Mostra la font per a Regla de la raó inversa d'una funció

En [[Càlcul infinitesimal|càlcul]] la '''regla de la raó inversa d'una funció''' és una drecera per a trobar la [[derivada]] d'una [[funció (matemàtiques)|funció]] f(x) en el cas que aquesta funció vingui expressada com a 1/g(x) i la derivada de g(x) sigui coneguda. La derivada es podria trobar aplicant la [[regla del quocient]] o la [[regla de la cadena]] però en aquest tipus de funcions, la regla de la raó inversa dona una fórmula més senzilla.

La regla de la raó inversa estableix que la derivada de <math>1/g(x)</math> ve donada per

:<math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{g(x)}\right) = \frac{- g'(x)}{(g(x))^2}</math>

als punts on <math>g(x) \neq 0.</math>

== Demostració ==
=== A partir de la regla del quocient ===
La regla de la raó inversa es dedueix a partir de la [[regla del quocient]], fent el numerador <math>f(x) = 1</math>. Resulta,
:{|
|-
|<math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{g(x)}\right) = \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)</math>
|<math>= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}</math>
|-
|
|<math>= \frac{0\cdot g(x) - 1\cdot g'(x)}{(g(x))^2}</math>
|-
|
|<math>= \frac{- g'(x)}{(g(x))^2}.</math>
|}

=== A partir de la regla de la cadena ===
La regla de la raó inversa també es pot deduir a partir de la [[regla de la cadena]]. Sia <math>f(x)=x^{-1}.</math> Llavors, 

:<math>f(g(x))=(g(x))^{-1}=\frac{1}{g(x)}</math>. 

Aplicant la regla de la cadena,

:{|
|-
|<math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{g(x)}\right) = \frac{d}{dx} f(g(x))</math>
|<math>= f'(g(x))\cdot g'(x)</math>
|-
|
|<math>= -(g(x))^{-2} \cdot g'(x)</math>
|-
|
|<math>= \frac{- g'(x)}{(g(x))^2}.</math>
|}

== Exemples ==
La derivada de <math>1/(x^2 + 2x)</math> és:

:<math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2 + 2x}\right) = \frac{-2x - 2}{(x^2 + 2x)^2}.</math>

La derivada de <math>1/\cos(x)</math> (en els punts on <math>\cos x\not=0</math>) és:

:<math>\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cos(x) }\right) = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos(x)} \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sec(x)\tan(x).</math>

== Vegeu també ==
* [[Regla del producte]]
* [[Regla del quocient]]
* [[Regla de la cadena]]

{{ORDENA:Regla De La Rao Inversa D'Una Funcio}}	<!--ORDENA generat per bot-->
[[Categoria:Regles de càlcul de derivades]]