Mostra la font per a Operador de d'Alembert

En la [[relativitat especial]], [[electromagnetisme]] i [[Ona|teoria de l'ona]], l''''operador de d'Alembert''' (denotat per un quadrat: <math>\Box</math>), també anomenat '''operador d'Alembertià''', '''operador d'ona''' o '''operador caixa''' és un operador [[Operador laplacià|laplacià]] de l'[[espai de Minkowski]]. L'[[Operador matemàtic|operador]] rep el seu nom del [[matemàtic]] i [[físic]] francès [[Jean le Rond d'Alembert]].

A l'espai de Minkowski, en coordenades estàndard {{math|(''t'', ''x'', ''y'', ''z'')}}, té la forma

: <math>
\begin{align}
\Box & = \partial^\mu \partial_\mu = g^{\mu\nu} \partial_\nu \partial_\mu = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2} \\
& = \frac{1}{c^2} {\partial^2 \over \partial t^2} - \nabla^2 = \frac{1}{c^2}{\partial^2 \over \partial t^2} - \Delta ~~.
\end{align}
</math>

On  ∇<sup>2</sup> és l'operador laplacià tridimensional i {{math|''g<sup>μν</sup>''}}  és la [[Espai de Minkowski|mètrica inversa de Minkowski]] amb 

:<math>g_{00} = 1</math>, <math>g_{11} = g_{22} = g_{33} = -1</math>, <math>g_{\mu\nu} = 0</math> for <math>\mu \neq \nu</math>.

S'ha de tenir en compte que els índexs de sumació  {{math|''μ''}} i {{math|''ν''}} oscil·len entre 0 i 3: vegeu la [[notació d'Einstein]]. Hem assumit unitats tals que la [[velocitat de la llum]] {{mvar|c}} = 1.

(Alguns autors utilitzen alternativament la [[signatura mètrica]] negativa de {{nowrap|(− + + +)}}, amb <math>g_{00} = -1,\; g_{11} = g_{22} = g_{33} = 1</math>).

Les [[Transformació de Lorentz|transformacions de Lorentz]] deixen la [[mètrica de Minkowski]] invariant, de manera que el d'Alembertià produeix un [[escalar de Lorentz]]. Les expressions de coordenades anteriors segueixen sent vàlides per a les coordenades estàndard de cada marc inercial.

==Notacions alternatives==
Hi ha diverses notacions per al d'Alembertià. El més comú és el símbol <math>\Box</math> ([[Unicode]]: {{unichar|2610|ballot box}}): els quatre costats del quadrat que representen les quatre dimensions de l'[[espaitemps]], i l'operador  <math>\Box^2</math> posa l'accent en la propietat escalar a través del terme quadrat (com el [[Operador laplacià|laplacià]]). Aquest símbol és de vegades anomenat '''quabla''' (veure [[símbol nabla]]). En consonància amb la notació triangular per al laplacià, de vegades s'utiliza <math>\Delta_M</math> .

Una altra manera d'escriure el d'Alembertià en coordenades estàndard planes és  <math>\partial^2</math>. Aquesta notació s'utilitza àmpliament en la [[teoria quàntica de camps]], on normalment es indexen les [[Derivada parcial|derivades parcials]], de manera que la manca d'un índex amb la derivada parcial quadrada assenyala la presència del d'Alembertià.

Algunes vegades <math>\Box</math> s'utilitza per representar la [[derivada covariant]] Levi-Civita en [[Quarta dimensió|quatre dimensions]]. Llavors, s'utilitza el símbol <math>\nabla</math>per representar les [[Derivada|derivades]] de l'espai, però això és dependent de la [[Atles (topologia)|carta de coordenades]].

==Aplicacions==
* L'[[equació d'ona]] per a petites vibracions té la forma
::<math> \Box_{c} u\left(x,t\right) \equiv u_{tt} - c^2u_{xx} = 0~,</math>
:on {{math| ''u''(''x,t'')}} és el desplaçament.

* L'[[Equació d'ona electromagnètica|equació d'ona del camp electromagnètic]] en [[buit]] és
::<math> \Box A^{\mu} = 0 </math>
:on {{math|''A<sup>μ</sup>''}}  és el [[quadripotencial electromagnètic]].

* L'[[equació de Klein-Gordon]] té la forma
::<math> (\Box + m^2) \psi = 0~,</math>
:que descriu [[Camp escalar|camps escalars]] d'[[espín]] zero.

==Funció de Green==
La [[funció de Green]], <math>G\left(\tilde{x} - \tilde{x}'\right)</math>, per al operador d'Alembertian es defineix per l'equació

:<math> \Box G\left(\tilde{x} - \tilde{x}'\right) = \delta\left(\tilde{x} - \tilde{x}'\right)</math>

on <math>\delta\left(\tilde{x} - \tilde{x}'\right)</math>és la [[Delta de Dirac|funció delta de Dirac]] multidimensional i  <math>\tilde{x}</math> i  <math>\tilde{x}'</math> són dos punts a l'[[espai de Minkowski]].

Una solució especial ve donada per la funció de Green retardada que correspon a la [[Propagació d'ones|propagació]] del senyal només cap endavant en el temps

:<math>G\left(\vec{r}, t\right) = \frac{1}{4\pi r} \Theta(t) \delta\left(t - \frac{r}{c}\right)~~~</math><ref>{{ref-web|autor=S. Siklos|títol=The causal Green’s function for the wave equation|url=http://www.damtp.cam.ac.uk/user/stcs/courses/fcm/handouts/wave_equation.pdf|consulta= 2 gener 2013}}</ref>

on <math>\Theta</math> és la [[funció esglaó de Heaviside]].

==Referències==
{{referències}}

==Vegeu també==
* [[Càlcul de Ricci]]
* [[Conducció de calor relativístic]]
* [[Equació de Klein–Gordon]]
* [[Fórmula de D'Alembert]]
* [[Quadrigradient]]

==Enllaços externs==
* {{springer|title=D'Alembert operator|id=p/d030080}}
* {{ref-llibre|títol=Translation:On the Dynamics of the Electron (July)|url=https://en.wikisource.org/wiki/Translation:On_the_Dynamics_of_the_Electron_(July)|cognom=Poincaré|nom=Henri|any=1906 |enllaçautor=Henri Poincaré |llengua=anglès}}
* {{MathWorld | urlname=dAlembertian | title=d'Alembertian}}

{{autoritat}}
[[Categoria:Càlcul vectorial]]
[[Categoria:Electromagnetisme]]