}}  The publisher is given as "W.S." who may have been William Smith, possibly acting as agent for the [[Ancient Society of College Youths|Society of College Youths]], to which society the "Dedicatory" is addressed.</ref> Després de descriure un enfocament [[Recursivitat|recursiu]], Stedman va donar una declaració de factorial (usant el llenguatge de l'original):

{{cita|''Ara, la naturalesa d'aquests mètodes és tal, que els canvis d'un número comprenen [inclosos] els canvis en tots els nombres inferiors, ... de manera que el canvi d'un nombre en un repicament complet sembla que es forma mitjançant la unió dels repicaments complets de tots els nombres inferiors en un cos sencer;''{{sfn|Stedman|1677|p=8}}}}

La [[Notació matemàtica|notació]] <math>n!</math> va ser introduïda pel [[matemàtic]] [[Francesos|francès]] [[Christian Kramp]] el 1808.<ref>{{citar ref|títol=Number Story: From Counting to Cryptography |cognom=Higgins |nom=Peter |any=2008 |editorial=Copernicus |lloc=New York |isbn=978-1-84800-000-1 |pàgina=12 |pàgines= }} says Krempe though.</ref><ref>{{ref-web|url=http://www.britannica.com/bps/additionalcontent/18/24691460/Fat-Tails|títol=Fat Tails.|consulta=09/12/09|nom=Brian|cognom=Hayes|editor=American Scientist, abstracte a la Britannica Online Encyclopedia|mes=05|any=2007}}</ref>

La definició de la funció factorial també es pot ampliar a arguments no enters, tot conservant les seves propietats més importants; Això implica matemàtiques més avançades, especialment tècniques d'anàlisi matemàtica.

==Definició==
La funció factorial està definida formalment pel producte

:<math>\begin{align}
n! & = \prod_{k=1}^n k \\
   & = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-2) \cdot (n-1) \cdot n \\
   & = n (n-1)(n-2) \cdots (2)(1) \\
\end{align}</math>

inicialment per enters ''<math>n\geq1</math>'', i resultant en aquesta relació de recurrència fonamental:
:<math> (n+1)! = (n+1) \cdot n! </math>.

Per exemple:
: <math>\begin{align}5! &= 5 \cdot 4! \\
 6! &=  6 \cdot  5! \\
50! &= 50 \cdot 49! \\
\end{align}</math>

===0!===

Perquè aquesta relació de recurrència s'estengui a ''<math>n=0</math>'', cal definir

:<math>0! = 1 </math>

i que

:<math>1! = 1 \cdot 0! = 1 \ .</math>

Altres conseqüències que indiquen definir <math>0! = 1 </math> i la convenció que el [[Producte buit|resultat de multiplicar cap nombre sigui 1]] és:
* Hi ha exactament una permutació de 0 objectes (sense res per permutar, «tot» es deixa en el seu lloc).
* Fa que moltes identitats en combinatòria siguin vàlides per a totes les mides aplicables. El nombre de maneres d'escollir 0 elements del [[conjunt buit]] és 
::<math>\tbinom{0}{0} = \tfrac{0!}{0!0!} = 1 </math>.
: Més generalment, la quantitat de formes de triar (tots) ''<math>n</math>'' elements entre un conjunt de ''<math>n</math>'' és
::<math>\tbinom{n}{n} = \tfrac{n!}{n!0!} = 1 </math>.
* Permet l'expressió compacta de moltes fórmules, com la [[funció exponencial]], com una [[Sèrie de potències enteres|sèrie de potències]]:
:: <math> e^x = \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!}.</math>

===Factorial d'un no-enter===

La funció factorial també es pot definir per a valors no-enters a partir de matemàtiques més avançades (la [[funció gamma]], <math> n! = \Gamma(n+1) </math>), detallat a la secció ''Ampliació de factorial a valors d'argument no-enter''. Aquesta definició més generalitzada és utilitzada per [[Calculadora|calculadores]] avançades i [[programari]] matemàtic com [[Maple (programari)|Maple]] o [[Mathematica]].

==Aplicacions==
Encara que la funció factorial té els seus orígens en combinatòria, les fórmules que impliquen factorials es donen en moltes àrees de les matemàtiques.
* Hi ha ''<math>n!</math>'' diferents maneres d'ordenar objectes diferents en una seqüència, les [[Permutació|permutacions]] d'aquests objectes.<ref>{{ref-llibre|url=|títol=Beyond Infinity: An expedition to the outer limits of the mathematical universe|cognom=Cheng|nom=Eugenia|data=2017-03-09|editorial=Profile Books|any=|isbn=9781782830818|lloc=|pàgines=|llengua=en|author-link=Eugenia Cheng}}</ref><ref name=":0">{{ref-llibre|url=|títol=The Book of Numbers|cognom=Conway|nom=John H.|cognom2=Guy|nom2=Richard|data=1998-03-16|editorial=Springer Science & Business Media|any=|isbn=9780387979939|lloc=|pàgines=|llengua=en|author-link=John Horton Conway|author-link2=Richard K. Guy}}</ref>
* Sovint, els factorials apareixen al [[denominador]] d'una fórmula per explicar el fet que l'ordre s'ha d'ignorar. Un exemple clàssic és explicar ''k-''[[Combinació (matemàtiques)|combinacions]] (subconjunts de ''<math>k</math>'' elements) d'un conjunt amb ''<math>n</math>'' elements. Es pot obtenir aquesta combinació escollint una ''k''-permutació: seleccionant i eliminant successivament un element del conjunt, ''<math>k</math>'' vegades, per a un total de
::<math>n^{\underline k}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)</math>
:possibilitats. Tanmateix, això produeix les ''k''-combinacions en un ordre concret que un vol ignorar; ja que cada ''k''-combinació s'obté en <math>k!</math> de manera diferent, el nombre correcte de combinacions ''<math>k</math>'' és
::<math>\frac{n^{\underline k}}{k!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots(1)}.</math>
:Aquest nombre es coneix com el [[coeficient binomial]] <math>\tbinom nk</math>,<ref name=":1">{{ref-llibre|url=|títol=The Art of Computer Programming: Volume 1: Fundamental Algorithms|cognom=Knuth|nom=Donald E.|data=1997-07-04|editorial=Addison-Wesley Professional|any=|isbn=9780321635747|lloc=|pàgines=|llengua=en|author-link=Donald Knuth}}</ref> perquè també és el coeficient de ''<math>X^k</math>''en ''<math>(1+X)^n</math>''
:: <math>
   (a+b)^n =
   {n\choose 0}a^n +
   {n\choose 1} a^{n-1} b +
   {n \choose 2} a^{n-2}b^2 +
   \cdots +
   {n\choose n-1} ab^{n-1} +
   {n\choose n}b^n =
      \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^{k}
</math>
* De forma similar que el [[binomi de Newton]], es pot trobar en la derivació per la [[regla del producte]] per derivades d'ordre superior:
:: <math>
   \frac{d^n x}{dx^n}(f(x) g(x)) =
   (f g)^{(n)} =
   {n\choose 0}f g^{(n)} +
   {n\choose 1} f^{'} g^{(n-1)} +
   {n \choose 2} f^{''} g^{(n-2)} +
   \cdots +
   {n\choose n-1} f^{(n-1)} g^{'} +
   {n\choose n} f^{(n)} g =
   \sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)} g^{(n-k)}
</math>
:on ''<math>f^n</math>''és la ''n''-èsima derivada de la funció <math>f</math>.
* Els factorials es produeixen en l'[[àlgebra]] per diversos motius, com per exemple a través dels coeficients esmentats de la [[Binomi de Newton|fórmula binomial]], o per mitjà de la [[Mitjana (matemàtiques)|mitjana]] de [[Permutació|permutacions]] per [[simetrizació]] de determinades operacions.
* Els factorials també apareixen al [[càlcul infinitesimal]]; per exemple, es produeixen en els denominadors dels termes de la [[Teorema de Taylor|fórmula de Taylor]],<ref>{{ref-web|url=https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/|títol=18.01 Single Variable Calculus, Lecture 37: Taylor Series|cognom=|nom=|data=Fall 2006|website=MIT OpenCourseWare|archive-url=|archive-date=|dead-url=|access-date=2017-05-03}}</ref> on s'utilitzen com a termes de compensació perquè la [[derivada]] de ''<math>x^n</math>'' és equivalent a <math>n!</math>.
::<math>
 f(x) = f(a)
 + \frac{f'(a)}{1!}(x - a)
 + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2
 + \cdots
 + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
 + R
</math>
* Els factorials també s'utilitzen molt sovint en la [[teoria de la probabilitat]].<ref>{{ref-llibre|url=|títol=Statistical Physics of Particles|cognom=Kardar|nom=Mehran|data=2007-06-25|editorial=Cambridge University Press|any=|isbn=9780521873420|lloc=|pàgines=|llengua=anglès|capítol=Chapter 2: Probability|author-link=Mehran Kardar}}</ref>
* Els factorials poden ser útils per facilitar la manipulació de l'expressió. Per exemple, es pot escriure el nombre de ''k''-permutacions de ''<math>n</math>'' com
::<math>n^{\underline k}=\frac{n!}{(n-k)!};</math>
:mentre que això és ineficient com un mitjà per calcular aquest nombre, pot servir per provar una propietat de simetria dels coeficients binomials:<ref name=":0" /><ref name=":1" />
::<math>\binom nk=\frac{n^{\underline k}}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!} = \frac{n^{\underline{n-k}}}{(n-k)!} = \binom n{n-k}.</math>
* Es pot mostrar la funció factorial, utilitzant la [[Regla generalitzada de la derivada de la potenciació|regla de la potència]], per ser
::<math>\begin{align}
n! &= D^n(x^n) \\
   &= \frac{d^n}{dx^n}(x^n) \\
\end{align}</math>
:on <math>D^nx^n</math> és la [[Notació de la derivada|notació d'Euler]] per la ''n-''èsima derivada de <math>x^n .</math><ref>{{ref-web|url=https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/|títol=18.01 Single Variable Calculus, Lecture 4: Chain rule, higher derivatives|cognom=|nom=|data=Fall 2006|website=MIT OpenCourseWare|archive-url=|archive-date=|dead-url=|access-date=2017-05-03}}</ref>

== Taxa de creixement i aproximacions per a ''n'' grans ==
[[Fitxer:Log-factorial.svg|upright=1.35|miniatura|[[Gràfica d'una funció|Gràfica]] del [[logaritme natural]] del factorial]]
A mesura que ''<math>n</math>'' creix, el factorial <math>n!</math> augmenta més ràpidament que tots els [[Polinomi|polinomis]] i les [[Funció exponencial|funcions exponencials]] (però més lentes que les [[Funció exponencial doble|funcions exponencials dobles]]) de grau ''<math>n</math>''.

La majoria d'aproximacions per a <math>n!</math> es basen en aproximar el seu [[logaritme natural]]
:<math>\ln n! = \sum_{x=1}^n \ln x.</math>

La [[Gràfica d'una funció|gràfica de la funció]]  [[Gràfica d'una funció|<math>f(n) = \ln n!</math>]] es mostra a la figura de la dreta. Es veu aproximadament lineal per a tots els valors raonables de <small>n</small>, però aquesta intuïció és falsa.

Obtenim una de les aproximacions més senzilles per a <math>\ln n!</math> limitant la suma amb una [[Integració|integral]] per dalt i per sota:

:<math> \int_1^n \ln x \, dx \leq \sum_{x=1}^n \ln x \leq \int_0^n \ln (x+1) \, dx</math>

que ens dóna l'estimació

:<math> n\ln\left(\frac{n}{e}\right)+1 \leq \ln n! \leq (n+1)\ln\left( \frac{n+1}{e} \right) + 1.</math>

Per tant <math>\ln n! \sim n\ln n</math> ''(vegeu [[Notació O Gran|notació O gran]])''. Aquest resultat té un paper clau en l'anàlisi de la [[complexitat computacional]] dels [[Algorisme d'ordenació|algorismes d'ordenació]] ''(vegeu [[ordenació per comparació]])''. Des dels límits a ln n! deduït anteriorment tenim

:<math>e\left(\frac ne\right)^n \leq n! \leq e\left(\frac{n+1}e\right)^{n+1}.</math>

De vegades és pràctic utilitzar estimacions més febles però més senzilles. Utilitzant la fórmula anterior, es mostra fàcilment que per a tots els ''<math>n</math>'' tenim <math>(n/3)^n < n!</math>, i per a tots els ''<math>n\geq6</math>'' tenim <math>n! < (n/2)^n</math>.

[[Fitxer:Mplwp factorial gamma stirling.svg|miniatura|upright=1.35|Comparació entre factorial <small>(punts blaus)</small>, la [[funció gamma]] <small>(línia blava)</small> i la [[fórmula de Stirling]] <small>(línia lila)</small>]]
Per a ''n'' grans podem obtenir una estimació millor per al número <math>n!</math> utilitzant l'[[Fórmula de Stirling|aproximació de Stirling]]:

:<math>n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>

Això prové d'una sèrie asimptòtica del logaritme, i <math>n!</math> es troba entre aquesta i la següent aproximació:

:<math>\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n<n!<\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^ne^\frac 1{12n}.</math>

Una altra aproximació per a <math>\ln n!</math> va ser donada per [[Srinivasa Ramanujan]] {{harv|Ramanujan|1988}}

:<math>\ln n! \approx n\ln n - n + \frac {\ln(n(1+4n(1+2n)))}{6} + \frac {\ln(\pi)}{2}</math>
o
:<math>n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n[1 +1/(2n) +1/(8n^2)]^{1/6}.</math>
Tant aquest com el <math>\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^ne^\frac 1{12n}</math> donar un error relatiu de l'ordre <math>1/n^3</math>, però Ramanujan és quatre vegades més precís. No obstant això, si utilitzem dos termes de correcció (com en l'aproximació de Ramanujan) l'error relatiu serà de l'ordre <math>1/n^5</math>:

:<math>n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\exp\left({\frac 1{12n}-\frac 1{360n^3}}\right)</math>

==Computació==
Si l'eficiència no és una preocupació, la [[Computació algebraica|computació]] de factorials és trivial des d'un punt de vista [[Algorisme|algorítmic]]: multiplicant successivament una variable inicialitzada a 1 pels nombres enters fins a ''<math>n</math>'' (si n'hi ha cap) calcularà <math>n!</math>. 

En llenguatges funcionals, sovint s'aplica directament la definició recursiva per il·lustrar funcions recursives.
:<math>n! =\begin{cases} 1, &n=0 \\ n\cdot (n-1)!, &n>0\end{cases}</math>

Aquest [[algorisme]] es pot escriure en [[C++]] utilitzant la funció recursiva:
<syntaxhighlight lang="C++">
int factorial(int n) {
if(n == 0) return 1;
return n*factorial(n - 1);
}
</syntaxhighlight>

Amb el llenguatge de programació [[Python]] es pot calcular el factorial d'enters arbitràriament grans, limitat només per la [[Memòria d'ordinador|memòria]] disponible. En un [[Intel Pentium 4]], per exemple, el càlcul de 10.000! només triga uns pocs segons. El resultat té 35.660 dígits en [[Nombre decimal|notació decimal]], amb els últims 2.499 dígits que són tots zeros.
<syntaxhighlight lang="python">
#!/usr/bin/env python3
# Syntax: Python 3.3.0
n = int(input('Factorial de n = '))
f = 1
for i in range(1, n + 1):
    f = f * i
print(n,'! = ',f)
</syntaxhighlight>

<syntaxhighlight lang="python">
#!/usr/bin/env python
# Syntax: Python 2.7
n = int(raw_input('Factorial de n = '))
f = 1
for i in range(1, n + 1):
    f = f * i
print n,'! = ',f
</syntaxhighlight>

La principal dificultat pràctica en la computació del factorial és la mida del resultat. Per assegurar que el resultat exacte s'adapti a tots els valors calculats, fins i tot el tipus d'enter més petit (enters amb signe de 8 [[Bit|bits]]) sovint requereix més de 700 bits, de manera que cap especificació raonable d'una funció factorial amb tipus de mida fixa pot evitar qüestions de desbordament. Els valors ''<math>12!</math>'' i ''<math>20!</math>'' són els factorials més grans que es poden emmagatzemar, respectivament, en els enters de 32 bits i 64 bits que s'utilitzen habitualment en [[Ordinador personal|ordinadors personals]], tot i que molts [[Llenguatge de programació|llenguatges de programació]] admeten tipus d'enters de longitud variable capaços de calcular valors molt grans.<ref>https://github.com/wesselbosman/nFactorial</ref> La representació de [[Coma flotant|punt flotant]] d'un resultat aproximat permet anar una mica més lluny, però això també es manté bastant limitat pel possible desbordament. La majoria de les [[Calculadora|calculadores]] utilitzen la [[notació científica]] amb exponents decimals de dos dígits, i el factor més gran que s'adapta és ''<math>69!</math>'', perquè ''<math>69!< 10^{100} < 70!</math>''. Altres implementacions (com per exemple, [[Programari|programes informàtics]] com ara programes de [[full de càlcul]]) solen manejar valors més grans.

La majoria de les aplicacions per a ordinadors calcularan factorials petits mitjançant la multiplicació directa o la consulta de taules. Es poden aproximar valors factorials més grans mitjançant la fórmula de Stirling. [[Wolfram Alpha]] pot calcular resultats exactes per a la [[Funció de part entera|funció del sostre i la funció del sòl]] aplicada al [[logaritme binari]], [[logaritme natural]] i [[logaritme decimal]] de ''<math>n!</math>'' per valors de fins a ''<math>249.999!</math>'', i fins a ''<math>20.000.000!</math>'' per als enters.

Si es necessiten els valors exactes de grans factorials, es poden calcular utilitzant [[aritmètica de precisió arbitrària]]. En lloc de fer la seqüència de multiplicacions <math>((1 \times 2) \times 3) \times 4 \times\cdots</math>, un programa pot dividir la seqüència en dues parts, els productes tenen aproximadament la mateixa mida i multiplicar-les utilitzant un mètode de [[Algoritme divideix i guanyaràs|divideix i guanyaràs]]. Això sovint és més eficient.<ref>[[GNU MP]] software manual, [http://gmplib.org/manual/Factorial-Algorithm.html "Factorial Algorithm"] (retrieved 22 January 2013).</ref>

La millor eficiència asimptòtica s'obté mitjançant la computació de ''<math>n!</math>'' des de la seva [[Factorització dels enters|factorització]] en [[Nombre primer|nombres primers]]. Com va documentar [[Peter Borwein]], la factorització en nombres primers permet a <math>n!</math> computar a temps <math>O(n (\log n \log \log n)^2)</math>, sempre que s'utilitzi un algoritme de multiplicació ràpid (per exemple, l'[[algoritme de Schönhage-Strassen]]).<ref>Peter Borwein. "On the Complexity of Calculating Factorials". ''Journal of Algorithms'' 6, 376–380 (1985)</ref> Peter Luschny presenta el codi font i punts de referència per a diversos [[Algorisme|algorismes]] factorials eficients, amb o sense l'ús d'un [[Generadors de primers|sedàs de primers]].<ref>Peter Luschny, [http://www.luschny.de/math/factorial/FastFactorialFunctions.htm ''Fast-Factorial-Functions: The Homepage of Factorial Algorithms''].</ref>

==Teoria de nombres==
{{vegeu també|Operació mòdul}}
Els factorials tenen moltes aplicacions en la [[teoria de nombres]]. En particular, <math>n!</math> és necessàriament [[Criteri de divisibilitat|divisible]] per tots els [[Nombre primer|nombres primers]] fins i incloent ''<math>n</math>''. Com a conseqüència, ''<math>n\geq5</math>'' és un [[nombre compost]] [[si i només si]]
:<math>(n-1)!\ \equiv\ 0 \pmod n.</math>

Un resultat més sòlid és el [[teorema de Wilson]], que afirma que
:<math>(p-1)!\ \equiv\ -1 \pmod p</math>
si i només si ''<math>p</math>'' és primer.<ref>{{MacTutor Biography|id=Al-Haytham|title=Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham}}</ref><ref>{{ref-web|url=http://mathworld.wolfram.com/WilsonsTheorem.html|títol=Wilson's Theorem|cognom=W.|nom=Weisstein, Eric|website=mathworld.wolfram.com|llengua=en|access-date=2017-05-17}}</ref>

La [[fórmula de Legendre]] dóna la multiplicitat del nombre primer ''<math>p</math>'' que es produeix en la factorització principal de <math>n!</math> com
:<math>\sum_{i=1}^\infty \left \lfloor \frac n {p^i} \right \rfloor</math>
o de forma equivalent 
:<math>\frac{n - s_p(n)}{p - 1},</math>
on <math>s_p(n)</math> denota la suma dels dígits estàndard en [[Base (aritmètica)|base]] ''<math>p</math>'' de ''<math>n</math>.''

Afegint 1 a ''<math>n!</math>'' es produeix un nombre divisible per un valor superior a ''<math>n</math>''. Aquest fet es pot utilitzar per demostrar en el [[teorema d'Euclides]] que el nombre de primers és [[infinit]].<ref>{{ref-llibre|url=|títol=Further Pure Mathematics|cognom=Bostock|nom=Linda|cognom2=Chandler|nom2=Suzanne|cognom3=Rourke|nom3=C.|data=2014-11-01|editorial=Nelson Thornes|any=|isbn=9780859501033|lloc=|pàgines=168|llengua=en}}</ref> Els nombres primers de la forma ''<math>n!\pm 1</math>'' es diuen [[Nombre primer factorial|nombres primers factorials]].

==Sèries recíproques==
Els [[Invers multiplicatiu|recíprocs]] de factorials produeixen una [[sèrie convergent]], la suma del qual és el [[nombre d'Euler]] (''<math>e</math>''):
:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24}  + \frac{1}{120} + \cdots = e\,.</math>
Encara que la suma d'aquesta sèrie és un [[nombre irracional]], és possible multiplicar els factorials per enters positius per produir una sèrie convergent amb una suma racional:
:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac 1 {(n+2)n!} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8} + \frac{1}{30} + \frac{1}{144} + \cdots=1\,.</math>
La [[Convergència (sèries)|convergència]] d'aquesta sèrie a 1 es pot veure del fet que les seves sumes parcials són menors d'un per un factor invers. Per tant, els factors no formen una [[seqüència d'irracionalitat]].<ref>{{citar ref|cognom=Guy |nom=Richard K. |enllaçautor=Richard K. Guy |títol=Unsolved problems in number theory |editorial=[[Springer-Verlag]] |edició=3rd |any=2004 |isbn=0-387-20860-7 | zbl=1058.11001 |citació=E24 Irrationality sequences|pàgina=346|url=https://books.google.com/books?id=1AP2CEGxTkgC&pg=PA346 }}</ref>

== Ampliació de factorial a valors d'argument no-enter ==


===La funció gamma i la funció Pi===
[[Fitxer:Factorial Interpolation.svg|miniatura|La funció gamma interpola la funció factorial a valors no enters. La clau principal és la relació de recurrència generalitzada a un domini continu]]

{{Main|Funció gamma}}

A més d'enters no negatius, la funció factorial també es pot definir per a valors no enters, però això requereix eines més avançades per a l'anàlisi matemàtica. Una funció que «omple» els valors del factorial (però amb un desplaçament de 1 en l'argument) s'anomena [[funció gamma]], denotada ''<math>\Gamma(z)</math>'', definida per a tots els [[Nombre complex|nombres complexos]] ''<math>z</math>'', excepte els enters no positius, i donada quan la part real de ''<math>z</math>'' és positiva per

:<math>\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\, \mathrm{d}t. </math>

La seva relació amb els factorials és que per a qualsevol nombre natural ''<math>n</math>''
:<math>n!=\Gamma(n+1).</math>

La fórmula original d'[[Leonhard Euler|Euler]] per a la funció gamma era

:<math>\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\displaystyle\prod_{k=0}^n (z+k)}. </math>

A vegades s'utilitza una notació alternativa, originalment introduïda per [[Carl Friedrich Gauß|Gauss]]. La [[Funció gamma#Propietats|funció Pi]], denotada ''<math>\Pi(z)</math>'' per als nombres reals ''<math>z</math>'' no inferior a 0, està definida per

:<math>\Pi(z)=\int_0^\infty t^z e^{-t}\, \mathrm{d}t\,.</math>

En termes de la funció gamma és

:<math>\Pi(z) = \Gamma(z+1) \,.</math>

[[Fitxer:Generalized factorial function.svg|miniatura|La funció factorial, generalitzada a tots els nombres reals, excepte els nombres enters negatius. Per exemple: 
* ''<math>0! = 1! = 1</math>''
<ul><li title="Plantilla:Sqrt">''<math>(-0,5)! = \sqrt{\pi}</math>'' 
</li><li>''<math>(0,5)! = \frac{\sqrt{\pi}}{2}</math>''
</li></ul>|305x305px]]

Realment el factorial s'estén en això

:<math>\Pi(n) = n! \text{ per a } n \in \mathbf{N}\, .</math>

A més d'això, la funció Pi satisfà la mateixa recurrència que fan els factors, però a cada valor complex ''<math>z</math>'' on es defineix

:<math>\Pi(z) = z\Pi(z-1)\,.</math>

De fet, això ja no és una [[relació de recurrència]], sinó una [[equació funcional]].

Expressat en termes de la funció gamma, aquesta equació funcional pren la forma

:<math>\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)\,.</math>

Atès que el factorial s'amplia per la funció Pi, per a cada valor complex ''<math>z</math>'' on es defineix, podem escriure:

:<math>z! = \Pi(z)</math>

Els valors d'aquestes funcions en valors de [[Mig enter|mig enters]] es determinen, doncs, per un d'ells; s'obté

:<math>\Gamma\left (\frac{1}{2}\right )=\left (-\frac{1}{2}\right )!=\Pi\left (-\frac{1}{2}\right ) = \sqrt{\pi},</math>

del qual segueix per&nbsp;''<math>n</math>''&nbsp;∈&nbsp;'''N''',

:<math>
\begin{align}
& \Gamma\left (\frac{1}{2}+n\right ) = \left (-\frac{1}{2}+n\right )! = \Pi\left (-\frac{1}{2}+n\right ) \\[5pt]
= {} & \sqrt{\pi} \prod_{k=1}^n {2k - 1 \over 2} = {(2n)! \over 4^n n!} \sqrt{\pi} = {(2n-1)! \over 2^{2n-1}(n-1)!} \sqrt{\pi}.
\end{align}
</math>

Per exemple,
:<math>\Gamma(4,5) = 3,5! = \Pi(3,5) = {1\over 2}\cdot{3\over 2}\cdot{5\over 2} \cdot {7\over 2} \sqrt{\pi} = {8! \over 4^4 4!} \sqrt{\pi} = {7! \over 2^7 3!} \sqrt{\pi} = {105 \over 16} \sqrt{\pi} \approx 11,63.</math>

També es desprèn que per a&nbsp;''<math>n</math>''&nbsp;∈&nbsp;'''N''',

:<math>\Gamma\left (\frac{1}{2}-n\right ) = \left (-\frac{1}{2}-n\right )! = \Pi\left (-\frac{1}{2}-n\right ) = \sqrt{\pi} \prod_{k=1}^n {2 \over 1 - 2k} = {(-4)^n n! \over (2n)!} \sqrt{\pi}.</math>

Per exemple,
:<math>\Gamma(-2,5) = (-3,5)! = \Pi(-3,5) = {2\over -1}\cdot{2\over -3}\cdot{2\over -5} \sqrt{\pi} = {(-4)^3 3! \over 6!} \sqrt{\pi} = -{8 \over 15} \sqrt{\pi} \approx -0,9453.</math>

La funció de Pi no és, sens dubte, l'única manera d'estendre factorials a una funció definida en gairebé tots els valors complexos, ni tan sols l'única que és [[Anàlisi matemàtica|analítica]] allà on es defineixi. No obstant això, se sol considerar com la forma més natural d'ampliar els valors dels factors a una funció complexa. Per exemple, el [[teorema de Bohr-Mollerup]] estableix que la funció gamma és l'única funció que pren el valor 1 a 1, satisfà l'equació funcional ''<math>\Gamma (n+1) = n\Gamma (n)</math>'', és [[Funció meromorfa|meromorfa]] en els nombres complexos i és [[Funció logarítmica convexa|logarítmica convexa]] en l'[[eix real]] positiu. També hi ha una afirmació similar per a la funció Pi, usant l'equació funcional ''<math>\Pi (n) = n\Pi (n-1)</math>''.

No obstant això, existeixen [[Funció complexa|funcions complexes]] que probablement són més simples en el sentit de la teoria analítica de funcions i que interpolen els valors factorials. Per exemple, la [[funció gamma de Hadamard]] {{harv|Hadamard|1894}} que, a diferència de la funció Gamma, és una [[funció entera]].<ref>Peter Luschny, [http://www.luschny.de/math/factorial/hadamard/HadamardsGammaFunction.html ''Hadamard versus Euler – Who found the better Gamma function?''].</ref>

Euler també va desenvolupar una aproximació de producte convergent per als factorials no enters, que es pot considerar equivalent a la fórmula de la funció gamma anterior:

:<math>\begin{align}n! = \Pi(n) &= \prod_{k = 1}^\infty \left(\frac{k+1}{k}\right)^n\!\!\frac{k}{n+k} \\ &= \left[ \left(\frac{2}{1}\right)^n\frac{1}{n+1}\right]\left[ \left(\frac{3}{2}\right)^n\frac{2}{n+2}\right]\left[ \left(\frac{4}{3}\right)^n\frac{3}{n+3}\right]\cdots. \end{align}</math>

Tanmateix, aquesta fórmula no proporciona un mitjà pràctic de computar la funció Pi o gamma, ja que la seva taxa de convergència és lenta.

=== El factorial al pla complex ===
[[Fitxer:Factorial05.jpg|miniatura|Amplitud i fase de factorial d'[[Argument (anàlisi complexa)|argument complex]]|445x445px]]
La representació a través de la funció gamma permet avaluar el factor d'[[Argument (anàlisi complexa)|argument complex]]. En la imatge de la dreta es mostren les equilínies d'amplitud i fase de factorial. Fem <math>\ f=\rho \exp({\rm i}\varphi)=(x+{\rm i}y)!=\Gamma(x+{\rm i}y+1) </math>. Es mostren diversos nivells de mòdul constant (amplitud) <math>\rho =\rm const</math> i fase constant <math>\varphi=\rm const</math>. L'interval abasta el rang<math>~-3 \le x \le 3~</math>,<math>~-2 \le y \le 2~</math> amb el pas de la unitat. La línia ratllada mostra el nivell <math>\varphi=\pm \pi</math>.

Les línies primes mostren nivells intermedis de mòdul constant i fase constant. En els [[Pol (anàlisi complexa)|pols]]<math> x+ {\rm i}y \in \rm (enters ~ negatius)</math>, la fase i l'amplitud no estan definides. Les equilínies són denses a prop de les [[Singularitat matemàtica|singularitats]] al llarg de valors enters negatius de l'[[Argument (anàlisi complexa)|argument]].

Per a <math>|z|<1</math>, es poden utilitzar els [[Sèrie de Taylor|desenvolupament de Taylor]]:
:<math>z!=\sum_{n=0}^\infty g_n z^n.</math>
Els primers coeficients d'aquest desenvolupament són
{| class="wikitable"
|-
! <math>n</math>
! <math>g_n</math>
! aproximació
|-
| 0
| <math>1</math>
| <math>  1</math>
|-
| 1
| <math>-\gamma</math>
| <math>- 0,5772156649</math>
|-
| 2
| <math>\frac{\pi^2}{12}+\frac{\gamma^2}{2}</math>
| <math>  0,9890559955</math>
|-
| 3
| <math>-\frac{\zeta(3)}{3}-\frac{\pi^2\gamma}{12}-\frac{\gamma^3}{6}</math>
| <math>-0,9074790760</math>
|}

on <math>\gamma</math> és la [[constant d'Euler-Mascheroni]] i <math>\zeta</math> és la [[funció zeta de Riemann]]. Els [[Sistema algebraic computacional|sistemes d'àlgebra computacional]], com [[SAGE (programari matemàtic)|SageMath]], poden generar molts termes d'aquest desenvolupament.

=== Aproximacions de factorial ===
Per als grans valors de l'argument, es pot calcular aproximadament el valor del factorial a través de la integral de la [[funció digamma]], utilitzant la representació de la [[fracció contínua]]. Aquest enfocament es deu a [[Thomas Joannes Stieltjes]] (1894). Escrivint ''<math>z! = \exp(P(z))</math>,'' llavors ''<math>P(z)</math>'' és
: <math> P(z) = p(z) + \log(2\pi)/2 - z + \left(z+\frac{1}{2}\right)\log(z),</math>
Stieltjes va donar una fracció contínua per a  ''<math>p(z)</math>''
: <math>
p(z)=\cfrac{a_0}{z+
\cfrac{a_1}{z+
\cfrac{a_2}{z+
\cfrac{a_3}{z+\ddots}}}}
</math>
Els primers coeficients d' ''<math>a_n</math>'' són<ref name="dlmf5.10" >Digital Library of Mathematical Functions, http://dlmf.nist.gov/5.10</ref>
{| class="wikitable"
|-
! ''n''
! ''a''<sub>''n''</sub>
|-
| 0
| 1 / 12
|-
| 1
| 1 / 30
|-
| 2
| 53 / 210
|-
| 3
| 195 / 371
|-
| 4
| 22999 / 22737
|-
| 5
| 29944523 / 19733142
|-
| 6
| 109535241009 / 48264275462
|}

Hi ha una idea errònia que <math>\displaystyle\log(z!)=P(z)</math> o <math>\log(\Gamma(z\!+\!1))=P(z)</math> per a qualsevol complex ''<math>z\neq0</math>''. De fet, la relació a través del logaritme és vàlida només per a un rang de valors específic de ''<math>z</math>'' en la proximitat de l'eix real, mentre que <math>|\Im(\Gamma(z\!+\!1))| < \pi </math> . Com més gran sigui la part real de l'argument, més petit ha de ser la part imaginària. No obstant això, la relació inversa, ''<math>z! = \exp(P(z))</math>'', és vàlida per a tot el pla complex a part de zero. La convergència és pobra a prop de la part negativa de l'eix real; és difícil tenir una bona convergència de qualsevol aproximació a prop de les singularitats. Mentre <math>|\Im(z)| >2 </math> o <math>\Re(z)>2</math>, els 6 coeficients anteriors són suficients per a l'avaluació del factorial amb la complexa «doble» precisió. Per obtenir una major precisió, es poden calcular més coeficients per un esquema QD racional (algoritme QD de H. Rutishauser).<ref>Peter Luschny, [http://www.luschny.de/math/factorial/approx/continuedfraction.html ''On Stieltjes' Continued Fraction for the Gamma Function.''].</ref>

=== La no-extensibilitat als nombres enters negatius ===
La relació ''<math>n! = n(n - 1)!</math>'' permet computar el factorial d'un enter a partir del factorial d'un enter «més petit». La relació es pot invertir de manera que es pot calcular el factorial d'un enter donat el factorial d'un nombre enter «més gran»:

:<math>(n-1)! = \frac{n!}{n} .</math>

Tingueu en compte, però, que aquesta recursió no permet computar el factor d'un enter negatiu; ús de la fórmula per calcular ''<math>(-1)!</math>'' requeriria una [[Divisió entre zero|divisió per zero]] i, per tant, ens impedeix computar un valor factorial per a cada enter negatiu; de la mateixa manera, la funció gamma no està definida per a nombres enters negatius, encara que es defineix per a tots els altres nombres complexos).

== Productes i funcions de tipus factorial ==
Hi ha diverses seqüències d'enters similars als factorials que s'utilitzen en matemàtiques:

=== Doble factorial ===
{{main|Doble factorial}}
El producte de tots els [[Nombre senar|nombres sencers senars]] fins a un nombre senar ''<math>n</math>'' es diu el [[doble factorial]] de ''<math>n</math>'', denotat per ''<math>n!!</math>''.<ref name="callan">{{citar ref|títol=A combinatorial survey of identities for the double factorial|nom=David|cognom=Callan|arxiv=0906.1317|any=2009}}</ref> Això és,
:<math>(2k-1)!! = \prod_{i=1}^k (2i-1) = \frac{(2k)!}{2^k k!} = \frac {_{2k}P_k} {2^k} = \frac {{(2k)}^{\underline k}} {2^k}.</math>
Per exemple, ''<math>9!!=1\times3\times5\times7\times9=945</math>''.

La seqüència de factorials dobles per a ''<math>n=1, 3, 5, 7...</math>'',és ''<math>1, 3, 15, 105, 945, 10.395, 135.135...</math>'' {{OEIS|id=A001147}}

Es pot utilitzar la notació de doble factorial per simplificar l'expressió de determinades [[Primitives de funcions trigonomètriques|integrals trigonomètriques]],<ref>{{citar ref|cognom= Meserve |nom= B. E.
 | doi = 10.2307/2306136
 |exemplar= 7
 |publicació= The American Mathematical Monthly
 | mr = 1527019
 |pàgines= 425–426
 |títol= Classroom Notes: Double Factorials
 |volum= 55
 |any= 1948}}</ref> per proporcionar una expressió dels valors de la funció gamma en arguments mig-enters i el [[Volum d'una hiperesfera|volum d'hiperesferes]],<ref>{{citar ref|títol=Some dimension problems in molecular databases|nom=Paul G.|cognom=Mezey|any=2009|publicació=Journal of Mathematical Chemistry|volum=45|exemplar=1|pàgines=1–6|doi=10.1007/s10910-008-9365-8}}</ref> i per resoldre molts [[Combinatòria enumerativa|problemes de comptadors en combinatòria]], incloent comptar [[Arbre binari|arbres binaris]] amb fulles etiquetades i [[Aparellament (teoria de grafs)|coincidències perfectes]] en [[Graf complet|grafs complets]].<ref name="callan"/><ref>{{citar ref|cognom1= Dale |nom1= M. R. T.
 |cognom2= Moon |nom2= J. W.
 | doi = 10.1016/0378-3758(93)90035-5
 |exemplar= 1
 |publicació= Journal of Statistical Planning and Inference
 | mr = 1209991
 |pàgines= 75–87
 |títol= The permuted analogues of three Catalan sets
 |volum= 34
 |any= 1993}}</ref>

===Multifactorials===
{{Vegeu també|Nombre de Catalan}}
Una notació comuna relacionada és utilitzar múltiples punts d'exclamació per denotar un multifactorial, el producte dels enters en dos (<math>n!!</math>), tres (<math>n!!!</math>), o més passos. El doble factorial és la variant més utilitzada, però també es pot definir el triple factorial <math>n!!!</math> i així successivament.

Es pot definir el ''k''-èsim factorial, denotat per <math>n!^{(k)}</math>, recursivament per enters positius com
:<math> n!^{(k)} = \begin{cases}
n & \text{si } 0 < n \leq k \\
n((n-k)!^{(k)}) & \text{si } n > k
\end{cases}</math>
encara que vegeu la definició alternativa a continuació. A més, de manera similar a <math>0! = 1! / 1 = 1</math>, es pot definir:
:<math> n!^{(k)} = 1 \ \text{si } -k < n \leq 0</math>

Per a <math>n \geq 1</math> prou gran, la funció factorial única ordinària s'amplia a través de funcions multifactorials de la següent manera:

:<math>
\begin{align}
n! & = n!! \cdot (n-1)!!,\ n \geq 1 \\ 
   & = n!!! \cdot (n-1)!!! \cdot (n-2)!!!,\ n \geq 2 \\ 
   & = \prod_{i=0}^{k-1} (n-i)!^{(k)},\ \text{ per a } k \in \mathbb{Z}^{+}, n \geq k-1. 
\end{align}
</math>

Alguns matemàtics han suggerit una notació alternativa de  <math>n!_2</math> per al doble factorial i de manera similar  <math>n!_k</math> per a altres multifactorials, però això no s'ha fet un ús general. Una altra notació comuna és col·locar el paràmetre <math>k</math> com a subíndex com  <math>n!_{(k)}</math> per denotar els multifactorials definits anteriorment.

De la mateixa manera que  <math>n!</math> no està definit per a nombres enters negatius, i <math>n!!</math> no està definit per a nombres parells enters negatius, <math>n!^{(k)}</math> no està definit per a enters negatius divisibles per <math>k</math>.

===Primorial===
{{AP|Primorial}}
El [[primorial]] {{OEIS|id=A002110}} és similar al factorial, però es realitza els productes només amb [[Nombre primer|nombres primers]].

Per al {{mvar|n}}-èsim nombre primer  <math>p_n</math>, el primorial  <math>p_n\#</math> es defineix com el producte dels primers <math>n</math> nombres primes:<ref name="mathworld">{{Mathworld | urlname=Primorial | title=Primorial}}</ref><ref name="OEIS A002110">{{OEIS|id=A002110}}</ref>

:<math>p_n\# \equiv \prod_{k=1}^n p_k</math>,

on  <math>p_k</math> és el {{mvar|k}}-èsim nombre primer. Per exemple, <math>p_5\#</math> significa el producte dels cinc primers nombres primers:

:<math>p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310.</math>

===Superfactorial===
{{Vegeu també|Nombres grans}}
[[Neil Sloane]] i [[Simon Plouffe]] van definir un '''superfactorial''' en ''The Encyclopedia of Integer Sequences'' (Acadèmic Press, 1995) com el producte dels primers factorials de ''<math>n</math>''. Així que el superfactorial de 4 és

:<math> \operatorname{sf}(4)=1! \times 2! \times 3! \times 4!=288. </math>

En general

:<math>
  \operatorname{sf}(n)
  =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1}
  =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.
 </math>

De forma equivalent, un superfactorial es calcula amb la fórmula
:<math>
  \operatorname{sf}(n)
  =\prod_{0 \le i < j \le n} (j-i)
 </math>
que és el [[Determinant (matemàtiques)|determinant]] d'una [[Matriu de Vandermonde|matriu Vandermonde]].

La seqüència dels superfactorials {{OEIS|id=A000178}} comença:
:<math>\operatorname{sf}(0) = 1</math>
:<math>\operatorname{sf}(1) = 1</math>
:<math>\operatorname{sf}(2) = 2</math>
:<math>\operatorname{sf}(3) = 12 </math>
:<math>\operatorname{sf}(4) = 288</math>
:<math>\operatorname{sf}(5) = 34.560</math>
:<math>\operatorname{sf}(6) = 24.883.200</math>
:<math>\operatorname{sf}(7) = 125.411.328.000</math>

====Definició alternativa====
{{Vegeu també|Tetració}}

[[Clifford Pickover]] en el seu llibre de 1995 ''Keys to Infinity'' va utilitzar una nova notació, <math>n\$</math>, per definir el superfactorial
:<math>n\$\equiv \begin{matrix} \underbrace{ n!^{{n!}^{{\cdot}^{{\cdot}^{{\cdot}^{n!}}}}}} \\ n! \end{matrix}, </math>
o com,
:<math>n\$=n! [4] n! </math>
on la notació [4] denota l'[[hiperoperador]] 4, o usant la [[notació de Knuth]],
:<math>n\$=(n!)\uparrow\uparrow(n!). </math>
La seqüència d'aquests superfactorials comença
:<math>1\$=1 </math>
:<math>2\$=2^2=4 </math>
:<math>3\$=6 [4] 6={^6}6=6^{6^{6^{6^{6^6}}}}.</math>
Aquí, com és habitual per a l'exponenciació composta, l'agrupació s'entén que de dreta a esquerra:
:<math>a^{b^c}=a^{(b^c)}.</math>

===Hiperfactorial===
En ocasions es considera l''''hiperfactorial''' de ''<math>n</math>''. S'escriu com ''<math>H(n)</math>'' i es defineix per
:<math>
  H(n)
  =\prod_{k=1}^n k^k
  =1^1\cdot2^2\cdot3^3\cdots(n-1)^{n-1}\cdot n^n.
 </math>

Els primers valors de l'hiperfactorial {{OEIS|id=A002109}} són 
:''<math>H(1) = 1</math>''
:''<math>H(2) = 4</math>''
:''<math>H(3) = 108</math>''
:''<math>H(4) = 27.648</math>''

L'índex de creixement asimptòtic és
:  <math>H(n) \sim A n^{(6n^2 + 6n + 1)/12} e^{-n^2/4}</math>

on ''<math>A = 1,2824...</math>'' és la [[Constant de Glaisher-Kinkelin|constant de Glaisher–Kinkelin]].<ref>{{MathWorld | urlname=Glaisher-KinkelinConstant | title=Glaisher–Kinkelin Constant}}</ref> ''<math>H(14) = 1,8474 \times10^{99}</math>'' és gairebé igual a un [[googol]], i <math>H(15) = 8,0896 \times10^{116}</math> és gairebé igual que el [[nombre de Shannon]], el nombre teòric de possibles jocs d'escacs. En comparació amb la definició Pickover del superfactor, l'hiperfactorial creix relativament lentament.

La funció hiperfactorial es pot generalitzar a [[Nombre complex|nombres complexos]] d'una manera similar a la funció factorial. La funció resultant es diu [[funció K]].

==Referències==
{{referències}}

==Bibliografia==
* {{citar ref|nom=M. J. |cognom=Hadamard
|títol=Sur L’Expression Du Produit 1·2·3· · · · ·(n−1) Par Une Fonction Entière
|editorial=''OEuvres de Jacques Hadamard'', Centre National de la Recherche Scientifiques, Paris, 1968
|url=http://www.luschny.de/math/factorial/hadamard/HadamardFactorial.pdf|any=1894 |llengua=francès}}
* {{citar ref|nom=Srinivasa|cognom=Ramanujan|títol=The lost notebook and other unpublished papers
|editorial=Springer Berlin |pàgina=339 |any=1988|isbn=3-540-18726-X}}

== Vegeu també ==
{{Div col|cols=2}}
* [[Desarranjament]]
* [[Factoràdic]]
* [[Factorial alternatiu]]
* [[Factorial Bhargava]]
* [[Factorial esquerre]]
* [[Factorial exponencial]]
* [[Factorió]]
* [[Funció digamma]]
* [[Nombre triangular]]
* [[Primer factorial]]
* [[Símbol de Pochhammer]]
* [[Zero final]]
{{Div col end}}

== Enllaços externs ==
{{Commonscat}}
* {{springer|title=Factorial|id=p/f038080}}
* {{MathWorld | urlname=Factorial | title=Factorial}}
* {{PlanetMath | urlname=Factorial | title=Factorial}}
* [http://factorielle.free.fr Factorial n!] (en anglès, francès i txec).
* [http://www.elektro-energetika.cz/calculations/faktorial.php?language=ca Factorial n! (n≤40000)]

{{ORDENA:Factorial}}
[[Categoria:Teoria de nombres]]