Mostra la font per a Probabilitat

{{ocupació}}
[[Fitxer:Dice.jpg|miniatura|Daus]]
La '''probabilitat''' mesura el grau de certesa d'un esdeveniment dintre d'un [[experiment aleatori]]. La [[teoria de la probabilitat]] s'usa extensament en àrees com l'[[estadística]], la [[matemàtica]], la [[ciència]] i la [[filosofia]] per a treure conclusions sobre la probabilitat de successos potencials i la mecànica subjacent de sistemes complexos.

El càlcul de probabilitats és una part de les matemàtiques que es dedica a calcular la possibilitat (probabilitat) que pugui ocórrer un determinat [[succés]], quan es realitza un experiment aleatori. S'entén per experiment aleatori aquell en què no es coneix el resultat que sortirà, però sí tots els resultats possibles (per exemple: llançar una moneda a l'aire, jugar a la loteria primitiva, fer una travessa, etc.). Un [[succés]] d'un experiment aleatori no és més que un subconjunt dels possibles resultats, com per exemple treure un sis quan llancem un dau a l'aire, o treure cara quan llancem una moneda. 

Al conjunt de tots els resultats possibles d'un [[experiment aleatori]] li diem ''[[espai mostral]]'' i normalment el representem amb el signe Ω. Si llancem una moneda i observem la cara superior, veurem que els resultats possibles són cara o creu, així doncs, l'[[espai mostral]] d'aquest experiment és Ω = {cara, creu}. O si llancem un dau i observem el nombre de la cara superior, els resultats possibles són 1, 2, 3, 4, 5 o 6, és a dir, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

El matemàtic francès [[Laplace]] va contribuir de manera important al desenvolupament del càlcul de probabilitats. És destacable la [[regla de Laplace]], que ens permet calcular, mitjançant una fórmula, la probabilitat d'un [[succés]] associat a un experiment aleatori, en el cas que tots els successos d'aquesta experiència siguin equiprobables (és a dir, que tinguin la mateixa probabilitat de verificar-se).

Així i tot, la probabilitat no és pas una ciència exacta. Simplement analitza i calcula possibles resultats. No hi hem de confiar cegament, en el sentit que si hem obtingut un resultat d'un 90% per exemple en un problema concret, no vol dir que necessàriament hagi de succeir. Moltes vegades, per poc que ens agradi, ocorren els resultats amb menys probabilitat teòrica.

Quan es tracta de resoldre problemes basats en experiències aleatòries, i ens preguntem per la probabilitat que pugui ocórrer un determinat succés, llavors necessitem fórmules matemàtiques que ens permetin obtenir aquests resultats. La fórmula que es pot considerar fonamental per al càlcul de probabilitats és una contribució del matemàtic Laplace, com hem comentat abans, i expressa la probabilitat associada a un succés d'un experiment aleatori, en el cas que tots els successos corresponents tinguin la mateixa probabilitat de succeir. Es pot expressar així:


<math>P=\frac{\text{nombre casos favorables}}{\text{nombre casos possibles}}</math>


el numerador expressa el nombre total de casos favorables perquè pugui ocórrer el succés que estem considerant. El denominador expressa el nombre total de casos possibles de l'experiment aleatori en qüestió.

Per a calcular els valors del numerador i del denominador, que en realitat es tracta de comptar, hem de tenir unes [[nocions bàsiques de càlcul combinatori]].

La regla de Laplace és molt útil per al càlcul de probabilitats, però també hem de tenir en compte que ens poden presentar casos una mica més complexos. A l'hora de calcular la probabilitat en un problema concret, pot ocórrer que un succés estigui compost per altres successos, amb diferents possibilitats, i llavors la seva probabilitat no seria pas la que ens dóna directament la regla de Laplace.

== Història i terminologia  ==
{{millorar traducció|fr|Histoire des probabilités|25/05/2013|data=desembre de 2017}}
{{AP|Història de la probabilitat}}

Originàriament, en les traduccions d'[[Aristòtil]], el terme ''probabilitat'' no denota una quantificació del caràcter aleatori d'un fet, sinó la idea que un concepte és comunament acceptat per tothom. No va ser fins al [[Renaixement]] que, arran dels comentaris successius i de les imprecisions de les traduccions de l'obra d'[[Aristòtil]], aquest terme va evolucionar fins a acabar per designar la versemblança d'una idea. Dels segles XVI a XVII va prevaler aquest significat, en particular en l'estudi del [[probabilisme]] dins l'àmbit de la teologia moral. Va ser durant la segona meitat del {{Segle|XVII}}, arran de l'obra de [[Blaise Pascal]], [[Pierre de Fermat]] i [[Christiaan Huygens]]<ref group="b">Aquest tres autors no van emprar mai el terme « probabilité » en el sentit que es va donar posteriorment sobre el « càlcul de probabilitats ». </ref><ref name="meusnier" group="a">{{ref-publicació|cognom=Meusnier|nom=Norbert|títol=L’émergence d'une mathématique du probable au XVII<sup>e</sup> siècle|publicació=Revue d'histoire des mathématiques|pàgines=119-147|exemplar=2|url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/RHM/RHM_1996__2_1/RHM_1996__2_1_119_0/RHM_1996__2_1_119_0.pdf|any=1996|llengua=francès}}</ref> sobre [[el problema dels punts]] que aquest terme va anar prenent gradualment el seu sentit actual, amb els desenvolupaments del tractament matemàtic d'aquest tema per [[Jakob Bernoulli]]. A partir del {{Segle|XIX}}, apareix el que es pot considerar com la teoria moderna de la probabilitat en matemàtiques.

Així, existeixen diverses nocions:
* la ''probabilitat d'un esdeveniment'' caracteritza la possibilitat que aquest fet es produeixi, una versemblança, una aparença de veritat.<ref name="CNRTL" group="a">{{ref-web|url=http://www.cnrtl.fr/lexicographie/probabilit%C3%A9|títol=Définition de probabilité|llengua=francès}}</ref> (definició 2 de Larousse).<ref name="larousse" group="a">{{ref-web|url=http://www.larousse.fr/dictionnaires/francais/probabilit%C3%A9s|títol=Définition : probabilité|llengua=francès}}</ref> 
*:Vegeu l'article del Viccionari: [[wikt:probable|probable]],
* les ''probabilitats d'un esdeveniment'' donen el percentatge de possibilitats que aquest fet es produeixi, és a dir, donen un o més valors (o percentatge) de la possibilitat que es produeixi. Aquesta noció s'apropa a la noció matemàtica de [[distribució de probabilitat]] (definició 1 de Larousse<ref group="a" name="larousse"/>). Més formalment, expressa la relació entre en nombre de casos favorables i el nombre de casos possibles,<ref group="a" name="CNRTL"/> 
* les ''probabilitats'' o el ''càlcul de probabilitats'' o la ''teoria de la probabilitat'' és la teoria matemàtica que estudia el caràcter probable dels esdeveniments (definició 1 de Larousse<ref group="a" name="larousse"/>). 
*:Vegeu l'article: [[teoria de la probabilitat]],
* el ''probabilisme'' és una doctrina de teologia moral que defensa que hom pot realitzar una acció, encara que estigui en contra de l'opinió general o el consens social, si és que hi ha una possibilitat, encara que sigui petita, que els seus resultats posteriors siguin bons,<ref group="a" name="CNRTL"/> 
*:Vegeu l'article: [[probabilisme]].

=== Noció de probabilitat d'Aristòtil ===
El primer ús del terme ''probabilitat'' apareix el 1370 amb la traducció de ''l'[[Ètica a Nicòmac]]'' d'[[Aristòtil]] per [[Nicolau Oresme|Oresme]] i designa «el caràcter del qual és probable».<ref group="a" name="CNRTL"/> El concepte d'Aristòtil (ενδοξον, en grec) és així definit en els ''Tòpics'':<ref name="tricot16">{{Harvnb|Tricot|1990|p=16}}</ref>

{{Citació|Són probables les opinions que són acceptades per tots els individus, o per la majoria d'aquests, o pels savis, i entre aquests darrers, bé per tots, bé per la majoria, o pels més notables i els més il·lustres.}}

El que atribueix una opinió probable, segons [[Aristòtil]], és el seu caràcter generalment admès;<ref name=macé group=a>{{ref-publicació|cognom=Macé|nom=Arnaud|títol=Aristote - Définir, décrire, classer chez Aristote : des opérations propédeutiques à la connaissance scientifique des choses|publicació=Phulopsis|url=http://www.philopsis.fr/IMG/pdf_aristote_mace.pdf|llengua=francès|any=2006}}</ref> no va ser fins a la traducció de [[Ciceró]] dels ''Tòpics'' d'Aristòtil, que va traduir per ''probabilis'' o per ''verisimilis'', que la noció de versemblança s'associa a la de probabilitat, i això va tenir un impacte al llarg de l'[[edat mitjana]] i posteriorment al [[Renaixement]], amb els successius comentaris de l'obra d'[[Aristòtil]].<ref name=spranzi group=a>{{ref-publicació|cognom=Spranzi Zuber|nom=Marta|títol=Rhétorique, dialectique et probabilité au XVI<sup>e</sup> siècle|publicació=publ|pàgines=297-317|volum=122|exemplar=2-4|url=http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02969533|llengua=francès|any=2001}}</ref>

=== Doctrina de la probabilitat al {{Segle|XVI}} i al {{Segle|XVII}} ===

La doctrina de la probabilitat, també anomenada ''[[probabilisme]]'', és una teologia moral catòlica que es va desenvolupar al llarg del {{Segle|XVI}} sota la influència, entre d'altres, de [[Bartolomé de Medina]] i dels [[jesuïtes]]. Amb l'aparició de la doctrina de la probabilitat, aquest terme va patir un canvi semàntic, que va acabar per designar, a meitats del {{Segle|XVII}}, el caràcter versemblant d'una idea.

La probabilitat d'una opinió designa, a meitats del {{Segle|XVII}}, la probabilitat que una opinió sigui vertadera. Va ser a partir de finals del {{Segle|XVII}}, amb el sorgiment de la probabilitat matemàtica, que la noció de probabilitat no denota només les opinions i les idees, sinó també els fets, i s'apropa a la noció d'atzar,<ref>Per designar aquesta matemàtica del que és probable, Pascal, en 1654, parla de {{Citació|Géométrie du hasard (Geometria de l'atzar)}}</ref> amb la qual es coneix en l'actualitat.

=== Noció moderna de probabilitat ===

L'aparició de la noció de risc, anterior a l'estudi de les probabilitats, no va ser fins al {{Segle|XII}} amb l'avaluació de contractes comercials, amb el ''Traité des contrats'' de [[Pere de Joan Olivi]],<ref>http://www.jehps.net/Juin2007/Piron_incertitude.pdf, Journ@l Électronique d’Histoire des Probabilités et de la Statistique</ref> i es va desenvolupar durant el {{Segle|XVI}} amb la generalització dels contractes d'assegurança marítima.<ref>http://www.jehps.net/Juin2007/Ceccarelli_Risk.pdf, Journ@l Électronique d’Histoire des Probabilités et de la Statistique</ref> A part d'algunes consideracions elementals de [[Girolamo Cardano]]<ref>http://www.cict.fr/~stpierre/histoire/node1.html site sobre la història de la probabilitat (en francés)</ref> a inicis del {{Segle|XVI}} i de Galileu a inicis del {{Segle|XVII}}, el naixement real de la teoria de la probabilitat data de la correspondència entre [[Pierre de Fermat]] i [[Blaise Pascal]] el 1654. 

No va ser fins a partir de mitjans del {{Segle|XVII}}, amb el sorgiment del tractat matemàtic d'aquest tema, que va aparèixer l'ús modern del terme ''probabilitat''.

=== Probabilitats del {{Segle|XVII}} al {{Segle|XIX}} ===
[[Fitxer:Fermatpascal.JPG|miniatura|Pàgina d'una còpia de la primera carta de Pascal a Fermat<ref>''Œuvres de Blaise Pascal'', Volume 2, Lefèvre, 1819, lettre du 29 juillet 1654, [http://books.google.com/books?id=N7EGAAAAQAAJ&pg=PA371 p. 371]</ref>]] 

El naixement real de la teoria de la probabilitat data de la correspondència entre [[Pierre de Fermat]] i [[Blaise Pascal]] el 1654. Ambdós comencen a elaborar les bases del tractament matemàtic de les probabilitats, al voltant de l'estudi de jocs d'atzar proposats, entre d'altres, per [[Antoine Gombaud]], cavaller de Méré. (Vegeu al costat una pàgina de la correspondència entre Pascal i Fermat sobre el [[problema dels punts]].) Encara que se'ls considera com a fundadors del tractament de la probabilitat, mai no van publicar-ne els seus treballs, i no va ser fins Huygens que va aparèixer publicat un primer escrit sobre aquest tema.

Encoratjat per Pascal, [[Christiaan Huygens]] va publicar ''De ratiociniis in ludo aleae'' (''Sobre el raonament dels jocs d'atzar'') el 1657. Aquest llibre va ser la primera obra important sobre probabilitat. Huygens defineix la noció d'[[esperança matemàtica]] i hi desenvolupa diversos problemes de repartiment de guanys en jocs o de llançaments d'objectes en urnes.<ref>[http://www.math93.com/theoreme/probabilites.html Les probabilités : Approche historique et définition.]</ref> També cal destacar dues obres més: ''Ars Conjectandi'' de [[Jakob Bernoulli]] (pòstuma, 1713), que defineix la noció de [[variable aleatòria]] i dóna la primera versió de la [[llei dels grans nombres]],<ref>http://www.cict.fr/~stpierre/histoire/node3.html, una història de la probabilitat fins a Laplace</ref> i ''Théorie de la probabilité'' d'[[Abraham de Moivre]] (1718), que generalitza l'ús de la [[combinatòria]].<ref>[[Ian Hacking]] ''L'emergence des probabilitées''</ref>

La ''teoria de l'error'', que estudia la quantificació de la diferència entre la mesura que hom fa d'una variable i el seu valor real, i que és precursora del [[teorema del límit central]], va sorgir amb l'<nowiki />''Opera Miscellanea'' de [[Roger Cotes]] (pòstuma, 1722). [[Thomas Simpson]] va ser el primer a aplicar-la als errors sobre les observacions el 1755.

[[Pierre-Simon Laplace]] va donar una primera versió del [[teorema del límit central]] el 1812, que es pot aplicar a una variable de dos estats, per exemple cara o creu, però no a un dau de sis cares.

Sota l'impuls de [[Adolphe Quételet|Quételet]], que va obrir el 1841 sota el guiatge de [[Adolphe Quetelet|Quetelet]], la primera oficina estadística (el Conseil Supérieur de Statistique),<ref>http://statbel.fgov.be/info/quetelet_fr.asp, una biografia de Quételet</ref> es desenvolupa [[estadística|l'estadística]], que esdevé una branca distingida de les matemàtiques recolzada en la probabilitat, i no pas una part.

=== Naixement de la teoria clàssica de la probabilitat ===

La teoria de la probabilitat clàssica va créixer realment amb les nocions de [[Teoria de la mesura|mesura]] i conjunt mesurable, introduïdes per [[Émile Borel]] el 1897. Aquesta noció de mesura fou completada per [[Henri Léon Lebesgue]] i la seva teoria de la [[integració]].<ref>http://www.cict.fr/~stpierre/histoire/node4.html història de la probabilitat, de Borel a la segona guerra mundial</ref> La primera versió moderna del [[teorema del límit central]] va ser donada per [[Aleksandr Liapunov]] el 1901,<ref>[http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/smel/articles/etoiles/cadre_etoiles.html Entre De Moivre et Laplace]</ref> i la primera demostració del teorema modern va ser donada per [[Paul Pierre Lévy]] el 1910. El 1902, [[Andrei Màrkov]] introdueix les [[Cadena de Màrkov|cadenes de Màrkov]]<ref>[http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./m/markov.html DicoMaths : Cadena de Màrkov]</ref> per emprendre una generalització de la llei dels grans nombres per a una seqüència d'experiències dependents les unes de les altres. Aquestes [[Cadena de Màrkov|cadenes de Màrkov]] tenen una àmplia utilitat, com per exemple la modelització del [[moviment brownià]] o la indexació de llocs d'internet per Google.

Va ser necessari esperar fins al 1933 per tal que la teoria de la probabilitat deixés de ser merament una col·lecció de mètodes i exemples i esdevingués una teoria per si mateixa, axiomatitzada per [[Andrei Kolmogórov]].<ref>[http://www.probabilityandfinance.com/articles/04.pdf un article sobre l'axiomatització de la probabilitat].</ref>

[[Kiyoshi Itō]] formalitzà una teoria i un [[lema d'Itō|lema]] que porta el seu nom durant els anys 1940.<ref>[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Ito.html Biografia d'Itō en el lloc web Mac Tutor]</ref> Això va permetre connectar el càlcul [[estocàstic]] i les [[Equació en derivades parcials|equacions en derivades parcials]], establint així un lligam entre l'[[anàlisi matemàtica]] i la probabilitat. El matemàtic [[Wolfgang Döblin]], per la seva banda, va esbossar una teoria similar abans de suïcidar-se per la derrota del seu batalló el juny de 1940. Els seus treballs van ser enviats a l'<nowiki />''Académie des Sciences'' en un sobre tancat, que no va ser obert fins a l'any 2000.<ref>Bernard Bru et Marc Yor (éd.), « Sur l'équation de Kolmogoroff, par W Doeblin », ''C. R. Acad. Sci. Paris'', Série I 331 (2000). Sur la vie de Doeblin, voir Bernard  Bru, « La vie et l'œuvre de W. Doeblin (1915-1940) d'après les archives parisiennes », ''Math. Inform. Sci. Humaines'' 119 (1992), 5-51 i, en anglès, [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Doeblin.html  Biografia de Döblin en el lloc web Mac Tutor]</ref>

== Probabilitat de successos compostos ==

Imaginem que ens demanem per la probabilitat d'un succés associat a un experiment aleatori, en el qual hi ha diferents possibilitats perquè pugui ocórrer. Per exemple: si disposem de dues urnes que contenen boles de color blanc i negre, quina és la probabilitat que en triar una urna a l'atzar i una bola, aquesta sigui de color blanc? En aquest cas, la probabilitat té dues opcions: elegir la primera o la segona urna.

En casos com aquest, en els quals la probabilitat d'un succés té diferents opcions, es parla de ''probabilitat de successos compostos'', i no s'hi pot aplicar directament la regla de Laplace.

Si anomenam A i B dos successos, de tal manera que el succés pel qual ens demanem la probabilitat està compost per aquests dos, la probabilitat que pugui ocórrer A o B és:

<math>P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)</math>

i és P(A) la probabilitat associada al succés A, P(B) la del succés B, i P(A ∩ B) la probabilitat que puguin succeir conjuntament (en el cas que no sigui possible, aquesta seria 0). És a dir, la probabilitat del succés A o B és la suma de la probabilitat de cadascun dels successos menys la probabilitat que succeeixin conjuntament, ja que aquesta darrera ja s'ha comptat dintre de cadascuna de les probabilitats de cada succés.

Aquesta fórmula es pot estendre seguint el mateix raonament per a tres o més successos, per exemple:

<math>P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)</math>

== Probabilitat condicionada ==

Hi ha casos en els quals necessitem conèixer la probabilitat d'un succés sabent que prèviament n'ha ocorregut un altre. És el que es coneix com a ''probabilitat'' ''condicionada''. Si B representa el succés que ha passat i A el succés pel qual ens demanem la probabilitat, la fórmula que ens permet calcular la probabilitat que ocorri el succés A sabent que ha ocorregut el B, és:

<math>P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}</math>

i és P(A∩B) la probabilitat que es verifiquin el successos A i B simultàniament, i P(B) la probabilitat associada al succés B.

Podem generalitzar el resultat anterior, si consideram que: A<sub>1</sub>,A<sub>2</sub>,A<sub>3</sub>,..........A<sub>n</sub> constitueixen una [[Partició (matemàtiques)|partició]] de l'[[espai mostral]], i que B és un succés qualsevol, llavors, la probabilitat que es verifiqui el succés A<sub>i</sub> sabent que prèviament s'ha verificat el B, és:

<math>P(A_i|B)=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{k=1}^{n}P(A_k)P(B|A_k)}</math>

aquest resultat es coneix amb el nom de ''[[teorema de Bayes]]''.

== Tractament matemàtic ==
{{Article principal|Teoria de la probabilitat}}
Considerem un experiment que pot produir una sèrie de resultats. El conjunt de tots els resultats s'anomena ''espai mostral'' de l'experiment. El [[conjunt de les parts]] de l'espai mostral està format pel fet de considerar tots els conjunts diferents que es puguin considerar a partir dels resultats possibles. Per exemple, llançar un dau presenta sis possibles resultats. Un conjunt dels resultats possibles seria l'obtenció d'un nombre senar en el dau. Així doncs, el subconjunt {1,3,5} és un element del conjunt de les parts de l'espai mostral de tirades. Aquests conjunts s'anomenen ''esdeveniments''. En aquest cas, {1,3,5} és l'esdeveniment en què el dau dóna un nombre senar. Si els resultats que realment es produeixen pertanyen a un determinat esdeveniment, es diu que l'esdeveniment ''s'ha produït''.

La probabilitat és una manera d'assignar a cada esdeveniment un valor entre zero i un, amb el requisit que a l'esdeveniment compost de tots els resultats possibles (en l'exemple que es proposa, l'esdeveniment {1,2,3,4,5,6})) se li assigna un valor d'un. Per a qualificar com una probabilitat, l'assignació de valors han de complir el requisit que si ens fixem en un conjunt d'esdeveniments mútuament excloents (esdeveniments sense resultats comuns, per exemple, els esdeveniments {1,6}, {3} i {2,4} són mútuament excloents), la probabilitat que almenys un dels esdeveniments es produeixi es dóna per la suma de les probabilitats de tots els esdeveniments individuals.<ref>Ross, Sheldon. A First course in Probability, 8th Edition. Page 26-27.</ref>

La probabilitat d'un esdeveniment ''A'' s'escriu P(''A''), p(''A'') o Pr(''A'').<ref>Olofsson, Peter. (2005), p. 8.</ref> Aquesta definició matemàtica de la probabilitat es pot estendre a infinits espais mostrals, i fins i tot a innombrables espais mostrals, utilitzant el concepte de mesura.

El contrari o complement d'un esdeveniment ''A'' és l'esdeveniment [no ''A''] (és a dir, el cas en què ''A'' no es produeixi); la seva probabilitat és donada per P (no ''A'') = 1 - P (''A'').<ref>Olofsson, p. 9</ref> Com a exemple, la probabilitat de no treure un sis en un dau de sis cares és de 1 - (possibilitat de treure un sis) <math>= 1 - \tfrac{1}{6} = \tfrac{5}{6}</math>

La probabilitat que dos esdeveniments ''A'' i ''B'' es produeixin en una mateixa repetició d'un experiment s'anomena ''probabilitat d'intersecció'' o ''[[distribució conjunta]]'' d{{'}}''A'' i ''B'', notada com a <math>P(A \cap B)</math>. 


===Esdeveniments independents===
Si dos esdeveniments ''A'' i ''B'' són [[independència estadística|independents]], llavors la seva probabilitat conjunta és:
:<math>P(A \mbox{ i }B) = P(A \cap B) = P(A) P(B),\,</math>

Per exemple, si es llencen dues monedes, la probabilitat que les dues donin cara és <math>\tfrac{1}{2}\times\tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{4}.</math><ref>Olofsson, page 35.</ref>


====Esdeveniments mútuament excloents====
Donats dos esdeveniments 'A' i 'B', la possibilitat que es produeixin qualsevol o ambdós en una sola repetició d'un experiment s'anomena la ''unió dels'' ''esdeveniments A i B''. La seva probabilitat es nota <math>P(A \cup B)</math>. Si dos esdeveniments són mútuament excloents, llavors la probabilitat de la seva unió és:
:<math>P(A\mbox{ o }B) = P(A \cup B)= P(A) + P(B).</math>

Per exemple, la possibilitat de treure un 1 o un 2 en un dau de sis cares és <math>P(1\mbox{ o }2) = P(1) + P(2) = \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{3}.</math>

====Esdeveniments no mútuament excloents====
Si els esdeveniments no són mútuament excloents, llavors:
:<math>\mathrm{P}\left(A \hbox{ o } B\right)=\mathrm{P}\left(A\right)+\mathrm{P}\left(B\right)-\mathrm{P}\left(A \mbox{ i } B\right).</math>

Per exemple, en treure una sola carta a l'atzar d'una baralla de cartes de pòquer, la probabilitat que surti un cor o una figura (J, Q, K) (o una figura de cors) és <math>\tfrac{13}{52} + \tfrac{12}{52} - \tfrac{3}{52} = \tfrac{11}{26}</math>, ja que de les 52 cartes d'una baralla, 13 són cors, 12 són figures i 3 són figures de cors.
En aquest cas, cal tenir en compte que les possibilitats de les 3 figures de cors (<math>\tfrac{3}{52}</math>) ja s'inclouen en les dels 13 cors (<math>\tfrac{13}{52}</math>) i de les 12 figures (<math>\tfrac{12}{52}</math>), i doncs, cal restar-les per no comptar-les dues vegades.

===Probabilitat condicionada===
[[Probabilitat condicionada]] és la probabilitat d'un esdeveniment, donada l'ocurrència d'un altre esdeveniment ''B''. S'escriu ''P''(''A''|''B''), i es llegeix "la probabilitat de ''A'', donat ''B''". Es defineix per:
:<math>P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.\,</math><ref>Olofsson, p. 29.</ref>

Si <math>P(B)=0</math>, llavors <math>P(A \mid B)</math> no està definit. Tingueu en compte que en aquest cas ''A'' i ''B'' són independents.


===Taula resum===
{| class="wikitable"
|+Resum de probabilitats
|-
!Esdeveniment!!Probabilitat
|-
|align=center|A||<math>P(A)\in[0,1]\,</math>
|-
|align=center|no A||<math>P(A')=1-P(A)\,</math>
|-
|align=center|A o B
|<math>\begin{align}
P(A\cup B) & = P(A)+P(B)-P(A\cap B) \\
& = P(A)+P(B) \qquad\mbox{si A i B són mútuament excloents}\\
\end{align}</math>
|-
|align=center|A i B
|<math>\begin{align}
P(A\cap B) & = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)\\
& = P(A)P(B) \qquad\mbox{si A i B són independents}\\
\end{align}</math>
|-
|align=center|A donat B
|<math>P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\,</math>
|}

=== Llei dels grans nombres ===
{{millorar traducció|fr|Probabilité|26/05/2013|data=desembre de 2017}}
{{AP|Llei dels grans nombres}}
En aquesta secció, presentem la [[llei dels grans nombres]], però cal destacar que n'existeixen altres versions.

Donada una successió de variables aleatòries independents i idènticament distribuïdes, i amb esperança finita, llavors la seva esperança existeix i també és finita:

:<math>\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n} \underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} \mathbb{E}(X)</math>

Més concretament, aquesta llei diu que la [[mitjana aritmètica]] d'una variable tendeix cap a la seva esperança. Per exemple, si llancem repetidament un dau de 6 cares, la mitjana d'aquests llançaments tendeix cap a l'esperança 3,5.

El terme ''tendir cap a'' s'ha de prendre en el sentit de '''convergència quasi segura''', és a dir, que la probabilitat que la successió arribi al límit és igual a 1. Com s'indica en els principis fonamentals, pot donar-se el cas que, excepcionalment, aquesta mitjana no tendeixi cap a l'esperança. Podria succeir, per exemple, que obtinguéssim una seqüència de només 1 en llançar un dau, i llavors la mitjana seria també 1, i no s'arribaria al límit. Si continuem llançant el dau suficients vegades, veurem que anirem obtenint cadascuna de les 6 cares, i llavors veurem que la mitjana tendirà a l'esperança. Aquest teorema formalitza l'observació del sentit comú.

=== Teorema del límit central ===
{{AP|Teorema del límit central}}

[[Fitxer:Normal distribution pdf.png|distribució normal]]
Aquest teorema del límit central és útil per a conèixer com es comporta la relació entre la realització d'una variable i el seu valor mitjà. Mentre que la llei dels grans nombres afirma que la mitjana de les realitzacions tendeix cap a l'esperança, el teorema del límit central descriu ''com'' tendeix la mitjana cap a l'esperança. Una manera senzilla, encara que poc rigorosa, d'escriure aquest teorema ens permet comprendre millor la seva utilitat:

:<math>\frac{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(X_k-\mathbb{E}(X))}{n} \underset{n\rightarrow\infty}{\simeq} \mathcal N\left(0,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)</math>

en què <math>\mathcal N \left(0,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)</math> és la [[distribució normal]] de [[variància]] <math>\textstyle\frac{\sigma^{2}}{n}</math>, també coneguda com a ''gaussiana'', i representada per la figura adjunta. Aquest teorema té una enorme utilitat, per exemple en física. Es pot interpretar com que «la mitjana dels errors observats tendeix cap a una distribució normal». La suma d'un gran nombre d'errors (per exemple, errors d'observació en una mesura) és gairebé gaussiana. Podríem tenir la certesa que és gaussiana si suméssim un nombre infinit d'errors, però en la pràctica això no és possible. La distribució gaussiana ens dóna, llavors, una aproximació per a la distribució de l'error, que és més fàcil de conèixer que la distribució ''exacta'' de l'error, ja que aquesta última no sempre es coneix. Un gran nombre de fenòmens naturals són deguts a la superposició de diverses causes, independents en major o menor grau. D'aquest teorema es desprèn que la distribució normal representa aquestes causes d'una manera raonablement eficaç.

Per a ser més formals, hem d'escriure el teorema del límit central de la manera següent:

:<math>\frac{1}{\sigma\sqrt{n}}\sum_{k=0}^{n}(X_k-\mathbb{E}(X)) \underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} \mathcal N(0,1)</math>

en què hem d'interpretar el límit en el sentit de '''tendir en distribució''' o '''convergir com a variable aleatòria''', és a dir, la distribució del membre esquerre de la igualtat tendeix cap a la [[distribució normal]]. 

Hom ha de tenir en compte que existeixen diverses generalitzacions d'aquest teorema, com per exemple en els casos en què les variables no són idènticament distribuïdes (''condicions de [[Aleksandr Liapunov|Liapunov]]'' o ''condicions de [[Jarl Waldemar Lindeberg|Lindeberg]]''),<ref>{{en}}[http://www.stat.sfu.ca/~lockhart/richard/801/00_1/lectures/09/web.html Diferents versions del Teorema del límit central]</ref> o els casos en què les variables tenen variància infinita (a causa de [[Boris Vladimirovich Gnedenko|Gnedenko]] i [[Andrei Kolmogórov|Kolmogórov]]).<ref>Gnedenko-Kolmogórov, ''Limit distributions for sums of independant random variables''. Nouvelle édition. Addison Wesley, 1968</ref>

== Notes ==
<references group="b" />

== Referències ==
{{Referències}}

;Articles i altres fonts
<references group="a" />

== Bibliografia ==
* [[Olav Kallenberg|Kallenberg, O.]] (2005). ''Probabilistic Symmetries and Invariance Principles''. Springer -Verlag, New York. 510 pp.&nbsp;{{ISBN|0-387-25115-4}}.
* Kallenberg, O. (2002). ''Foundations of Modern Probability,'' 2nd ed. Springer Series in Statistics. 650 pp.&nbsp;{{ISBN|0-387-95313-2}}.
*Olofsson, Peter (2005). ''Probability, Statistics, and Stochastic Processes'', Wiley-Interscience. 504 pp {{ISBN|0-471-67969-0}}.

== Vegeu també ==
* [[Anàlisi de relacions]].

== Enllaços externs ==
{{Commonscat}}

* [http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.html Probabilitat a thales.cica.es (en castellà)]. 
* [http://mathworld.wolfram.com/BayesTheorem.html Bayes's Theorem (en anglès)].
* [http://www.math.uah.edu/stat/ Virtual Laboratories in Probability and Statistics (Univ. of Ala.-Huntsville)].
* [http://wiki.stat.ucla.edu/socr/index.php/EBook Probability and Statistics EBook].
* [[Edwin Thompson Jaynes]]. ''Probability Theory: The Logic of Science''. Preprint: Washington University, (1996). — [http://omega.albany.edu:8008/JaynesBook.html HTML index with links to PostScript files] and [http://bayes.wustl.edu/etj/prob/book.pdf PDF] (first three chapters).
* [http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/Figures.htm People from the History of Probability and Statistics (Univ. of Southampton)].
* [http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/Probability%20Earliest%20Uses.htm Probability and Statistics on the Earliest Uses Pages (Univ. of Southampton)].
* [http://jeff560.tripod.com/stat.html Earliest Uses of Symbols in Probability and Statistics] on [http://jeff560.tripod.com/mathsym.html Earliest Uses of Various Mathematical Symbols].
* [http://www.celiagreen.com/charlesmccreery/statistics/bayestutorial.pdf A tutorial on probability and Bayes’ theorem devised for first-year Oxford University students].
* [http://ubu.com/historical/young/index.html pdf file of An Anthology of Chance Operations (1963)] at [[UbuWeb]].
* [http://probability.infarom.ro Probability Theory Guide for Non-Mathematicians].
* [http://www.bbc.co.uk/raw/money/express_unit_risk/ Understanding Risk and Probability] with BBC raw.
* [http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html Introduction to Probability - eBook], by Charles Grinstead, Laurie Snell [http://bitbucket.org/shabbychef/numas_text/ Source] ''([[GNU Free Documentation License]]).''
* [http://www.matifutbol.com/docs/temes/endevins.html Fonaments bàsics de probabilitat adaptats al món del futbol ] ''Matifutbol.com'' (català).

{{1000 Ciència}}
{{Autoritat}}

[[Categoria:Probabilitat| ]]