Mostra la font per a Mètode de la secant

En [[anàlisi numèrica]], el '''mètode de secant''' és un [[algorisme]] de [[resolució numèrica d'equacions]] que fa servir una successió de solucions d'equacions lineals que corresponen a [[Recta secant|rectes secants]] a l'equació original per tal de trobar una solució aproximada d'una [[Funció matemàtica|funció]] ''f''. Es pot pensar en el mètode de la secant com una aproximació en [[diferència finita]] del [[Mètode de Newton]]. Tanmateix, el mètode de la secant es va desenvolupar independentment del mètode de Newton i el precedeix en més de 3000 anys.<ref>{{ref-web|url=http://www.allacademic.com/meta/p_mla_apa_research_citation/2/0/0/0/4/p200044_index.html|títol=www.allacademic.com}} {{Enllaç no actiu|url=http://www.allacademic.com/meta/p_mla_apa_research_citation/2/0/0/0/4/p200044_index.html|data=2014}}</ref>

== El mètode ==
[[Fitxer:Secant method.svg|miniatura|Les primeres dues iteracions del mètode de la secant. La corba vermella mostra la funció ''f'' i les línies blaves són les secants.]]
El mètode de secant es defineix per l'[[expressió recursiva]]:

:<math>x_n=x_{n-1}-f(x_{n-1})\frac{x_{n-1}-x_{n-2}}{f(x_{n-1})-f(x_{n-2})}</math>

Com es pot veure a partir de l'expressió recursiva, el mètode de la secant requereix dos valors inicials, ''x''<sub>0</sub> i ''x''<sub>1</sub>, que idealment s'haurien d'escollir de forma que estiguin a la vora de l'arrel.

== Obtenció del mètode ==
Començant amb valors els inicials x<sub>0</sub> i x<sub>1</sub>, es construeix una recta que passa pels punts (x<sub>0</sub>,f(x<sub>0</sub>)) i (x<sub>1</sub>,f(x<sub>1</sub>)), com es mostra a la figura de la dreta. Aquesta recta té l'equació

:<math>y=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_1) + f(x_1)</math>
    
Es troba l'arrel d'aquesta funció -- el valor de x tal que y=0 -- resolent x en l'equació següent:

:<math>0=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_1) + f(x_1)</math>
  
La solució és

:<math>x=x_1-f(x_1)\frac{x_1-x_0}{f(x_1)-f(x_0)}</math>

Llavors es fa servir aquest valor de x com x<sub>2</sub> i es repeteix el procés fent servir x<sub>1</sub> i x<sub>2</sub> en comptes de x<sub>0</sub> i x<sub>1</sub>. Es continua aquest procés, resolent per a x<sub>3</sub>, x<sub>4</sub>, etc., fins que s'àrriba a un nivell prou alt de precisió (una diferència prou petita entre x<sub>n</sub> i x<sub>n-1</sub>).

:<math>x_2=x_1-f(x_1)\frac{x_1-x_0}{f(x_1)-f(x_0)}</math>

:<math>x_3=x_2-f(x_2)\frac{x_2-x_1}{f(x_2)-f(x_1)}</math>

:...

:<math>x_n=x_{n-1}-f(x_{n-1})\frac{x_{n-1}-x_{n-2}}{f(x_{n-1})-f(x_{n-2})}</math>

== Convergència ==
Les iteracions ''x'' <sub>''n'' </sub> del mètode de la secant convergeixen a una arrel de ''f'', si els valors inicials ''x''<sub>0</sub> i ''x''<sub>1</sub> són prou a la vora de l'arrel. L'[[taxa de convergència|ordre de convergència]] és α, on
:<math> \alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618 </math>

és la [[secció àuria]]. En particular, la convergència és superlineal.

Aquest resultat només es compleix sota algunes condicions tècniques, és a dir que ''f'' sigui contínuament diferenciable dues vegades i l'arrel en qüestió sigui simple (és a dir, amb la multiplicitat 1).

Si els valors inicials no són a la vora de l'arrel, llavors no hi ha cap garantia que el mètode de secant convergeix.

== Comparació amb altres mètodes de solució d'equacions ==

El mètode de secant no exigeix que l'arrel romangui encaixada dins del parell de punts com ho fa el [[mètode de la bisecció]], i per això no sempre convergeix. El [[mètode de regula falsi]] fa servir la mateixa fórmula que el mètode de la secant. Tanmateix, no aplica la fórmula sobre ''x'' <sub>''n''−1</sub> i ''x'' <sub>''n''</sub>, com el mètode de secant, sinó sobre ''x''<sub>''n''</sub> i el punt de l'última iteració ''x''<sub>''k''</sub> tal que ''f''(''x''<sub>''k''</sub>) i ''f''(''x'' <sub>''n''</sub>) siguin de diferent signe. Això fa que el mètode de regula falsi sempre convergeixi.

La fórmula de recurrència del mètode de la secant es pot obtenir a partir de la fórmula del [[mètode de Newton]]
:<math> x_{n} = x_{n-1} - \frac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})} </math>

fent servir l'aproximació de [[diferència finita]]

:<math> f'(x_{n-1}) \approx \frac{f(x_{n-1})-f(x_{n-2})}{x_{n-1}-x_{n-2}}. </math>

Si es compara el mètode de Newton amb el mètode de la secant, es veu que el mètode de Newton convergeix més ràpid (ordre 2 enfront de α ≈ 1.6). Tanmateix, el mètode de Newton exigeix l'avaluació tant de ''f'' com de la seva derivada en tots els passos, mentre el mètode de la secant només exigeix l'avaluació de ''f''. Per això, el mètode de la secant pot molt ben ser més ràpid a la pràctica. Per exemple, si se suposa que avaluar ''f'' pren tant temps com avaluar la seva derivada i es negligeixen tots els altres costos, es poden fer dos passos del mètode de la secant (disminuint el logaritme de l'error en un factor α² ≈ 2.6) pel mateix cost d'un pas en e mètode de Newton (disminuint el logaritme de l'error en un factor 2), així el mètode de la secant és més ràpid. Si tanmateix es considera el processament paral·lel per a l'avaluació de la derivada, el mètode de Newton presenta la seva vàlua, en ser més ràpid en temps, encara que continua condumint més passos.

== Generalitzacions ==

[[El mètode de Broyden]] és una generalització del mètode de la secant a més d'una dimensió.

== Codi exemple ==

El següent programa escrit en [[Llenguatge C|C]] s'ha escrit per claredat en comptes d'eficiència. Es va dissenyar per resoldre el mateix problema com el resol el [[mètode de Newton]] i el [[mètode de la falsa posició]]: per trobar el nombre positiu ''x'' tal que cos(''x'') = ''x'' <sup>3</sup>. Aquest problema es transforma en un problema de càlcul de l'arrel de la forma ''f'' (''x'') = cos(''x'')  − ''x'' <sup>3</sup> = 0.

En el codi següent, el mètode de la secant segueix fins que es doni una de dues condicions:
#<math> |x_{n+1} - x_n| < \epsilon </math>
#<math> n > m </math>
per a alguns valors de ''m'' i ''ε'' donats.

<source lang=c>
 #include <stdio.h>
 #include <math.h>

 double f(double x)
 {
     return cos(x) - x*x*x;
 }

 double MetodeDeLaSecant(double xn_1, double xn, double e, int m)
 {
     int n;
     double d;
     for (n = 1; n <= m; n++)
     {
         d = (xn - xn_1) / (f(xn) - f(xn_1)) * f(xn);
         if (fabs(d) < e)
             return xn;
         xn_1 = xn;
         xn = xn - d;
     }
     return xn;
 }

 int main(void)
 {
     printf("%0.15f\n", MetodeDeLaSecant(0, 1, 5E-11, 100));
     return 0;
 }
</source>

Després d'executar aquest codi, la resposta final és aproximadament 0.865474033101614. Les aproximacions inicials, intermèdies, i finals es llisten sota, els dígits correctes s'han subratllat.

:<math> x_0 = 0  \,\!</math>
:<math> x_1 = 1  \,\!</math>
:<math> x_2 = 0.685073357326045  \,\!</math>
:<math> x_3 = 0.\underline{8}41355125665652  \,\!</math>
:<math> x_4 = 0.\underline{8}70353470875526  \,\!</math>
:<math> x_5 = 0.\underline{865}358300319342  \,\!</math>
:<math> x_6 = 0.\underline{86547}3486654304  \,\!</math>
:<math> x_7 = 0.\underline{8654740331}63012  \,\!</math>
:<math> x_8 = 0.\underline{865474033101614}  \,\!</math>

El gràfic següent mostra la funció ''f'' en vermell i l'última recta secant en blau gruixut. Al gràfic, el punt ''x'' trobat per la recta secant sembla ser una bona aproximació de l'arrel de ''f''.

[[Fitxer:Secant method example code result.svg|center|Exemple]]

Codi de [[MATLAB|Matlab]]:

<source lang="matlab">
 function Xs = ArrelSecant(Fun,Xa,Xb,Err,imax)
 % ArrelSecant troba l'arrel de Fun = 0 fent servir el mètode de la secant.
 % Variables d'entrada:
 % Fun    Nom (cadena) d'un fitxer amb el programa que calcula Fun per a un x donat.
 % a, b   Dos punts propers a l'arrel (un a cada cantó, o tots dos
 %        al mateix cantó de l'arrel).
 % Err    Error màxim.
 % imax   Nombre màxim d'iteracions
 % Variable de sortida:
 % Xs     Solució
 for i = 1:imax
 FunXb = feval(Fun,Xb);
 Xi = Xb - FunXb*(Xa-Xb)/(feval(Fun,Xa)-FunXb);
 if abs((Xi - Xb)/Xb) < Err
 Xs = Xi;
 break
 end
 Xa = Xb;
 Xb = Xi;
 end
 if i == imax
 fprintf('La solució no s'ha trobat després de fer %i iteracions.\n',imax)
 Xs = ('Cap resposta');
 end
</source>

== Referències ==
{{referències}}
*  {{Ref-llibre|cognom = Kaw |nom = Autar |cognom2 = Kalu |nom2 = Egwu |any = 2008 |títol = Numerical Methods with Applications |edició = 1st|editorial = http://www.autarkaw.com }}.

== Enllaços externs ==
* [http://www.torkian.info/Site/Research/Entries/2008/2/28_Root-finding_algorithm_Java_Code_(_Secant%2C_Bisection%2C_Newton_).html  Codi Java fet per Behzad Torkian]
* [http://math.fullerton.edu/mathews/a2001/Animations/RootFinding/SecantMethod/SecantMethod.html Animations for the secant method]
* [http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/secant_method.html Secant Method] Notes, PPT, Mathcad, Maple, Mathematica, Matlab at [http://numericalmethods.eng.usf.edu Holistic Numerical Methods Institute]
* {{MathWorld|urlname=SecantMethod| títol = Secant Method}}
*[http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/SecantMethodMod.html Module for Secant Method by John H. Mathews]


{{ORDENA:Metode De La Secant}}	<!--ORDENA generat per bot-->
[[Categoria:Algorismes]]
[[Categoria:Anàlisi matemàtica]]