Mostra la font per a Símbol q-Pochhammer

En [[matemàtiques]], en l'àrea de [[combinatòria]], un '''símbol q-Pochhammer''', és un [[q-anàleg]] del [[símbol de Pochhammer]]. Es defineix com

:<math>(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1})</math>

amb

:<math>(a;q)_0 = 1</math>

per definició. El símbol  <math>q</math>-Pochhammer és un important bloc de construcció en la construcció de  <math>q</math>-anàlegs; per exemple, en la teoria de les [[Sèrie hipergeomètrica bàsica|sèries hipergeomètriques bàsiques]], juga el paper que juga el símbol ordinari de Pochhammer en la teoria de les [[Funció hipergeomètrica generalitzada|sèries hipergeomètriques generalitzades]].

A diferència del símbol ordinari de Pochhammer, el símbol  <math>q</math>-Pochhammer es pot estendre a un [[producte infinit]]:

:<math>(a;q)_\infty = \prod_{k=0}^{\infty} (1-aq^k).</math>

Aquesta és una [[funció analítica]] de  ''<math>q</math>'' a l'interior del [[disc unitat]], i també es pot considerar com una [[Sèrie formal de potències|sèrie de potències formals]] en  ''<math>q</math>.'' El cas especial

:<math>\phi(q) = (q;q)_\infty=\prod_{k=1}^\infty (1-q^k)</math>

es coneix com la [[funció d'Euler]], i és important en [[combinatòria]], [[teoria de nombres]] i la teoria de [[Forma modular|formes modulars]].

==Identitats==
El producte finit es pot expressar en termes del producte infinit:

:<math>(a;q)_n = \frac{(a;q)_\infty} {(aq^n;q)_\infty}, </math>

que amplia la definició als  ''<math>n</math>'' enters negatius. Per tant, per a un  ''<math>n</math>'' no-negatiu, s'obté

:<math>(a;q)_{-n} = \frac{1}{(aq^{-n};q)_n}=\prod_{k=1}^n \frac{1}{(1-a/q^k)}</math>

i

:<math>(a;q)_{-n} = \frac{(-q/a)^n q^{n(n-1)/2}} {(q/a;q)_n}.</math>

El símbol  <math>q</math>-Pochhammer és objecte d'un nombre d'una sèrie d'identitats de la  <math>q</math>-sèrie, en particular les expansions de la sèrie infinita

:<math>(x;q)_\infty = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_n} x^n</math>

i

:<math>\frac{1}{(x;q)_\infty}=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{(q;q)_n}</math>,

que són els dos casos especials del [[teorema del q-binomi]]:

:<math>\frac{(ax;q)_\infty}{(x;q)_\infty} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n} x^n.</math>

[[Fridrikh Karpelevich]] va trobar la següent identitat (vegeu ''Olshanetsky i Rogov (1995)'' per a la demostració):

:<math>\frac{(q;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_n(1-zq^n)}, \ |z|<1.</math>

== Interpretació combinatòria ==

El símbol  <math>q</math>-Pochhammer està molt relacionat amb la combinatòria enumerativa de les particions. El coeficient de <math>q^m a^n</math> en

:<math>(a;q)_\infty^{-1} = \prod_{k=0}^{\infty} (1-aq^k)^{-1}</math>

és la quantitat de particions de  ''<math>m</math>'' en la majoria de  ''<math>n</math>'' parts.

Atès que, per conjugació de particions, això és el mateix que el nombre de particions de  <math>m</math> en parts de mida <math>n</math> com a màxim, mitjançant la identificació de sèries generadores obtenim la identitat:

:<math>(a;q)_\infty^{-1} = \sum_{k=0}^\infty \left(\prod_{j=1}^k \frac{1}{1-q^j} \right) a^k
                         = \sum_{k=0}^\infty \frac{a^k}{(q;q)_k}</math>

com a la secció anterior.

També tenim que el coeficient de <math>q^m a^n</math>en

:<math>(-a;q)_\infty = \prod_{k=0}^{\infty} (1+aq^k)</math>

és el nombre de particions de ''<math>m</math>'' en ''<math>n</math>'' o ''<math>n-1</math>''parts diferents.

En treure una partició triangular amb ''<math>n-1</math>''parts d'aquesta partició, ens queda una partició arbitrària amb, com a molt, ''<math>n</math>'' parts. Això proporciona una [[Funció bijectiva|bijecció]] equilibrada entre el conjunt de particions en ''<math>n</math>'' o ''<math>n-1</math>''parts diferents i el conjunt de parells que consisteixen en una partició triangular que té ''<math>n-1</math>''parts i una partició amb, com a màxim, ''<math>n</math>'' parts. Identificant les sèries generadores, això condueix a la identitat:

:<math>(-a;q)_\infty = \prod_{k=0}^\infty (1+aq^k)
                     = \sum_{k=0}^\infty \left(q^{k\choose 2} \prod_{j=1}^k \frac{1}{1-q^j}\right) a^k
                     = \sum_{k=0}^\infty \frac{q^{k\choose 2}}{(q;q)_k} a^k</math>

també descrit a la secció anterior.

El recíproc de la funció <math>(q)_{\infty} := (q; q)_{\infty}</math> de manera similar es presenta com la [[funció generadora]] de la [[Partició (teoria de nombres)|funció de partició]], <math>p(n)</math>, que també s'amplia per les segones dues expansions de la ''<math>q</math>''-sèrie que es detallen a continuació:<ref>{{ref-web|cognom1=Berndt|nom1=B. C.|títol=What is a q-series?|url=http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/q.pdf}}</ref>

:<math>\frac{1}{(q; q)_{\infty}} = \sum_{n \geq 0} p(n) q^n = \sum_{n \geq 0} \frac{q^n}{(q; q)_n} = \sum_{n \geq 0} \frac{q^{n^2}}{(q; q)_n^2}. </math>

El [[teorema del q-binomi]] també pot ser manejat per un argument combinatori lleugerament més involucrat d'un sabor similar (veure les expansions que es donen en la següent subsecció).

== Convenció d'arguments múltiples ==

Atès que les identitats que impliquen símbols ''<math>q</math>''-Pochhammer impliquen amb freqüència productes de molts símbols, la convenció estàndard és escriure un producte com un únic símbol de múltiples arguments:

:<math>(a_1,a_2,\ldots,a_m;q)_n = (a_1;q)_n (a_2;q)_n \ldots (a_m;q)_n.</math>

==''q''-sèries ==

Una ''<math>q</math>''-sèrie és una [[Sèrie (matemàtiques)|sèrie]] en la qual els coeficients són funcions de ''<math>q</math>'', típicament expressions de <math>(a; q)_{n}</math>.<ref>Bruce C. Berndt, [http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/q.pdf What is a ''q''-series?], in Ramanujan Rediscovered: Proceedings of a Conference on Elliptic Functions, Partitions, and q-Series in memory of K. Venkatachaliengar: Bangalore, 1–5 June 2009, N. D. Baruah, B. C. Berndt, S. Cooper, T. Huber, and M. J. Schlosser, eds., Ramanujan Mathematical Society, Mysore, 2010, pp. 31-51</ref> Els primers resultats es deuen a [[Leonhard Euler|Euler]], [[Carl Friedrich Gauß|Gauss]] i [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]. L'estudi sistemàtic comença amb [[Eduard Heine]] (1843).<ref>E. Heine, [https://archive.org/details/abw7150.0001.001.umich.edu Untersuchungen über die Reihe], J. Reine Angew. Math. 34 (1847), 285-328</ref>

== Relació amb altres ''q''-funcions ==

El ''<math>q</math>''-anàleg de ''<math>n</math>'', també conegut com ''<math>q</math>''-claudator o ''<math>q</math>''-nombre de ''<math>n</math>'', es defineix com a

:<math>[n]_q=\frac{1-q^n}{1-q}.</math>

A partir d'aquest es pot definir el ''<math>q</math>''-anàleg del [[factorial]], el ''<math>q</math>''-factorial, com

:{|
|-
|<math>\big[n]!_q</math>
|<math>=\prod_{k=1}^n [k]_q</math>
|-
|
||<math>= [1]_q [2]_q \cdots [n-1]_q [n]_q</math>
|-
|
|<math>=\frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q}</math>
|-
|
|<math>=1(1+q)\cdots (1+q+\cdots + q^{n-2})  (1+q+\cdots + q^{n-1})</math>
|-
|
|<math>=\frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}.</math>
|}

Aquests nombres són anàlegs en el sentit que  

:<math>\lim_{q\rightarrow 1}\frac{1-q^n}{1-q}=n,</math>

i també 

:<math>\lim_{q\rightarrow 1}[n]!_q = n!.</math>

El valor límit [[Factorial|n!]] computa les [[Permutació|permutacions]] de  <math>n</math>-elements del conjunt ''<math>S</math>''. Igualment, compte el nombre de seqüències del conjunt  <math>E_1 \subset E_2 \subset \cdots \subset E_n = S</math> de tal manera que <math>E_i</math> conté exactament  <math>i</math>elements.<ref name="EC1">{{citar ref|cognom= Stanley |nom= Richard P. |enllaçautor= Richard P. Stanley |títol= Enumerative Combinatorics |volum= 1 |edició= 2 |editorial= Cambridge University Press |any= 2011}}, Section 1.10.2.</ref>  En comparació, quan ''<math>q</math>'' és una [[Potenciació|potència]] [[Nombre primer|primer]] i ''<math>V</math>'' és un [[espai vectorial]] ''<math>n</math>''-dimensional sobre el camp amb  ''<math>q</math>''elements, el  <math>q</math>-anàleg <math>[n]!_q</math> és el nombre dels ítems complets en  <math>V</math>, és a dir, és el nombre de seqüències <math>V_1 \subset V_2 \subset \cdots \subset V_n = V</math> de subespais tal que <math>V_i</math> té dimensió ''<math>i</math>''.<ref name = "EC1" />  Les consideracions precedents suggereixen que es pot considerar una seqüència de conjunts nidificats com un ítem sobre un [[Camp amb un element|camp conjectural amb un element]] (F<sub>1</sub>).

Un producte de  <math>q</math>-nombres enters negatius pot ser expressat en termes de  <math>q</math>-factorial com

:<math>\prod_{k=1}^n [-k]_q = \frac{(-1)^n\,[n]!_q}{q^{n(n+1)/2}}</math>

A partir dels ''<math>q</math>''-factorials, es pot passar a definir els coeficients ''<math>q</math>''-binomials, també coneguts com els [[coeficients binomials de Gauss]], com

:<math>
\begin{bmatrix}
n\\
k
\end{bmatrix}_q
=
\frac{[n]!_q}{[n-k]!_q [k]!_q}, 
</math>

on és fàcil veure que el triangle d'aquests coeficients és simètric en el sentit que <math>\begin{bmatrix} n \\ m \end{bmatrix}_q = \begin{bmatrix} n \\ n-m \end{bmatrix}_q</math> per a tot <math>0 \leq m \leq n</math>.

Es pot comprovar això

:<math>
\begin{align}
\begin{bmatrix}
n+1\\
k
\end{bmatrix}_q
 & =
\begin{bmatrix}
n\\
k
\end{bmatrix}_q
+
q^{n-k+1}
\begin{bmatrix}
n\\
k-1
\end{bmatrix}_q \\ 
 & = 
\begin{bmatrix} n \\ k-1 \end{bmatrix}_q + q^k \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}_q.
\end{align}
</math>

També es pot veure des de les relacions de [[Recursivitat|recurrència]] anteriors que les properes variants del teorema <math>q</math>-binomial s'amplien en termes d'aquests coeficients de la següent manera:<ref>{{ref-llibre|cognom1=Olver et. al.|títol=NIST Handbook of Mathematical Functions|data=2010|lloc=Section 17.2|pàgina=421|url=http://dlmf.nist.gov/}}</ref>

:<math>
\begin{align} 
(z; q)_n & = \sum_{j=0}^n \begin{bmatrix} n \\ j \end{bmatrix}_q (-z)^j q^{\binom{j}{2}} = (1-z)(1-qz) \cdots (1-z q^{n-1}) \\ 
(-q; q)_n & = \sum_{j=0}^n \begin{bmatrix} n \\ j \end{bmatrix}_{q^2} q^j \\ 
(q; q^2)_n & = \sum_{j=0}^{2n} \begin{bmatrix} 2n \\ j \end{bmatrix}_q (-1)^j \\ 
\frac{1}{(z; q)_{m+1}} & = \sum_{n \geq 0} \begin{bmatrix} n+m \\ n \end{bmatrix}_q z^n. 
\end{align}
</math>

Es pot definir encara més els coeficients <math>q</math>-multinomials

:<math>
\begin{bmatrix}
n\\
k_1, \ldots ,k_m
\end{bmatrix}_q
=
\frac{[n]!_q}{[k_1]!_q \cdots [k_m]!_q}, 
</math>

on els arguments <math>k_1, \ldots, k_m</math> són enters no negatius que satisfan <math>
\sum_{i=1}^m k_i = n 
</math>. El coeficient anterior compta amb el nombre d'ítems <math>
V_1 \subset  \dots \subset V_m
</math> de subespais en un espai vectorial <math>n</math>-dimensional sobre el camp amb <math>q</math> elements tals que <math>
\dim V_i = \sum_{j=1}^i k_j
</math>.

El [[Límit (matemàtica)|límit]]  <math>q\to 1</math> dóna l'habitual coeficient multinomial  <math>{n\choose k_1,\dots ,k_m}</math>, que compta amb paraules en <math>n</math> diferents símbols <math>\{s_1,\dots,s_m\}</math> tal que cada  <math>s_i</math>apareix  <math>k_i</math>vegades. 

També s'obté un <math>q</math>-anàleg de la [[funció gamma]], anomenada [[funció q-gamma]], i definida com a

:<math>\Gamma_q(x)=\frac{(1-q)^{1-x} (q;q)_\infty}{(q^x;q)_\infty}</math>

Aquesta convergeix a la funció gamma habitual quan <math>q</math> s'apropa a 1 des de l'interior del [[disc unitari]]. S'ha de tenir en compte que

:<math>\Gamma_q(x+1)=[x]_q\Gamma_q(x)</math>

per a qualsevol <math>x</math> i

:<math>\Gamma_q(n+1)=[n]!_q.</math>

per valors enters no-negatius de <math>n</math>. Alternativament, això es pot considerar com una extensió de la funció <math>q</math>-factorial al sistema de [[Nombre real|nombres reals]].

== References ==
{{referències}}

== Bibliografia ==
* George Gasper, [[Mizan Rahman]], ''Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition'', (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, '''96''', Cambridge University Press, Cambridge. {{ISBN|0-521-83357-4}}.
* Roelof Koekoek, Rene F. Swarttouw, ''[http://fa.its.tudelft.nl/~koekoek/askey/ The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues]'', section 0.2.
* Exton, H. (1983), ''q-Hypergeometric Functions and Applications'', New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, {{ISBN|0853124914}},  {{ISBN|0470274530}}, {{ISBN|978-0470274538}}
*M.A. Olshanetsky, V.B.K. Rogov (1995), The Modified q-Bessel Functions and the q-Bessel-Macdonald Functions, arXiv:q-alg/9509013.

== Vegeu també ==
{{Div col|cols=2}}
* [[Fracció contínua de Rogers-Ramanujan]]
* [[Funció gamma el·líptica]]
* [[Funció q-theta]]
* [[Funció theta|Funció theta de Jacobi]]
* [[Identitats de Rogers-Ramanujan]]
* [[q-derivada]]
* [[q-identitat de Vandermonde]]
* [[Sèrie hipergeomètrica bàsica]]
* [[Símbol de Pochhammer]]
* [[Teorema del nombre pentagonal]]
{{Div col end}}

==External links==
* {{MathWorld|urlname=q-Analog|title=''q''-Analog}}
* {{MathWorld|urlname=q-Bracket|title=''q''-Bracket}}
* {{MathWorld|urlname=q-Factorial|title=''q''-Factorial}}
* {{MathWorld|urlname=q-Factorial|title=''q''-Series}}
* {{MathWorld|urlname=q-BinomialCoefficient|title=''q''-Binomial Coefficient}}
{{autoritat}}
[[Categoria:Q-anàlegs]]
[[Categoria:Teoria de nombres]]