Mostra la font per a Mitjana aritmètico-geomètrica

En [[matemàtiques]], la '''mitjana aritmètico-geomètrica (AGM)''' de dos [[nombres reals]] positius ''x'' i ''y'' es defineix tal com segueix.

Primer calculeu la [[mitjana aritmètica]] de ''x'' i ''y'' i digueu-ne ''a''<sub>1</sub>. Després calculeu la [[mitjana geomètrica]] de ''x'' i ''y'' i digueu-ne ''g''<sub>1</sub>; això és l'[[arrel quadrada]] del producte ''xy'':

:<math>a_{1}=\frac{x+y}{2}</math>

:<math>g_{1}=\sqrt{xy}</math>

Llavors itereu l'operació amb ''a''<sub>1</sub> en lloc de ''x'' i ''g''<sub>1</sub> en lloc de ''y''. D'aquesta forma es defineixen dues [[Successió matemàtica|successions]] (''a''<sub>''n''</sub>) i (''g''<sub>''n''</sub>):

:<math>a_{n+1} = \frac{a_n + g_n}{2}</math>

:<math>g_{n+1} = \sqrt{a_n g_n}.</math>

Aquestes dues successions [[límit |convergeixen]] al mateix nombre, el qual és la '''mitjana aritmètico-geomètrica''' de ''x'' i ''y''; i s'escriu M(''x'', ''y''), o de vegades agm(''x'', ''y'').

==Exemple==
Per a trobar la mitjana aritmètico-geomètrica de ''a''<sub>0</sub> = 24 i ''g''<sub>0</sub> = 6, primer es calculen les seves mitjanes aritmètica i geomètrica:

:<math>a_1=\frac{24+6}{2}=15,</math>

:<math>g_1=\sqrt{24 \times 6}=12,</math>

I llavors s'itera:

:<math>a_2=\frac{15+12}{2}=13.5,</math>

:<math>g_2=\sqrt{15 \times 12}=13.41640786500\dots</math> etc.

Les primeres quatre iteracions donen els següents resultats:

:{| class="wikitable"
|-
! ''n''
! ''a''<sub>''n''</sub>
! ''g''<sub>''n''</sub>
|-
| 0
| 24
| 6
|-
| 1
| 15
| 12
|-
| 2
| 13.5
| 13.41640786500...
|-
| 3
| 13.45820393250...
| 13.45813903099...
|-
| 4
| 13.45817148175...
| 13.45817148171...
|}

La mitjana aritmètico-geomètrica de 24 i 6 és el límit comú d'aquestes dues successions que és aproximadament 13.45817148173.

==Propietats==
M(''x'', ''y'') és un nombre entre la mitjana geomètrica i l'aritmètica de ''x'' i ''y''; en particular està entre ''x'' i ''y''.

Si ''r'' > 0, llavors M(''rx'', ''ry'') = ''r'' M(''x'', ''y'').

Hi ha una expressió que permet calcular la M(''x'',''y'') sense haver de trobar el límit d'una sèrie:

:<math>\Mu(x,y) = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{x + y}{K \left( \frac{x - y}{x + y} \right) }</math>

On ''K''(''x'') és la ''[[integral el·líptica]] completa de primera classe''.

Del [[recíproc]] de la mitjana aritmètico-geomètrica d'1 i l'[[arrel quadrada de 2]] se'n diu la [[constant de Gauss]].

: <math> \frac{1}{\Mu(1, \sqrt{2})} = G = 0.8346268\dots</math>

En honor de [[Carl Friedrich Gauss]].

La [[mitjana geomètrico-harmònica]] es pot calcular emprant un mètode anàleg, a base de fer servir successions de mitjanes geomètriques i [[mitjana harmònica|harmòniques]].  També es pot definir de forma similar la [[mitjana aritmètico-harmònica]], però porta al mateix valor que la mitjana geomètrica.

==Implementació en Python==
El següent codi exemple en [[Python]] calcula la mitjana aritmètico-geomètrica de dos nombres reals positius:
<pre>
from math import sqrt

def avg(a, b, delta=None):
        if None==delta:
                delta=(a+b)/2*1E-10
        if(abs(b-a)>delta):
                return avg((a+b)/2.0, sqrt(a*b), delta)
        else:
                return (a+b)/2.0
</pre>

== Vegeu també ==
*[[Mitjana aritmètica]]
*[[Mitjana geomètrica]]
*[[Desigualtat entre les mitjanes aritmètica i geomètrica]]

== Referències ==
* Jonathan Borwein, Peter Borwein, ''Pi and the AGM. A study in analytic number theory and computational complexity.'' Reprint of the 1987 original. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, 4. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998. xvi+414 pp. {{ISBN|0-471-31515-X}}  {{MathSciNet|id=1641658}} 



{{ORDENA:Mitjana Aritmetico-Geometrica}}	<!--ORDENA generat per bot-->
[[Categoria:Mitjanes]]