Mostra la font per a Integració per discs

[[Fitxer:Disc integration.svg|miniatura|Integració per discs]]
{{càlcul}}
'''La integració per discs''' és un mitjà per [[càlcul infinitesimal|calcular]] el [[volum]] d'un [[sòlid de revolució]], en integrar al llarg de l'eix de revolució. Aquest mètode modela la forma generada de 3 dimenssions com una "pila" d'un nombre infinit de discs (de radi variable) i de gruix infinitesimal. En comptes de "anells" les possible fer servir "discs" (el mètode d'anells) és per sòlids de revolucions "buits", i utilitza els mateixos principis en què es basa la integració per discs.

== Definició ==

=== Funció de x ===

Si la funció que girant genera el sòlid és una funció de x, la següent integral representa el volum del sòlid de revolució:

<math>\pi \int_a^b {\left[R(x)\right]}^2\ \mathrm{d}x</math>

on R(x) és la distància entre la funció i l'eix de rotació. Això només funciona si l'[[Rotació (matemàtiques)|eix de rotació]] és horitzontal (exemple: y = 3 constant).

=== Funció de y ===

Si la funció que girant genera el sòlid és una funció de y, la següent integral obtindrà el volum del sòlid de revolució:

<math>\pi \int_c^d {\left[R(y)\right]}^2\ \mathrm{d}y</math>

on R(y) és la distància entre la funció i l'eix de rotació. Això només funciona si l'eix de rotació és vertical (exemple: x = 4 constant).

=== Sòlid "Buit" de revolució ===

Per obtenir el volum d'un sòlid de revolució "buit" (de vegades anomenat el "mètode de discs"), el procediment ha d'agafar el volum del sòlid de revolució interior i restar-lo de l'exterior. Això es pot calcular amb una integral única integral com la següent:

<math>\pi \int_a^b \left({\left[R_O(x)\right]}^2 - {\left[R_I(x)\right]}^2\right) \mathrm{d}x</math>

on R<sub>O</sub>(x) és la funció que és més llunyana de l'eix de rotació i R<sub>I</sub>(x) és la funció que és més propera a l'eix de rotació. S'ha d'anar amb compte de no avaluar el quadrat de la diferència sinó la diferència dels quadrats de les dues funcions. <math>{\left[R_O(x)\right]}^2 - {\left[R_I(x)\right]}^2\ \not\equiv \; {\left[R_O(x) - R_I(x)\right]}^2</math><br />

NOTA: la fórmula citada només funciona per revolucions sobre l'eix d'abscisses.

Per girar entorn de l'eix horitzontal, simplement es resta cada fórmula d'aquell eix:

si <math>h</math> és el valor d'un eix horitzontal, llavors el volum =

<math>\pi \int_a^b \left({\left[h-R_O(x)\right]}^2 - {\left[h-R_I(x)\right]}^2\right) \mathrm{d}x.</math>

Per exemple, per girar la regió entre <math> y=-2x+x^2 </math> i <math> y=x </math>

al llarg de l'eix <math>y=4</math>, s'hauria d'integrar de la manera següent:

<math>\pi \int_0^3 \left({\left[4-\left(-2x+x^2\right)\right]}^2 - {[4-x]}^2\right) \mathrm{d}x.</math>

Fixeu-vos que en integrar al llarg d'un eix diferent de <math>x</math>, l'altre eix pot no ser tan obvi. A l'exemple previ, to ti que <math>y=x</math> és més amunt que <math> y=-2x+x^2 </math>, aquest és més interior, ja que és més proper a <math>y=4</math>

La mateixa idea es pot aplicar a l'eix d'ordenades com a qualsevol altre eix vertical. Només cal resoldre cada equació per <math>x</math> abans que s'introdueixi a la fórmula d'integració.

== Vegeu també ==
* [[Sòlid de revolució]]
* [[Integració per capes]]

{{ORDENA:Integracio Per Discs}}	<!--ORDENA generat per bot-->
[[Categoria:Extensions de la integral]]
[[Categoria:Càlcul multivariable]]