Mostra la font per a Primorial

[[Fitxer:Primorial pn plot.png|miniatura|{{math|''p<sub>n</sub>''#}} és una funció de {{math|''n''}}, dibuixada logarítmicament]]
[[Fitxer:Primorial n plot.png|miniatura|{{math|''n''#}} com una funció de {{math|''n''}} ''<small>(punts vermells)</small>'', en comparació amb {{math|''n''!}}. Les dues gràfiques són logarítmiques.]]
En [[matemàtiques]], i més particularment en la [[teoria de nombres]], el '''primorial''' és una [[funció]] dels [[Nombre natural|nombres naturals]] a nombres naturals semblants a la [[Factorial|funció factorial]], però en lloc de multiplicar successivament nombres [[Enter positiu|enters positius]], només es multipliquen els [[Nombre primer|nombres primers]].

Hi ha dues definicions contradictòries que difereixen en la interpretació de l'argument: 
* la primera definició interpreta l'argument com un índex en la seqüència dels nombres primers (de manera que la funció és [[Funció monòtona|estrictament creixent]]), 
* la segona definició interpreta l'argument com un límit dels nombres primers a multiplicar (de manera que el valor de la funció en qualsevol [[nombre compost]] és el mateix que en el seu predecessor). 
La resta d'aquest article fa servir aquesta última interpretació.

El nom «primorial», creat per [[Harvey Dubner]], dibuixa una analogia amb els «[[Nombre primer|nombres primers]]» similars a la forma en què el nom «[[factorial]]» es relaciona amb «factors».

==  Definició per als nombres primers ==
Per al <math>n</math>-nombre primer <math>p_n</math>, el primorial  <math>p_n\#</math> es defineix com el producte dels <math>n</math> primers nombres primers:<ref name="mathworld">{{Mathworld | urlname=Primorial | title=Primorial}}</ref><ref name="OEIS A002110">{{OEIS|id=A002110}}</ref>

:<math>p_n\# \equiv \prod_{k=1}^n p_k</math>,

on <math>p_k</math> és el <math>k</math>-èsim nombre primer. Per exemple, <math>{\displaystyle p_{5}\#} </math> significa el producte dels 5 primers nombres primers:

:<math>p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310.</math>

Els primers cinc primorials  <math>p_n\#</math> són:

:2, 6, 30, 210, 2310 {{OEIS|id=A002110}}.

La seqüència també inclou  <math>p_0\# =1</math>, que és un [[producte buit]]. Asimptòticament, els primorials  <math>p_n\#</math> creixen segons:

:<math>p_n\# = e^{(1 + o(1)) n \log n},</math>

on <math>o()</math> és la [[Notació de Landau|cota inferior asimptòtica inferior]].<ref name="OEIS A002110" />

== Definició per als nombres naturals ==
En general, per a un <math>n</math> enter positiu, un primorial <math>n\#</math> també es pot definir com el producte d'aquests ≤ <math>n</math> primers:<ref name="mathworld" /><ref name="OEIS A034386">{{OEIS|id=A034386}}</ref>

:<math>n\# \equiv \prod_{i=1}^{\pi(n)} p_i = p_{\pi(n)}\# </math>,

on <math>\pi(n)</math> és la [[funció de recompte de nombres primers]] {{OEIS|id=A000720}}, que dona tots els ≤<math>n</math> nombres primers. Això equival a:

:<math>n\# = 
\begin{cases}
    1 & \text{si }n = 0,\ 1 \\
    (n-1)\# \times n & \text{si } n \text{ és primer} \\
    (n-1)\# & \text{si } n \text{ és compost}.
\end{cases}</math>

Per exemple, <math>12\#</math> representa el producte de tots els nombres primers ≤12:

:<math>12\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11= 2310.</math>

Llavors <math>\pi(12) = 5</math>, es pot calcular com:

:<math>12\# = p_{\pi(12)}\# = p_5\# = 2310.</math>

Considerant els primers 12 valors de <math>n\#</math> :

:1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Es pot observar que per als nombres compostos <math>n</math>, tots els termes <math>n\#</math> simplement dupliquen el terme precedent <math>(n-1)\#</math>, tal com es detalla a la definició. En l'exemple anterior tenim <math>12\# = p_5\# = 11\#</math> ja que 12 és un nombre compost.

Els primorials estan relacionats amb la [[Funció de Chebyshev|primera funció de Chebyshev]], escrita <math>\vartheta(n)</math> o <math>\theta (n)</math> d'acord amb:

:<math>\ln (n\#) = \vartheta(n).</math><ref>{{Mathworld | urlname=ChebyshevFunctions | title=Chebyshev Functions}}</ref>

Atès que <math>\vartheta(n)</math> s'aproxima asimptòticament a grans valors de <math>n</math>, els primorials creixen d'acord amb:
:<math>n\# = e^{(1+o(1))n}.</math>

La idea de multiplicar tots els primers coneguts es produeix en algunes proves de la [[Teorema d'Euclides|infinitud dels nombres primers]], on s'utilitza per derivar l'existència d'un altre primer.

== Aplicacions i propietats ==
Els primorials tenen un paper en la [[Primers en progressió aritmètica|recerca de nombres primers en progressions aritmètiques additives]]. Per exemple, 2.236.133.941 + 23# és un nombre primer, començant una seqüència de tretze primers trobats sumant repetidament 23# i acabant amb 5.136.341.251; 23# també és la diferència comuna en les [[Progressió aritmètica|progressions aritmètiques]] de quinze i setze primers.

Cada [[nombre altament compost]] és un producte de primorials (per exemple, 360 = 2 × 6 × 30)<ref>[http://oeis.org/A002182 Sloane's A002182 : "Highly composite numbers"]. The [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]]. OEIS Foundation.</ref>

Tots els primordials són [[sencers sense quadrats]], i cadascun té molts més [[Factor primer|factors primers]] diferents que qualsevol número més petit que ell. Per a cada <math>n</math> primorial, la fracció <math>\frac{\varphi(n)}{n}</math> és més petita que qualsevol altre nombre enter, on <math>\varphi(n)</math> és la [[Funció d'Eulen|funció directriu d'Eulen]].

Qualsevol [[funció completament multiplicativa]] es defineix pels seus valors en primorials, ja que es defineix pels seus valors en nombres primers, que es poden recuperar per divisió de valors adjacents.

En el [[Base (aritmètica)|sistema de numeració]] corresponent a primorials (com la base 30, que no s'han de confondre amb el sistema de [[Base combinada|base de nombres primers]]) tenen una menor proporció de [[Nombre decimal periòdic|nombres decimals periòdics]] que qualsevol base menor.

Cada element primorial és un [[nombre poc indicatriu]].<ref>{{ref-publicació|cognom1=Masser |nom1=D.W. | author1-link=David Masser |cognom2=Shiu |nom2=P. |títol=On sparsely totient numbers |publicació=Pac. J. Math. |volum=121 |pàgines=407–426 |any=1986 | issn=0030-8730 | zbl=0538.10006 | url=http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102702441 | mr=819198 | doi=10.2140/pjm.1986.121.407}}</ref>

El <math>n</math>-compositorial d'un nombre compost <math>c</math> és el producte de tots els nombres compostos fins i incloent <math>c</math>.<ref name="Wells 2011">{{ref-llibre|cognom1=Wells|nom1=David|títol=Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math|data=2011|editorial=John Wiley & Sons|isbn=9781118045718|pàgina=29|url=https://books.google.com/books?id=1MTcYrbTdsUC&pg=PA29&lpg=PA29&dq=Compositorial+primorial&source=bl&ots=9G82GeQoX9&sig=SX44vw-N4d3M1s9bVM-W4TyItXI&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwiYtIKE5cXLAhUBU2MKHZLfARkQ6AEIRjAG#v=onepage&q=Compositorial%20primorial&f=false|consulta= 16 març 2016}}</ref> El <math>n</math>-compositorial és igual a <math>c_n!</math> dividit pel primorial <math>c_n\#</math>

<math>\frac{c_n!}{c_n\#}\equiv \prod_{i=1}^n c_i</math>, on <math>c_i</math>és el i-èsim nombre compost.

Els primers [[Nombre compositorial|nombres compositorials]] són:
:1, 4, 24, 192, 1728, 17.280, 207.360, 2.903.040, 43.545.600, 696.729.600, ...<ref>[http://oeis.org/A036691 Sloane's A036691 : ''Compositorial numbers: product of first n composite numbers'']. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.</ref>

== Semblança ==

La [[funció zeta de Riemann]] en nombres enters positius més grans que 1 pot expressar-se mitjançant l'ús de la funció primorial i la [[funció indicatriu de Jordan]] <math>J_k(n)</math>:<ref name=mezo/>
: <math> \zeta(k)=\frac{2^k}{2^k-1}+\sum_{r=2}^\infty\frac{(p_{r-1}\#)^k}{J_k(p_r\#)},\quad k=2,3,\dots </math>

== Taula de primorials ==

{| class="wikitable" style="text-align:right"
|-
! rowspan="2" | {{mvar|n}}
! rowspan="2" | {{math|''n''#}}
! rowspan="2" | {{mvar|p<sub>n</sub>}}
! rowspan="2" | {{math|''p<sub>n</sub>''#}}
! colspan="2" | [[Primorial primer]]?
|-
! ''p<sub>n</sub>''# + 1<ref>[http://oeis.org/A014545 Sloane's A014545 : "Primorial plus 1 prime indices"]. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.</ref>
! ''p<sub>n</sub>''# − 1<ref>[http://oeis.org/A057704 Sloane's A057704 : "Primorial - 1 prime indices"]. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.</ref>
|-
| 0
| 1
| {{n/a}}
| [[Producte buit|1]]
| Sí  
| No
|-
| 1
| 1
| 2
| 2
| Sí
| No
|-
| 2
| 2
| 3
| 6
| Sí
| Sí
|-
| 3
| 6
| 5
| 30
| Sí
| Sí
|-
| 4
| 6
| 7
| 210
| Sí
| No
|-
| 5
| 30
| 11
| {{val|2310|fmt=gaps}}
| Sí
| Sí
|-
| 6
| 30
| 13
| {{val|30030}}
| No
| Sí
|-
| 7
| 210
| 17
| {{val|510510}}
| No
| No
|-
| 8
| 210
| 19
| {{val|9699690}}
| No
| No
|-
| 9
| 210
| 23
| {{val|223092870}}
| No
| No
|-
| 10
| 210
| 29
| {{val|6469693230}}
| No
| No
|-
| 11
| {{val|2310|fmt=gaps}}
| 31
| {{val|200560490130}}
| Sí
| No
|-
| 12
| {{val|2310|fmt=gaps}}
| 37
| {{val|7420738134810}}
| No
| No
|-
| 13
| {{val|30030}}
| 41
| 304.250.263.527.210
| No
| Sí
|-
| 14
| {{val|30030}}
| 43
| 13.082.761.331.670.030
| No
| No
|-
| 15
| {{val|30030}}
| 47
| 614.889.782.588.491.410
| No
| No
|-
| 16
| {{val|30030}}
| 53
| 32.589.158.477.190.044.730
| No
| No
|-
| 17
| {{val|510510}}
| 59
| 1.922.760.350.154.212.639.070
| No
| No
|-
| 18
| {{val|510510}}
| 61
| 117.288.381.359.406.970.983.270
| No
| No
|-
| 19
| {{val|9699690}}
| 67
| 7.858.321.551.080.267.055.879.090
| No
| No
|-
| 20
| {{val|9699690}}
| 71
| 557.940.830.126.698.960.967.415.390
| No
| No
|}

== Referències ==
{{Referències|refs=
<ref name=mezo>
{{ref-publicació|cognom1= Mező |nom1= István
|títol= The Primorial and the Riemann zeta function 
|publicació= The American Mathematical Monthly 
|volum= 120
|exemplar= 4 
|pàgines= 321 
|any= 2013 
}}</ref>
}}

== Bibliografia ==
* {{ref-publicació|cognom1= Dubner |nom1= Harvey |any= 1987 |títol= Factorial and primorial primes | url = |publicació= [[Journal of Recreational Mathematics|J. Recr. Math.]] |volum= 19 |exemplar= |pàgines= 197–203 }}

== Vegeu també ==
* [[Desigualtat de Bonse]]
* [[Factoràdic]]

{{autoritat}}
[[Categoria:Nombres primers]]
[[Categoria:Teoria de nombres]]