Mostra la font per a Nombre triangular

[[Fitxer:números triangulares.png|frame|300px|Els sis primers nombres triangulars.]]

Un '''nombre triangular''' és el resultat de sumar els ''n'' primers  [[nombre natural|nombres naturals]]. S'anomenen d'aquesta manera perquè són el nombre d'elements necessaris per crear un [[triangle equilàter]].

La fórmula per trobar l'''n''-èsim nombre triangular és:

<math> T_n=\sum_{k=1}^n k = 1+2+3+ \dotsb +(n-1)+n = \frac{n(n+1)}{2}</math>

També és igual al [[coeficient binomial]]
<math> {n+1 \choose 2} </math>.

Observem que cada nombre triangular <math>T_n</math> conté una fila més que l'anterior, <math>T_{n-1}</math>, de forma que es compleix la següent [[recurrència]]:

<math> T_n = T_{n-1} + n</math>

== Origen ==
Tot i que actualment, es pren per conveni el primer nombre triangular com l'1, el primer nombre triangular històricament rellevant fou el [[Tetractys]], format per deu punts. Els nombres triangulars, i en particular el Tetractys, foren estudiats àmpliament pel [[filòsof]] [[Pitàgores]] i els seus [[pitagorisme|deixebles]]. Els pitagòrics consideraven el nombre 10 un nombre universal, ja que segons ells el nombre 10 englobava tot l'univers seguint el següent principi:

* El 10 era la suma de l'1, el 2, el 3 i el 4.
* L'1 simbolitzava un [[punt (geometria)|punt]], la mínima [[dimensió]] possible.
* El 2 simbolitzava la [[longitud (física)|longitud]], ja que amb dos punts s'hi pot traçar una [[recta]]. 
* El 3 simbolitzava l'[[àrea]], ja que amb tres punts es pot traçar un [[triangle]].
* El 4 simbolitzava el [[volum]], ja que amb quatre punts es pot construir un [[tetraedre]].

== Suma de nombres triangulars ==
[[Fitxer:números cuadrados y oblongos.png|framed|Demostracions visuals de sumes de nombres triangulars]]
=== Consecutius ===
Quan se sumen dos nombres triangulars consecutius sempre dóna un [[quadrat perfecte]], en terminologia de Pitàgores, un nombre quadrat. Tenim:

<math>T_n = \frac{n(n+1)}{2}</math>

<math>T_{n-1} = \frac{(n-1)(n-1+1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2}</math>

Per tant, sumant-los:

<math>T_n + T_{n-1} = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2}=n^2</math>


=== Iguals ===

La suma de dos nombres triangulars iguals ens dóna una figura romboide. Vegem el seu terme general:


<math> T_n + T_n = 2T_n = 2 \,\frac {n(n+1)}{2} = n (n+1) </math>


== Test per comprovar si un nombre és triangular ==

Per comprovar si un nombre és triangular es pot realitzar la següent operació:

<math> n = \frac {\sqrt{8x+1}-1}{2} </math>

Si ''n'' és un [[nombre enter|enter]], aleshores ''x'' és l'''n''-èsim nombre triangular. Si ''n'' no és un enter, aleshores ''x'' no és triangular.

== Vegeu també ==
*[[Triangle de Tartaglia]]




{{Commonscat}}

{{ORDENA:Nombre Triangular}}	<!--ORDENA generat per bot-->
[[Categoria:Nombres triangulars| ]]