Mostra la font per a Funció

{{polisèmia}}
[[Fitxer:Graph of example function.svg|miniatura|En vermell, representació gràfica d'una funció ''f'' en el [[pla cartesià]]. L'eix horitzontal, en blau, representa les dades d'entrada o l'origen ''x'' i l'eix vertical, en groc, representa la sortida o resultat, de manera que el gràfic es compon de [[Parell ordenat|parells ordenats]] (''x'',''f''(''x'')).]]
En [[matemàtiques]], una '''funció''' és la idealització de com una quantitat variable depèn d'una altra quantitat. Per exemple, les [[polinomi|funcions polinòmiques]], les funcions [[trigonometria|trigonomètriques]], funcions que transformen formes geomètriques en formes geomètriques (per exemple, les [[Rotació (matemàtiques)|rotacions]], [[translació|translacions]], [[Homotècia|homotècies]]...), funcions que transformen una forma geomètrica en un nombre (per exemple, la llargària d'un [[segment]], l'[[àrea]] delimitada per un [[polígon]]...) i, en general, funcions que transformen elements d'un conjunt de partida ''A'' en elements d'un conjunt d'arribada ''B''.

== Definicions ==
=== Definició intuïtiva ===
[[Fitxer:Function machine2-ca.svg|miniatura|Una funció pren un valor ''x'' com a entrada, del qual en treu un valor de sortida ''f(x)''. Aquest gràfic és una metàfora que simplifica el concepte de funció com si es tractés d'un procés.]]
[[Fitxer:Function_color_example_3.svg|miniatura|Funció que associa a cadascuna de les quatre formes colorades el seu color.]]
Una funció és una regla o procediment que estableix una determinada sortida per cada entrada. Per exemple:
*Una pedra que es deixa caure d'un edifici triga un temps diferent a arribar a terra segons el pis del qual es deixa caure. Per exemple, pot prendre 2 segons si es deixa caure del 2n pis o 4 segons si es deixa caure del 8è. Tenint la coneixença del pis del qual es deixa caure la pedra, la sortida de la funció seria el temps que triga la pedra a arribar a terra.
*En un grup de gent, s'hi trobaran diverses persones a les quals els agrada algun color: vermell, taronja, groc, verd, blau, indi i morat. L'entrada de la funció podria ser la persona i l'eixida seria un dels set colors. Els colors favorits són una funció de la persona al color. A una persona, per exemple, li pot agradar el vermell, mentre que a una altra pot agradar el morat. Tot i això, és perfectament possible que a dues o més persones els agrade el mateix color.
*Per a un exemple de funció, sigui ''X'' un conjunt de quatre formes: un triangle vermell, un rectangle groc, un hexàgon verd i un quadrat vermell; i si fos ''Y'' un conjunt  compost de cinc colors: vermell, blau, verd, rosa i groc. Vincular cada forma amb el seu color és una funció de ''X'' a ''Y'': cada forma es vincula amb un color. No hi ha forma sense vincle i cap de les formes es vincula a dos o més colors. Aquesta funció s'anomenarà com la "funció del color-de-la-forma".

L'entrada d'una funció s'anomena [[Argument (matemàtiques)|''argument'']], i la sortida s'anomena [[Funció real|''valor'']]. El conjunt de totes les entrades permeses per una funció determinada s'anomena [[Domini (matemàtiques)|''domini'']] de la funció, mentre que el conjunt de les sortides permeses s'anomena ''[[codomini]]''.
D'aquesta manera, en l'exemple de la "funció del color-de-la-forma", el domini és el conjunt de quatre formes i el codomini consisteix en els cinc colors. El concepte d'una funció no requereix que cada possible sortida sigui el valor de cada argument, per exemple: el color blau no és el color de cap de les quatre formes en ''X''.

Altres exemples:
*Una funció en què el domini se selecciona com el conjunt de [[nombre natural|nombres naturals]] (0, 1, 2, 3, 4...), i el codomini és el conjunt d'[[Nombre enter|enters]] (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...). La funció s'associa a qualsevol nombre natural ''n'', el nombre 4-''n''. Per exemple, per a 1, s'associa el nombre 3 i per a 10 s'associa el nombre -6.
*En una funció que té un conjunt de polígons com a domini i un conjunt de nombres naturals com a codomini, la funció pot associar el polígon amb el nombre de vèrtex. Per exemple, un triangle s'associa amb el 3, un quadrat amb el 4, etc.

El terme [[Recorregut (matemàtiques)|''recorregut'']] s'utilitza sovint tant per al codomini com per al conjunt dels valors que la funció pren en la pràctica.

=== Definició ===
Una funció,<ref name="monografias">{{ref-web |url = http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml|títol = Monografias.com: Ayuda Matemáticas ESO.| consulta = 2010|nom = Alejandro|cognom = Carreiras|pàgines = 2. Funciones|llengua = castellà | consultat = 22 abril 2013}}</ref> (o aplicació o transformació) ''f'' és una relació entre un conjunt donat ''X'' (el domini) i un altre conjunt d'elements ''Y'' (el codomini), de manera que a cada element ''x'' del domini li correspon un únic element del codomini ''f''(''x''). Es denota per:
{{equació|
<math>f \colon X \to Y \,</math>
||left}}

Normalment, s'escriu ''f''(''x'')=''y'', en què ''y'' és l'únic element del conjunt ''Y'' al qual apunta l'element ''x'' de ''X''.

Habitualment, el terme '''funció''' s'utilitza quan el codomini es compon de valors numèrics, reals o complexos. Llavors, es parla de funció real o funció complexa, mentre que a les funcions entre conjunts qualssevol se les anomena '''aplicacions'''.

=== Definició  formal ===
Una funció és una terna (''A'',''B'',''f''), en què ''A'' i ''B'' són dos conjunts qualssevol i ''f'' és una [[correspondència]] entre aquests dos conjunts, és a dir, un subconjunt del [[producte cartesià]]
<math> A \times B </math>, que compleix:

:<math>\forall (x,y)\in f</math>, si <math>(x,z) \in f \Rightarrow y = z</math>

És a dir, a un mateix element del conjunt ''A'' li correspon un únic element del conjunt ''B''. Segons aquesta definició, doncs, si considerem la terna <math> \left( \mathbb{R},\mathbb{R},\left\{ \left( x, y\right) \in \mathbb{R}^{2} : x^{2}+y^{2}=k^{2} \right\} \right) </math> per a un valor fixat <math>k\in \mathbb{R} </math> (''k'' > 0), és a dir, la circumferència de radi ''k'' definida com una correspondència entre dos cossos de nombres reals, no és una funció, ja que certs elements del primer conjunt, com el punt 0 (i més generalment, tots els reals ''x'' tals que -''k'' < ''x'' < ''k''), apareixen en dues de les parelles de la correspondència: (0,''k'') i (0,−''k'') (i més generalment, <math>(x, \sqrt{k^2-x^2})</math> i <math>(x, -\sqrt{k^2-x^2})</math>)

Si <math>(a,b)\in f</math>, es diu que ''b'' és la imatge de ''a'', cosa que es nota com <math>f(a)=b</math>, i que ''a'' pertany a l'antiimatge de ''b'' (cal notar que, per la definició, ''b'' pot ser imatge de més d'un element de ''A'', però ''a'' no pot tenir més d'una imatge).

Generalment, una funció''' o aplicació se simbolitza:

::<math>f\colon \Omega \subseteq A \to B</math>

en què <math>\Omega</math> és el [[Domini (matemàtiques)|domini]] de la funció, és a dir, el conjunt de valors de ''A'' en què ''f'' està definida.

El primer que va utilitzar la paraula ''funció'' fou [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] ([[1646]]-[[1716]]). La definició formal va ser establerta per [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] ([[1805]]-[[1859]]).

Leibniz fou, juntament amb [[Isaac Newton|Newton]], un dels pares del [[càlcul infinitesimal]]. Independentment, els dos científics van desenvolupar el concepte de funció i derivada. Els conceptes que Newton feia servir eren el de [[Method of Fluxions|fluxió i fluent]]. En el cas de la derivació, es tractava de trobar una fluxió (derivada) a un determinat fluent (funció). Mentre que en el cas integral, Newton parlava de fluxió (funció) i fluent (integral).<ref>{{citar ref|títol=Fluxion|obra=Enciclopèdia Britannica|llengua=anglès|consulta=4 maig 2013|url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/211566/fluxion}}</ref><ref>{{citar ref|nom=Tomas|cognom=Schonbek|llengua=anglès|consulta=2013-05-04|any=2009|editor=Florida Atlantic University|url=http://math.fau.edu/schonbek/Analysis/ia1fa09.html}}</ref>

== Notació i nomenclatura ==
Al domini també se l'anomena ''conjunt d'entrada'' o ''conjunt inicial''. Es denota per <math>{\rm dom}(f)\,</math> o <math>{\rm dom}_f\,</math>. Als elements del domini, se'ls anomena habitualment ''argument de la funció''.

El codomini, també anomenat ''conjunt d'arribada'', ''conjunt final'' o ''rang'' de f, se li denota per:
{{equació|
<math>{\rm codom}(f)\,</math> o <math>{\rm codom}_f</math>
||left}}

Cal assenyalar que el terme ''rang'' és ambigu en la literatura, ja que pot fer referència tant al codomini com al conjunt imatge. Per això, és aconsellable usar el terme ''codomini''.

Si x és un element del domini, a l'element del codomini assignat per la funció i denotat per f(x) se l'anomena ''valor'' o ''imatge de la funció'' f de x. Al subconjunt del codomini format per tots els valors o imatges se l'anomena ''imatge'', ''abast'' o ''recorregut de la funció''. Es denota per <math>{\rm im}(f)\,</math> o <math>{\rm im}_f\,</math> o <math>f(X)\,</math>. 
{{equació|
<math> \mathrm{im}(f) = f(X):= \left\{y \in Y \;|\; \exists x \in X, \; f(x)=y\right\}</math>
||left}}

Una preimatge de <math>y \in Y</math> és algun <math>x\in X</math> tal que <math>f(x)=y\,</math>.

Recordeu que pot haver-hi alguns elements del codomini que no siguin imatge d'un element del domini, però que cada element del domini és preimatge d'almenys un i només un element del codomini.

=== Exemples ===
[[Fitxer:Aplicación 2.svg|framed|Funció amb domini ''X'' i Rang ''Y'']]
* La funció definida per <math>f(x)=x+1\,</math>, té com a domini, codomini i imatge tots els nombres reals (<math>\mathbb {R}</math>).
* Per a la funció <math>g \colon {\mathbb{R}} \to {\mathbb{R}}</math> tal que <math>g(x)=x^2\,</math>, en canvi, si bé el seu domini i codomini són iguals a <math>\mathbb{R}</math>, només tindrà com a imatge dels valors compresos entre 0 i + ∞.

En la figura, es pot apreciar una funció <math>f \colon X \to Y \,</math>, amb:
: <math>{\rm D}_f = X = \{1, 2, 3,4\} \,</math>
: <math>{\rm C}_f \ = \; Y = \{a, b, c, d \} \,</math>

Tingueu en compte que, a cada element de ''X'', li correspon un únic element de ''Y''. A més, l'element ''a'' de ''Y'' no té origen, i l'element ''b'' en té dos (l'<math>1</math> i el <math>4</math>). Finalment,

: <math>{\rm Im}_f = \{b, c, d\}\subseteq Y.</math>

:Aquesta funció representada com a [[relació matemàtica|relació]], queda: <math>X\times Y = \{(1,b), (2,c), (3,d), (4,b) \}</math>

== Funcions exhaustiva, injectiva, bijectiva ==
=== Funció exhaustiva (suprajectiva) ===
[[Fitxer:Surjection.svg|miniatura|100px|Exemple de funció exhaustiva]]
En el cas de trobar-se, ''almenys'' un element x per a cada element y, la funció s'anomena '''''exhaustiva'''''.

En matemàtiques, una funció <math>f \colon X \to Y \,</math> és una [[funció exhaustiva]] ('''epijectiva''', '''suprajectiva''' o '''surjectiva'''), si està aplicada sobre tot el [[codomini]], és a dir, quan la [[Imatge (matemàtiques)|imatge]] <math>Im_f=Y\,</math>.

Formalment,

: <math>\forall y\in Y : \exists x\in X,\ f(x) = y</math>

=== Funció injectiva ===
[[Fitxer:Injection.svg|miniatura|100px|Exemple de funció injectiva]]
En el cas de trobar-se, ''al màxim'' un element x per cada element y, la funció s'anomena '''''injectiva'''''.

En matemàtiques, una funció <math>f \colon X \to Y \,</math> és una [[funció injectiva]] o '''un és a un''' si per cada [[Imatge (matemàtiques)|Imatge]] de <math>f\,</math> li correspon un únic ''origen'' del [[domini de definició|domini]].

Formalment,

: <math>\forall x_1,x_2 \in X : f(x_1) = f(x_2) \rarr x_1 = x_2,</math> que és equivalent a,

: <math>\forall x_1,x_2 \in X : x_1 \neq x_2 \rarr f(x_1)\neq f(x_2)</math>

Una funció injectiva compleix la propietat d'''injectivitat''.

=== Funció bijectiva ===
[[Fitxer:Bijection.svg|miniatura|100px|Exemple de funció bijectiva]]

En matemàtiques, una funció <math>f \colon X \to Y \,</math> és una [[funció bijectiva]] si és al mateix temps [[funció injectiva|injectiva]] i [[funció exhaustiva|exhaustiva]].

Formalment,

: <math>\forall y\in Y : \exists !\ x\in X,\ f(x) = y</math>

Les funcions bijectives són interessants per ser aquesta una condició necessària i suficient perquè la funció disposi d'una [[Funció inversa|inversa]].<ref name=Bakker>{{citar ref|títol=§9.6,9.7: Functions. Part IV. Lecture #23|cognom=Bakker|nom=Dr. Lennard F.|editor=College of Physical and Mathematical Sciences - Brigham Young University|obra=Math 290|llengua=anglès|any=2013|consulta=4 maig 2013|url=http://www.math.byu.edu/~bakker/M290/Lectures/Lec23.pdf}}</ref>

== Representació de funcions ==
Una funció es pot definir per qualsevol condició matemàtica que relacioni cada argument (variable d'entrada) amb el corresponent valor de sortida. Si el domini és finit, una funció ''f'' s'ha de definir per via d'una tabulació de tots els possibles arguments ''x'' i els seus corresponents valors de la funció ''f(x)''. De manera més comuna, una funció es defineix per una [[fórmula]], o (més generalment) un [[algorisme]] -que és una recepta que explica com computar el valor de ''f(x)'' donada qualsevol ''x'' en el domini.
Existeixen moltes més maneres de definir funcions. N'hi ha exemples que inclouen [[Funció definida a trossos|definició a trossos]], [[Mètode inductiu|inducció]] o [[recursió]],  [[Tancament inductiu (matemàtiques)|tancament]] algebraic o analític, [[límit (matemàtiques)|límit]]s, [[continuació analítica]], [[sèrie (matemàtiques)|sèries]] infinites, o solucions d'[[integral]]s o d'[[Equació diferencial|equacions diferencials]]. El [[càlcul lambda]] forneix una sintaxi potent i flexible per a definir i combinar funcions de diverses variables. En matemàtiques avançades, algunes funcions existeixen per causa d'un [[axioma]].

Les funcions es poden presentar de diferents maneres, la manera de representar-les es definirà en les seccions següents.

=== Gràfics ===
[[Fitxer:Function_x^3.svg|miniatura|y=x<sup>3</sup>]]
La [[gràfica d'una funció]] és un conjunt de parells ordenats ''F''. Això és una abstracció de la idea d'una gràfica com una imatge mostrant la funció dibuixada sobre un parell d'eixos coordenats, per exemple, (2,8), en què el punt se situa sobre el 2 en l'eix horitzontal i a la dreta del 8 en l'eix vertical. Aquest seria, per exemple, un dels punts de la gràfica y=x<sup>3</sup>.
La gràfica permet visualitzar les tendències en la funció. És molt utilitzada per a les funcions contínues típiques del càlcul, encara que també n'hi ha per a funcions discretes.

=== Fórmules i algorismes ===
Utilitzant una relació matemàtica descrita mitjançant una expressió matemàtica: equacions de la forma <math>y=f(x)</math>. Quan la relació és funcional, és a dir, satisfà la segona condició de la definició de funció, es pot definir una funció que es diu ''definida per la relació''. Llevat que s'indiqui el contrari, se suposa en aquests casos que el domini és el major possible (respecte a inclusió) i que el codomini són tots els reals. El domini seleccionat es diu el ''domini natural'' de la funció.
: Exemple: ''y'' = ''x'' +2. Domini natural és tots els reals.
: Exemple: "Per a tot ''x'', nombre enter, ''y'' val ''x'' més dues unitats".

Diferents fórmules o algorismes poden descriure la mateixa funció. Per exemple, ''f(x)=(x+1)(x-1)'' és exactament la mateixa funció que ''f(x)=x<sup>2</sup>-1''.<ref>{{citar ref|títol=Theory of Recursive Functions and Effective Computation|cognom=Rogers, Jr.|nom= Hartley|editor=MIT Press|pàgines=pp.1-2.|any=1987|llengua=anglès|isbn=0-262-68052-1}}</ref> A més, una funció no necessita ser descrita per una fórmula, expressió o algorisme, ni té necessitat de tractar nombres; en realitat, el domini i codomini d'una funció podria tractar amb conjunts arbitraris. Un exemple de funció que actua en entrades no numèriques pren paraules en català com ''entrada'' i retorna la primera lletra de la paraula en qüestió com a ''sortida''.
La funció [[factorial]]:
:<math>!: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math>
és definida pel següent algorisme inductiu: 0! es defineix com a 1, i si ''n'' ≥ 1, ''n''! es defineix com a <math>n (n-1)!</math>. Recorrent a la definició anterior de factorial per cada vegada que es calcula el factorial de nivell inferior. De manera diferent a altres funcions, la funció factorial es denota amb el símbol d'exclamació (que serveix com a símbol de la funció) després de la variable ([[Notació polonesa inversa|notació postfix]]).

=== Computacionalment ===
Les funcions que converteixen enters en enters, o cadenes finites en cadenes finites, poden definir-se sovint com un algorisme, que dóna una descripció precisa d'una sèrie de passos de computació que dóna com a sortida la funció, segons l'entrada donada. Les funcions definibles per un algorisme s'anomenen ''[[funció computable|funcions computables]]''. Per exemple, l'[[Algorisme d'Euclides|algorisme euclidià]] dóna un procés precís per tal de computar el [[màxim comú divisor]] de dos enters positius. Moltes de les funcions estudiades en el context de la teoria de nombres són computables. 
Els resultats fonamentals de la [[teoria de computabilitat]] mostren que hi ha funcions que es poden definir precisament, sense ser computables. A més, en el sentit de la [[cardinalitat]], quasi totes les funcions d'enter a enter no són computables. El nombre de funcions computables d'enter a enter és [[numerable]], a causa del caràcter computable dels possibles algorismes i amb els resultats del càlcul combinatori es pot calcular un nombre finit de possibles algorismes. El nombre de totes les funcions d'enters a enters és major: té la mateixa cardinalitat que els [[nombre real|nombres reals]]. D'aquesta manera, la majoria de les funcions d'enter a enter no són computables. Exemples específics de funcions no computables són coneguts, per exemple la funció del [[castor enfeinat]] i funcions relacionades amb el [[problema de la parada]] i altres [[problemes indecidibles]].

=== Amb taules ===
Com a tabulació: taula que permet representar alguns valors discrets de la funció.
Exemple:
''X''|-2 -1 0 1 2 3
''I''|0 1 2 3 4 5.

Com a parells ordenats: parells ordenats, molt usats en teoria de grafs.
: Exemple: ''A'' = {(-2, 0), (-1, 1), (0, 2), (1, 3), ... (''X'', ''x'' +2)}


{|  style="margin:auto; width:200px;" border="2"
|- align=center
| 5 || || || || || || ''X''
|- align=center
| 4 || || || || || ''X'' ||
|- align=center
| 3 || || || || ''X'' || ||
|- align=center
| 2 || || || ''X'' || || ||
|- align=center
| 1 || || ''X'' || || || ||
|- align=center
| 0 || ''X'' || || || || ||
|- align=center
| ''y'' / ''x'' || -2|| -1||0 ||1 || 2 || 3
|}

== Propietats bàsiques ==
Les funcions tenen propietats bàsiques generals i nocions comunes. En aquesta selecció, ''f'' és una funció amb domini ''X'' i codomini ''Y''.

=== Imatge i antiimatge ===
{{principal|Imatge (matemàtiques)}}
Si ''A'' és un subconjunt del domini ''X'', aleshores ''f(A)'' és el subconjunt del codomini ''Y'', que consisteix en totes les imatges d'elements d'A. Es diu que ''f(A)'' és la ''imatge'' de A sota ''f''. La ''imatge'' de ''f'' ve donada per ''f(X)''. Per altra banda, la ''imatge inversa'' (o ''preimatge'', ''imatge inversa completa, antiimatge'') d'un subconjunt ''B'' del codomini ''Y'' sota una funció ''f'' és el subconjunt del domini ''X'' definit per:
:<math>f^{-1}(B) = \{x \in X : f(x) \in B\}.</math>

Per exemple, la preimatge de {4,9} sota la funció ''f(x)=x<sup>2</sup>'' és el conjunt {-3,-2,2,3}. El terme [[Recorregut (matemàtiques)|''recorregut'']] es refereix normalment a la imatge,<ref name = "standard">{{citar ref|títol=Quantities and Units - Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology|editor=ISO/IEC|obra=ISO 80000-2|data=2009-12-01|llengua=anglès|pàgines=pp.15}}</ref> però a vegades es refereix al codomini.

Per definició d'una funció, la imatge d'un element ''x'' del domini és sempre un sol element ''y'' del codomini. De manera inversa, tot i això, la preimatge d'un conjunt [[singletó]] (un conjunt amb exactament un element) es podria, en general contenir qualsevol nombre d'elements. Per exemple ''f(x)=7'' (la [[funció constant]] que pren valor 7), aleshores, la preimatge de {5} és el conjunt buit, però la preimatge de {7} és el domini complet. És usual escriure ''f''<sup>−1</sup>({''b''}), per exemple:

:<math>f^{-1}(b) = \{x \in X : f(x) = b\}.</math>

Aquest conjunt s'anomena sovint la [[fibra (matemàtiques)|''fibra'']] de ''b'' sota ''f''.
L'ús de ''f(A)'' per tal de denotar la imatge d'un subconjunt ''A''⊆''X'' és consistent sempre que algun dels subconjunts del domini sigui també un element del domini. En alguns camps (e.g., en teoria de conjunts, en què els [[ordinal]]s són també conjunts d'ordinals) és convenient o fins i tot necessari distingir-ne els dos conceptes; la notació usual és ''f[A]'' per al conjunt { ''f''(''x''): x ∈ ''A'' }. De manera semblant, alguns autors utilitzen claudàtors per a evitar la confusió entre la imatge inversa i la funció inversa. D'aquesta manera, s'escriuria ''f''<sup>-1</sup>[''B''] i ''f''<sup>-1</sup>[''b''] per a la preimatge d'un conjunt i un singletó.

=== Composició de funcions ===
{{principal|Composició de funcions}}
[[Fitxer:Function machine5.svg|miniatura|Una funció de composició ''g''(''f''(''x'')) es pot visualitzar com a composició de dos ''processos''. El primer pren l'entrada ''x'' i dóna com a sortida ''f''(''x''). El segon pren ''f''(''x'') i dóna com a sortida ''g''(''f''(''x'')).]]
La ''composició de funcions'' de dues funcions pren la sortida d'una funció com l'entrada per a una altra. Més específicament, la composició de ''f'' amb una funció ''g'':&nbsp;''Y''&nbsp;→&nbsp;''Z'' és la funció <math>g \circ f: X \rightarrow Z</math> definida per
:<math>(g \circ f)(x) = g(f(x)).</math>
Això és, el valor de ''x'' s'obté primer aplicant ''f'' a ''x'' per obtenir ''y'' = ''f''(''x'') i després aplicant ''g'' a ''y'' per obtenir ''z'' = ''g''(''y''). En la notació <math>g\circ f</math>, la funció de la dreta, ''f'', actua primer i la funció de l'esquerra, ''g'', és el segon pas, de manera que s'ha de llegir de l'interior del parèntesi a l'exterior, no d'esquerra a dreta, com es faria en català. La notació es pot memoritzar llegint "''g'' de ''f''" o "''g'' després de ''f''". La composició <math>g\circ f</math> és definida només quan el codomini ''f'' és el domini de ''g''. Assumint que la composició es fa en l'ordre contrari, <math>f\circ g</math> no necessita ser definida. Fins i tot si, per exemple, el codomini de ''f'' és el codomini de ''g'', no és veritat en general que
:<math>g \circ f = f \circ g.</math>
Això vol dir, que l'ordre de composició és important. Per exemple, si se suposa ''f''(''x'')&nbsp;= ''x''<sup>2</sup> i ''g''(''x'')&nbsp;= ''x''+1. Aleshores, ''g''(''f''(''x''))&nbsp;= ''x''<sup>2</sup>+1, mentre que ''f''(''g''(''x''))&nbsp;= (''x''+1)<sup>2</sup>, que resulta ''x''<sup>2</sup>+2''x''+1, que és una funció diferent.

=== Funció identitat ===
{{principal|Funció identitat}}
L'única funció d'un conjunt ''X'' que dóna com a resultat de cada element l'element mateix s'anomena ''funció identitat per'' ''X'', i és típicament denotada per id<sub>''X''</sub>. Cada conjunt d'una funció té la seva pròpia funció identitat; aleshores, el subescrit no pot ometre's si no és que es pugui inferir del context. Sota composició, una funció identitat és "neutral": si ''f'' és qualsevol funció de ''X'' a ''Y'', aleshores
:<math>\begin{align}
 f \circ \mathrm{id}_X &= f, \\
 \mathrm{id}_Y \circ f &= f.
\end{align}</math>

=== Restriccions i extensions ===
{{principal|Restricció (matemàtiques)}}
De manera informal, la restricció d'una funció és el resultat d'escapçar el seu domini. Més precisament, si ''S'' és qualsevol subconjunt d'''X'', la restricció de ''f'' a ''S'' és la funció ''f|<sub>S</sub>'' de ''S'' a ''Y'', de manera que ''f|<sub>S</sub>(s)=f(s)'' per tota s a S. Si g és una restricció de ''f'', aleshores es diu que ''f'' és una extensió de ''g''.

La sobreescriptura de ''f'': ''X→ Y'' per ''g'': ''W → Y'' (anomenada també ''unió de sobreescriptura'') és una extensió de g denotada com a ''(f ⊕ g): (X ∪ W) → Y''. La gràfica o graf d'aquesta és la unió de conjunts teòrics dels grafs ''g'' i ''f|<sub>X \ W</sub>''. D'aquesta manera, es relaciona qualsevol element del domini ''g'' amb la seva imatge sota ''g'', i qualsevol altre element del domini ''f'' amb la seva imatge sota ''f''. Sobreescriure és una operació associativa; té la funció buida com a element d'identitat. Si ''f|<sub>X ∩ W</sub>'' i ''g|<sub>X ∩ W</sub>'' són puntualment iguals (e.g., els dominis de ''f'' i ''g'' són disjunts), aleshores la unió de ''f'' i ''g'' és definida com a igual a la seva funció de sobreescriptura. Aquesta definició es concorda amb la definició d'unió per [[Relació binària|relacions binàries]].

=== Funció inversa ===
{{principal|Funció inversa}}
Una ''funció inversa'' per a ''f'', que es denota com a ''f''<sup>-1</sup>, és una funció en la direcció contrària, de ''Y'' a ''X'', que satisfà:
:<math>f \circ f^{-1} = id_Y, f^{-1} \circ f = id_X.</math>
Això és, les dues possibles composicions de ''f'' i de ''f''<sup>-1</sup> necessiten ser respectivament mapes de ''X'' i de ''Y''.

Com a exemple simple, si ''f'' converteix una temperatura en graus Celsius ''C'' a graus Fahrenheit ''F'', la funció que converteix els graus Fahrenheit a graus Celsius seria una ''f''<sup>−1</sup> adequada:
:<math>\begin{align}
 f(C) &= \frac {9}{5} C + 32 \\
 f^{-1}(F) &= \frac {5}{9} (F - 32)
\end{align}</math>

Una inversa com aquesta existeix si i només si ''f'' és bijectiva.<ref name=Bakker/> En aquest cas, ''f'' s'anomena ''invertible''. Les notacions <math>g \circ f</math> (o, en alguns textos, només <math>gf</math>) i ''f''<sup>-1</sup> són aptes per a la multiplicació i notació recíproca. Amb aquesta analogia, les funcions d'identitat són com les d'[[identitat multiplicativa]], 1, i les funcions inverses són com les [[Inversa multiplicativa|recíproques]] (d'ací la notació).

== Tipus de funcions ==
=== Funcions de valor real ===
Una funció de valor real ''f'' és una funció que, com a codomini, té un conjunt de [[Nombre real|nombres reals]] o un [[subconjunt]] d'aquests. Si, a més, el domini és també un subconjunt de reals, ''f'' és una funció de valor real de variable real. L'estudi d'aquestes funcions s'anomena ''[[anàlisi real]]''.

Les funcions de valor real tenen també propietats d'operació a nivell de punts. Això seria que, donades dues funcions
:''f'', ''g'': ''X'' → ''Y''
en què ''Y'' és un subconjunt de reals (i ''X'' és un conjunt arbitrari), la seva suma (puntual) ''f''+''g'' i el seu producte ''f''&nbsp;⋅&nbsp;''g'' són funcions amb el mateix domini i codomini. Es defineixen per les fórmules:
:<math>\begin{align}
(f+g)(x) &= f(x)+g(x), \\
(f\cdot g)(x) &= f(x) \cdot g(x). 
\end{align}</math>

En un mode similar, l'[[anàlisi complexa]] estudia funcions de les quals el domini i codomini és un conjunt dels [[Nombre complex|nombres complexos]]. En la majoria de situacions, el domini i codomini s'entenen pel context, i només la relació entre entrada i sortida es dóna, però si <math>f(x) = \sqrt{x}</math>, es limita a les variables reals, el domini es limita a nombres no negatius.

La taula següent conté algunes de les funcions de valor real particularment importants:
{| class="wikitable"
|-
! [[Transformació afí]] !! [[Funció quadràtica]] !! [[Funció contínua]] !! [[Funció trigonomètrica]]
|-
| [[Fitxer:Gerade.svg|miniatura|Una funció afí]] || [[Fitxer:Polynomialdeg2.svg|miniatura|Una funció quadràtica]] || [[Fitxer:Signum function.svg|miniatura|La [[funció signe]] no és contínua, ja que "salta" en 0]] ||
[[Fitxer:Sine cosine one period.svg|miniatura|La funció sinus i cosinus]]
|-
| ''f''(''x'') = ''ax'' + ''b'' || ''f''(''x'') = ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''|| Parlant clar, una funció contínua és aquella que es pot dibuixar sense alçar el bolígraf del paper ||  e.g., sin(''x''), cos(''x'')
|}

=== Altres tipus de funcions ===
Existeixen moltes altres classes de funcions que són importants per a algunes branques de les matemàtiques o per a aplicacions particulars.
Heus-ne ací una llista parcial:
{{div col|3}}
*[[Funció derivable|derivable]], [[Integració|integrable]]
*[[polinomi]], [[funció racional|racional]]
*[[funció algebraica|algebraica]], [[funció transcendent|transcendent]]
*[[Funcions parelles i imparelles|parelles i imparelles]]
*[[funció convexa|convexa]], [[funció monòtona|monòtona]]
*[[funció holomorfa|holomorfa]], [[funció meromorfa|meromorfa]], [[funció entera|entera]]
*[[funció vectorial|vectorial]]
*[[funció computable|computable]]
{{div col end}}

== Història ==
=== Etimologia ===
La paraula ''funció'' l'escollí [[Leibniz]] del [[llatí]] ''functio'', que significa 'complir, executar'. Això significaria, per exemple, que alguna cosa o aparell està preparada i llesta per a funcionar.

=== Les funcions abans de Leibniz ===
:''Històricament, es pot considerar que alguns matemàtics preveieren i s'acostaren a una formulació moderna del concepte de funció. Un d'ells fou [[Nicolau Oresme|Oresme]] (1323–1382). La seva teoria sembla contenir nocions generals de quantitats variables independents i dependents.''<ref name=ponte>''[http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/docs-uk/92%20Ponte%20(Functions).doc The history of the function concept in mathematics] J. P. Ponte, 1992 {{en}}</ref> Ponte també subratlla que "l'emergència del concepte de funció com a entitat matemàtica individualitzada es remunta als inicis del [[càlcul infinitesimal]]".<ref name=ponte/>

== Vegeu també ==
* [[Llista de funcions matemàtiques]].
* [[Funció real]].
* [[Funció discreta]].
* [[Domini (matemàtiques)|Domini]].
* [[Funció injectiva]].
* [[Funció bijectiva]].
* [[Funció exhaustiva]].

== Referències ==
{{referències}}

== Enllaços externs ==
{{commonscat}}
* {{ref-web| url = http://www.enciclopedia.cat/fitxa_v2.jsp?NDCHEC=0153254&BATE=funci%25C3%25B3 |títol= Entrada "funció" |editor= Enciclopèdia.cat}}
* {{ref-web |url = http://functions.wolfram.com/|títol = The Wolfram Functions Site, dóna fórmules i visualitzacions de moltes funcions matemàtiques|llengua = anglès}}
* {{ref-web |url = http://www.shodor.org/interactivate/activities/FunctionFlyer/|títol = Shodor: Function Flyer, un applet Java interactiu per a gràfiques i explorar diverses funcions|llengua = anglès}}
* {{ref-web |url = http://math.hws.edu/xFunctions/|títol = xFunctions, un applet Java per explorar diverses funcions de manera gràfica|llengua = anglès}}
* {{ref-web |url = http://rechneronline.de/function-graphs/|títol = Draw Function Graphs], online drawing program for mathematical functions|llengua = anglès}}
* {{ref-web |url = http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/FunctionMain.shtml|títol = Functions from cut-the-knot|llengua = anglès}}
* {{ref-web |url = http://www.apronus.com/provenmath/cartesian.htm|títol = Function at ProvenMath|llengua = anglès}}
* {{ref-web |url = http://sporkforge.com/math/fcn_graph_eval.php|títol = Comprehensive web-based function graphing & evaluation tool|llengua = anglès}}
* {{ref-web |url = http://www.functiongame.com/|títol = FunctionGame, an educational interactive function guessing game|llengua = anglès}}
* {{ref-web |url = http://curvas21.blogspot.com/|títol = Curvas, Programari bàsic de funcions matemàtiques|llengua = castellà}}
*{{ref-web |url = http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/The_rise_of_calculus.html| títol=The Rise of calculus|llengua=anglès}}

{{1000 Ciència}}
{{Autoritat}}
{{Viccionari-lateral|funció}}

{{ORDENA:Funcio Matematica}}
[[Categoria:Funcions| ]]