Mostra la font per a Teorema de Pitàgores

[[Fitxer:Pythagorean proof.png|miniatura|Demostració geomètrica del teorema de Pitàgores: a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup>]]
El '''teorema de [[Pitàgores]]''', en el seu enunciat habitual, estableix que en un [[triangle rectangle]] la suma dels [[Quadrat (Potència)|quadrats]] dels [[catet]]s (els costats que formen l'[[angle recte]]) és igual al quadrat de la [[hipotenusa]] (l'altre costat).<ref> [http://www.euclides.org/menu/elements_cat/01/proposicionsllibre1.htm#Proposici%C3%B3%2047 Proposició 47] del llibre I dels [[Elements d'Euclides]].</ref> 

El recíproc també es compleix, és a dir: en un triangle, si la suma dels quadrats de les longituds dels costats més curts és igual al quadrat de la longitud del costat més llarg, llavors l'angle comprès entre els dos costats més curts és un angle recte.<ref>[http://www.euclides.org/menu/elements_cat/01/proposicionsllibre1.htm#Proposici%C3%B3%2048 Proposició 48] del llibre I dels ''Elements'' d'Euclides.</ref>

El teorema es pot escriure com una equació que relaciona les longituds dels costats ''a'', ''b'', i ''c'', sovint anomenada l''''equació de Pitàgores''':<ref name=Sally0>{{ref-llibre |títol=Roots to research: a vertical development of mathematical problems |autor=Judith D. Sally, Paul Sally |pàgines=63 |capítol=Chapter 3: Pythagorean triples |url=http://books.google.cat/books?id=nHxBw-WlECUC&pg=PA63|isbn=0821844032 |any=2007 |editorial=American Mathematical Society Bookstore}}</ref>
:<math>a^2 + b^2 = c^2\!\,</math>
on ''c'' representa la longitud de la hipotenusa, i ''a'' i ''b'' representen les longituds dels altres dos costats.

El teorema de Pitàgores deu el nom al matemàtic grec [[Pitàgores]], al que segons la tradició se li atribueix el seu descobriment i la demostració,<ref name=Allman2>{{ref-llibre |títol=Greek Geometry from Thales to Euclid |autor=[[George Johnston Allman]] |pàgines=26 |url=http://books.google.cat/?id=-gYCAAAAYAAJ&pg=PA26 |editorial=Hodges, Figgis, & Co |any=1889 |citació=The discovery of the law of three squares, commonly called the "theorem of Pythagoras" is attributed to him by&nbsp;– amongst others&nbsp;– Vitruvius, Diogenes Laertius, Proclus, and Plutarch ... |edició=Reprinted by Kessinger Publishing LLC 2005 |isbn=143260662X}}
</ref><ref name="heath144">{{Harv|Heath|1921|loc= Vol I, p. 144}}</ref> encara que sovint s'argumenta que el coneixement del teorema era ja anterior. Hi ha proves que els matemàtics [[babiloni]]s coneixien la fórmula, encara que ens ha arribat molt poca informació sobre l'ús que en feien.<ref name=Neugebauer>{{ref-llibre |títol=The exact sciences in antiquity |pàgines=36 |url=http://books.google.cat/?id=JVhTtVA2zr8C&pg=PA36|autor=Otto Neugebauer |isbn=0486223329 |any=1969 |edició=Republication of 1957 Brown University Press 2nd |editorial=Courier Dover Publications}}. Per a un punt de vista alternatiu vegeu {{ref-llibre |autor=Dick Teresi |pàgines =52 |títol=Lost Discoveries: The Ancient Roots of Modern Science |url=http://books.google.cat/?id=pheL_ubbXD0C&pg=PA52 |isbn=074324379X |any=2003 |editorial=Simon and Schuster}}, on l'especulació es basa en el fet que en la primera columna de la tauleta 322 de la col·lecció Plimpton es troba el suport al coneixement de Babilònia d'alguns elements de la [[trigonometria]]. Aquesta noció és gairebé rebutjada per {{ref-publicació |autor=Eleanor Robson |article=Words and Pictures: New Light on Plimpton 322 |any=2002 |doi= 10.2307/2695324|jstor=2695324 |publicació=The American Mathematical Monthly |volum=109 |exemplar=2 |pàgines=105–120 |editorial=Mathematical Association of America |ref=harv}} Vegeu també [http://www.dma.ulpgc.es/profesores/pacheco/Robson.pdf]{{pdf}}. Sota el coneixement que es té en l'actualitat s'accepta que els babilonis no tenien consciència de les funcions trigonomètriques. Vegeu {{cite arxiv |title=The Plimpton 322 Tablet and the Babylonian Method of Generating Pythagorean Triples |author=Abdulrahman A. Abdulaziz |year=2010 |eprint=1004.0025 |ref=harv }} §2, pàg. 7.</ref><ref name=Livio>{{ref-llibre |títol=The golden ratio: the story of phi, the world's most astonishing number |autor= Mario Livio |pàgines=25 |url=http://books.google.cat/?id=bUARfgWRH14C&pg=PA25 |isbn=0767908163 |editorial=Random House, Inc |any=2003 }}
</ref>

El teorema es refereix tant a les àrees com a les longituds, o pot dir-se que a les dues àrees i a les interpretacions mètriques.<ref name=Dantzig>{{ref-llibre |títol=The bequest of the Greeks |autor=Tobias Dantzig |any=1955 |pàgines=97 |editorial=Charles Scribner's Sons |url=http://books.google.cat/?id=nSg4AAAAMAAJ&cd=1&dq=bibliogroup%3A%22Mathematics+in+retrospect%22&q=not+as+a+metric#search_anchor}}</ref><ref>{{Harv|Maor|2007|p=39}}</ref> Algunes demostracions del teorema es basen en una interpretació, algunes sobre l'altra, utilitzant tècniques algebraiques i geomètriques.<ref name=Allman>{{ref-llibre |títol=The Encyclopaedia Britannica: A Dictionary of Arts, Sciences, and General Literature, Volume 20 |editorial=H.G. Allen |editor=Thomas Spencer Baynes |url=http://books.google.cat/books?id=C84MAAAAYAAJ&pg=PA142 |pàgines=142 |autor=GJ Allman |any=1888 |edició=9th}}</ref> El teorema pot ser generalitzat de diverses maneres, incloent espais de dimensió superior, als espais no euclidians, als objectes que no són triangles rectangles i, de fet, als objectes que no són en tots els triangles, però són ''n''-dimensionals sòlids. El teorema de Pitàgores ha despertat l'interès fora de les matemàtiques com un símbol de l'[[hermetisme]] de les [[matemàtiques]], de la [[mística]], o el poder intel·lectual; referències en la [[literatura]] popular, obres de [[teatre]], abunden els [[música|musical]]s, cançons, segells i en els [[dibuixos animats]].

== Història ==

=== Orígens ===
[[Fitxer:Plimpton_322.jpg|miniatura|La tauleta Plimpton 322.]]

Els rastres més antics de la relació entre les longituds dels costats d'un triangle rectangle un matemàtic considerà erròniament que es troben en la inscripció de [[Terna pitagòrica|ternes pitagòriques]]. Es tracta de ternes de [[nombre natural|nombres naturals]] {{nobr|(''a'', ''b'', ''c'')}} que satisfan la relació ''a''<sup>2</sup>+''b''<sup>2</sup>=''c''<sup>2</sup>, referint-se a tauletes [[Babilònia|babilònies]], sobretot a la tauleta [[Plimpton 322]] datada del XVIII Ac, o sigui més de 1000 anys abans de [[Pitàgores]].<ref>{{ref-web|cognom=Villatoro|nom=Francisco R.|url=http://francis.naukas.com/2017/09/07/el-significado-matematico-de-la-tablilla-babilonica-plimpton-322/|consulta=17 setembre 2017|títol=El significado matemático de la tablilla babilónica Plimpton 322|obra=La Ciencia de la Mula Francis|editor=Naukas}}</ref><ref>{{ref-notícia|cognom=Domínguez|nom=Nuño|títol=Solucionado un enigma matemático de 3.700 años|publicació=El País|url=https://elpais.com/elpais/2017/08/24/ciencia/1503599508_412430.html?id_externo_rsoc=TW_CM|consulta=30 agost 2017|data=25 agost 2017}}</ref> Alguns pretenen fins i tot trobar-ne a [[megàlit|megàlits]] datats del segle XXV Ac a la [[Gran Bretanya]].<ref>El matemàtic [[Van der Waerden]] [http://books.google.fr/books?id=sFpElpZrbSgC&pg=Pa56#v=onepage&q&f=false] i l'enginyer [[Alexander Thom]] [http://books.google.fr/books?id=jkOcbznvUs4C&pg=Pa58#v=onepage&q&f=false] haurien descobert triplets pitagòrics sobre llocs megalítics a la Gran Bretanya i a Carnac, però les seves anàlisis són discutides per Kaveing i Keller [http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/Img/pdf/Keller_prehistoire_geometrie.pdf]. </ref>

Entre aquests triplets, el més petit és 3-4-5. Correspon a les dimensions d'un triangle rectangle del qual [[Plutarc de Queronea|Plutarc]] conjectura una interpretació simbòlica des de l'[[Antic Egipte]].<ref>Veure [http://books.google.fr/books?id=yd0Taaaaqaaj&pg=333#v=onepage&q&f=false el text de Plutarc] i els treballs de Jean Philippe Lauer relatats a [http://books.google.fr/books?id=k6jxR1oZw1cC&pg=Pa42#v=onepage&q&f=false ''La geometria egípcia'' ] de Théophile Obenga. </ref> Aquest triangle es pot formar amb l'ajuda d'una corda de tretze nusos que romandria una de les eines dels geòmetres fins al final de l'[[Edat mitjana]].<ref>André Demailly atribueix ja aquesta competència als agrimensors egipcis en [http://books.google.fr/books?id=12Qb-BjYrskC&pg=Pa205#v=onepage&q&f=false ''Herbert Simon i les ciències de disseny'' ]. És fins i tot així com Thomas Henri Martin imagina la difusió d'aquest saber als grecs i als Xinesos en [http://books.google.fr/books?id=RsDmAaaamaaj&pg=Pa27#v=onepage&q&f=false ''Els signes numerals als pobles de l'Antiguitat i de l'Edat Mitjana''].</ref>

Però d'una banda, la utilització d'aquesta corda amb nusos no indica per força el coneixement del fet que l'angle format és matemàticament un angle recte; d'altra banda l'inventari de triplets pitagòrics ha pogut ser trobat en un marc aritmètic fora del context geomètric. Finalment, perquè la conjectura s'erigeixi en teorema, cal que la relació sigui [[demostració matemàtica|demostrada]], i no només en alguns casos particulars.

=== Formulacions ===
El teorema, acompanyat d'una demostració, apareix al començament del segle III en els ''[[Elements d'Euclides|Elements]]'' d'[[Euclides]] (proposició XLVII) amb la següent forma:

<Blockquote> «En els triangles rectangles el quadrat del costat oposat a l'angle recte és igual a la suma dels quadrats dels costats que comprenen a l'angle recte.»</blockquote>

El seu recíproc és la proposició XLVIII: 
<blockquote> «Si en un triangle el quadrat d'un dels costats és igual a la suma dels quadrats dels dos costats restants, aleshores l'angle comprès pels dos costats restants del triangle és recte.»</blockquote> 

[[Fitxer:Kapitolinischer Pythagoras.jpg|miniatura|esquerra|alt=Fotografia d'un bust de Pitàgores|[[Pitàgores]]]]

Els comentaris de [[Procle]] (al voltant de l'any [[400]]) semblen indicar que Euclides no hauria fet més que transcriure una demostració més antiga que Procle atribueix a [[Pitàgores]]. Tanmateix, les proves històriques de la vida de Pitàgores són tan rares que no se li pot atribuir amb certesa la paRomeo anditat d'aquesta demostració.

Paral·lelament al desenvolupament de les matemàtiques gregues, el teorema appareix a la [[Xina]] en el ''Zhoubi suanjing'' («El Gnòmon dels Zhou»), una de les obres matemàtiques xineses més antigues. Aquest últim, escriu probablement durant la [[dinastia Han]] ( -206 a 220), reagrupa tècniques de càlcul que daten de la [[dinastia Zhou]] segle X Ac al 256 Ac. El teorema o procediment s'enuncia de la manera següent: 

<Blockquote> «Reunint l'àrea (''mi'') de la base (''gou'') i l'àrea de l'alçada (''gu'') s'engendra l'àrea de la hipotenusa. »</blockquote>

Però la qüestió és saber si aquest teorema o procediment és proveït o no d'una demostració. Sobre aquest punt hi ha divisió d'opinions<sup>{{harv|Chemla|Shuchun||p=681}}</sup>. El teorema, sota el nom de ''Gougu'' (a partir de les paraules «base» i «altitud»), és reprès en el ''Jiuzhang suanshu'' (''[[Els nou capítols de les arts matemàtiques]]'' (九章算术) -100 a 50), amb una demostració, utilitzant una partició i una reconstitució, que no s'assembla en res a la d'Euclides i que prova l'originalitat del camí xinès. 

A l'[[Índia]], cap al 300 aC, es troba el rastre d'una demostració ''numèrica'' de la propietat (prova efectuada sobre nombres particulars però qui es pot generalitzar fàcilment).

Més tard s'han inventat moltes altres, utilitzant eines matemàtiques variades. [[Leonardo da Vinci]] i fins i tot el president americà [[James Abram Garfield|James Garfield]] n'han proposat.

=== Conseqüències ===
El teorema de Pitàgores podria haver estat a l'origen de la nocions de grandàries [[incommensurables]], premissa dels nombres [[nombre irracional|irracionals]]. En efecte, demostra<ref>La incommensurabilitat del costat i de la diagonal del quadrat es pot tanmateix demostrar sense recórrer al teorema de Pitàgores.</ref> que un quadrat del qual el costat serveix d'unitat té una diagonal amb una longitud el quadrat de la qual val 2. Ara bé cap [[fracció]] de [[nombre natural|nombres naturals]] no té quadrat igual a 2. La construcció geomètrica d'una relació «privada de raó» anava en contra de la visió del món de l'[[pitagòrics|escola pitagòrica]].<ref>Entrada «Irracional» § {{III}} b a {{harv|Baruk|1992}}</ref>

[[Fitxer:Pierre de Fermat.jpg|miniatura|upright=0.5|alt=Retrat de Pierre de Fermat, pintat al segle XVII.|[[Pierre de Fermat]], inspirat pel problema dels triplets pitagòrics.]]

La recerca exhaustiva dels triplets pitagòrics, motivada per la construcció de triangles rectangles les longituds dels costat dels quals són commensurables, s'ha constituït plenament en un problema [[aritmètica|aritmètic]]. Obre la porta a la recerca de triplets que satisfan una equació més general: {{ nobr|<Math>a^n + b^n = c^n</math>}}, on l'exponent <math>n</math> és un enter superior a 2. L'absència de solució quan l'exponent és superior o igual a 3 és la [[darrer teorema de Fermat|conjectura de Fermat]], que no va ser definitivament demostrada fins a més de tres segles més tard per [[Andrew Wiles]].

Finalment, s'ha demostrat que el teorema de Pitàgores és equivalent a l'[[cinquè postulat d'Euclides|axioma de les paral·leles]].<ref>(en anglès) {{Ref-web|títol=The Pythagorean Theorem is Equivalent to the Parallel Postulate|url=http://www.cut-the-knot.org/triangle/pythpar/PTimpliesPP.shtml|autor=Scott E. Brodie|editor=Cut-the-Knot}} </ref>

=== Validació física ===

El teorema de Pitàgores en derivar-se dels [[axioma|axiomes]] de la [[geometria euclidiana]], la seva validesa al món real s'ha pogut posar en qüestió amb el caràcter no euclidià de l'espai físic. El matemàtic [[Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauss]], va considerar aquesta hipòtesi prop d'un segle abans del naixement de la [[relativitat general|teoria de la relativitat general]], segons una llegenda.<ref>. Veure [http://books.google.fr/books?id=G8Pe1fitymUc&pg=Pa40#v=onepage&q&f=false ''Renaixement de la geometria no euclidiana entre 1860 i 1900''], per Jean-Daniel Voelke, pàgina 40 i següents; Gauss declara explícitament que només mesures sobre distàncies «immensament superiors al radi de la Terra» permetrien tal comprovació.</ref> hauria mesurat els angles d'un triangle format per tres ciutats de la regió de Hannover per tal de verificar si la suma dels seus angles constituís efectivament un [[angle|angle pla]].

== Altres formes ==

Com s'assenyala en la introducció, si ''c'' denota la longitud de la hipotenusa i ''a'' i ''b'' denoten les longituds dels altres dos costats, el teorema de Pitàgores es pot expressar com l'equació de Pitàgores:
: <math>a^2 + b^2 = c^2\, </math>

Si la longitud de ''a'' i ''b'' són conegudes, llavors ''c'' es pot calcular de la següent manera:
: <math> c = \sqrt{a^2 + b^2}. \,</math>

Si la longitud de ''c'' i una cama (''a'' o ''b'') són coneguts, la longitud de l'altra cama es pot calcular amb les següents equacions:
: <math>a = \sqrt{c^2 - b^2}. \,</math>

o
: <math>b = \sqrt{c^2 - a^2}. \,</math>

L'equació de Pitàgores estableix una relació simple entre els tres costats d'un triangle rectangle de manera que, si es coneix la longitud de qualsevol dels dos costats, llavors es pot trobar la longitud del tercer costat. Una generalització d'aquest teorema és la [[Teorema del cosinus|llei dels cosinus]], que permet el càlcul de la longitud del tercer costat de qualsevol triangle, tenint en compte les longituds de dos costats i la mida de l'angle entre ells. Si l'angle entre els costats és un angle recte, el teorema del cosinus es redueix a l'equació de Pitàgores.

== Demostracions ==
Aquest teorema pot arribar a tenir més demostracions conegudes que qualsevol altre (la [[llei de reciprocitat quadràtica]] pot ser un altre candidat per a aquesta distinció). El llibre ''La proposició de Pitàgores'' conté 370 demostracions.<ref>{{Harv|Loomis|1968}}</ref>

=== Per sostracció d'àrees d'un mateix quadrat ===
[[Fitxer:Rtriangle.svg|miniatura|Triangle rectangle]]
[[Fitxer:Puzzle proof.svg|miniatura|Demostració del Teorema de Pitàgores]]
Suposant el triangle de catets ''a'' i ''b'' (formant un [[angle recte]]) i la hipotenusa ''c'', es tracta de demostrar que l'àrea del [[quadrat (polígon)|quadrat]] de costat ''c'' és igual a la suma de les àrees dels quadrats de costat ''a'' i costat ''b''.

Si s'afegeixen tres triangles iguals a l'original al voltant del quadrat de costat ''c'' formant la figura mostrada en la imatge, s'obté un quadrat. En efecte, si la figura central de costat ''c'' primerament dibuixada és un quadrat, els seus costats formaran angles rectes, llavors, si es gira el triangle original 90 graus al voltant del centre del quadrat, vindrà a ocupar un posició perpendicular a l'original, de mode tal que el costat ''a'' serà col·lineal al costat ''b'' i viceversa, formant-se un quadrat de costat ''a+b''.

L'àrea d'aquest quadrat pot expressar-se de dues maneres:
* El quadrat del costat:
:A = (a+b)<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> + 2·a·b + b<sup>2</sup>

* Suma del quadrat original i els triangles afegits:
:A = c<sup>2</sup> + 4·(a·b/2) = c<sup>2</sup> + 2·a·b

Igualant ambdues expressions:
:a<sup>2</sup> + 2·a·b + b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup> + 2·a·b

equació que expressa la igualtat d'àrees dels dos quadrats del dibuix de la dreta. Sostraient de tots dos l'àrea dels quatre triangles resulta:
:a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup>, com volíem demostrar.

=== Demostració atribuïda a Pitàgores ===

Aquesta prova és la traducció, en llenguatge matemàtic actual, de la ideada pel mateix Pitàgores que va emprar la figura següent: 

Al voltant del triangle ''ABC'', es construeixen tres quadrats: el [[roig]], d'àrea a<sup>2</sup>, el [[blau]] d'àrea b<sup>2</sup>, i el bicolor [[verd]] [[ataronjat]], d'àrea c<sup>2</sup>.

* Els triangles rectangles ''ABC'' i ''HBC'' són '''semblants''' (o similars) perquè comparteixen el mateix angle ''B''. Per tant tenim la igualtat dels quocients: ''BH / BC = BC / BA'', és a dir ''a'/a = a/c'' (hui en dia, es diria que el seu valor és el [[Trigonometria|sinus]] de B).
Pel producte creuat: ''a<sup>2</sup> = a' · c '' (és el que es coneix com a [[teorema del catet]]), o siga que les àrees roja i ataronjada són iguals.

* De la mateixa manera, a partir dels triangles ''ABC'' i ''HAC'' i aplicant de nou el [[teorema del catet]], es dedueix que b'/b = b/c (senet A) i després ''b<sup>2</sup> = b' · c '', o siga que les àrees blaves i verda són iguals.

Sumant les àrees roja i blava, obtenim les àrees ataronjades i verda, és a dir: 
:''a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> = c·a' + c·b' = (a' + b')c = c<sup>2</sup>''

Aquesta prova utilitza el [[teorema de Tales]], un cas particular dels [[triangles semblants]], teorema que només és vàlid en els [[Geometria plana|espais euclidians]] (sense curvatura).

=== Demostració utilitzant triangles semblants ===
[[Fitxer:Pythagoras similar triangles.svg|miniatura|Demostració utilitzant triangles semblants]]
Aquesta demostració es basa en la proporcionalitat dels costats de dos triangles semblants, és a dir, en el fet que la relació de qualsevol dels dos costats corresponents de triangles semblants és el mateix independentment de la grandària dels triangles.

Sigui ''ABC'' un triangle rectangle, amb l'angle recte que es troba a ''C'', com es mostra a la figura. Dibuixem l'altura del punt ''C'', i anomenem ''H'' la seva intersecció amb el costat ''AB''. El punt ''H'' divideix la longitud de la hipotenusa ''c'' en les parts ''d'' i ''e''. El nou triangle ''ACH'' és similar al triangle ''ABC'', perquè tots dos tenen un angle recte (per definició de l'altura), i comparteixen l'angle en ''A'', el que significa que el tercer angle serà el mateix en ambdós triangles, que apareixen marcats com a ''θ'' a la figura. Per un raonament semblant, el triangle ''CBH'' és també similar a ''ABC''. La prova de la similitud dels triangles requereix el postulat del Triangle: la suma dels angles d'un triangle són dos angles rectangles, i és equivalent al [[Cinquè postulat d'Euclides|postulat de les paral·leles]]. La semblança dels triangles porta a la igualtat de les relacions entre els costats corresponents:
:<math> \frac{a}{c}=\frac{e}{a} \mbox{ i } \frac{b}{c}=\frac{d}{b}.\,</math>

El primer resultat es compara el cosinus de cada angle θ i el segon resultat es compara als sinus. Aquestes relacions es poden escriure com a:
:<math>a^2=c\times e \mbox{ i }b^2=c\times d. \,</math>

Sumant aquestes dues igualtats, obtenim
:<math>a^2+b^2=c\times e+c\times d=c\times(d+e)=c^2,\,\!</math>

que, ordenant-ho, tenim el teorema de Pitàgores:
:<math>a^2+b^2=c^2 \ .\,\!</math>

Aquesta és una demostració mètrica en el sentit de Dantzig, que depèn de la longitud i no de l'àrea. El paper d'aquesta demostració en la història és objecte de molta especulació. La qüestió subjacent és la raó per la qual [[Euclides]] no va fer ús d'aquesta prova, però en va inventar un altre. Una conjectura és que la demostració de triangles semblants que participen una teoria de les proporcions, no és un tema discutit fins més tard en els elements, i que la teoria de les proporcions és necessari un major desenvolupament en aquest moment.<ref>{{Harv|Maor|2007| p=39}} [http://books.google.cat/books?id=Z5VoBGy3AoAC&pg=PA39&dq=%22why+did+Euclid+choose+this+particular+proof%22&hl=ca&ei=WckoTLv4JIKknQecwvWoAQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCUQ6AEwAA#v=onepage&q=%22why%20did%20Euclid%20choose%20this%20particular%20proof%22&f=false page 39]</ref><ref name=Hawking>
{{ref-llibre |títol=God created the integers: the mathematical breakthroughs that changed history |autor=Stephen W. Hawking |pàgines=12 |url=http://books.google.cat/?id=3zdFSOS3f4AC&pg=PA12 |isbn=0762419229 |any=2005 |editorial=Running Press Book Publishers |lloc=Philadelphia}}
</ref>

=== La demostració d'Euclides ===
[[Fitxer:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg|miniatura|La demostració en els ''Elements'' d'Euclides]]
A grans trets, així és com apareix la demostració sobre el producte als ''Elements'' d'Euclides. El gran quadrat es divideix en un rectangle a l'esquerra i a la dreta. Un triangle es construeix en la meitat de l'àrea del rectangle de l'esquerra. A continuació, es construeix un altre triangle que té la meitat de la zona del quadrat a l'esquerra. Aquests dos triangles han de ser congruents, el que demostra que aquest quadrat té la mateixa àrea que el rectangle de l'esquerra. Aquest argument és seguit per una versió similar per al rectangle de la dreta i al quadrat restant. Si es posen els dos rectangles junts per reformar el quadrat de la hipotenusa, la seva àrea és igual a la suma de la superfície dels altres dos quadrats. Els detalls apareixen a la figura del costat.

Siguin ''A'', ''B'', ''C'' els vèrtexs d'un triangle rectangle, hi ha un angle recte a ''A''. Generem una perpendicular des de la ''A'' fins al costat oposat de la hipotenusa al quadrat de la hipotenusa. Aquesta línia divideix el quadrat de la hipotenusa en dos rectangles, cadascun amb la mateixa superfície que un dels dos quadrats de les potes.

Per a la demostració formal, es requereixen quatre [[Lema (matemàtiques)|lemes]] elementals:
# Si dos triangles tenen dos costats de la igualtat a dos costats de l'altra, cadascuna a cada un d'ells, i els angles inclosos pels costats iguals, llavors els triangles són congruents (costat-angle-costat).
# L'àrea d'un triangle és la meitat de la superfície de qualsevol paral·lela en la mateixa base i tenen la mateixa altura.
# L'àrea d'un rectangle és igual al producte de dos costats adjacents.
# L'àrea d'un quadrat és igual al producte de dos dels seus costats (d'acord amb el punt 3).

A continuació, cada quadre superior es relaciona amb un triangle congruent amb un altre triangle relacionat al seu torn a un dels dos rectangles que formen el quadrat inferior.<ref>Vegeu, per exemple, Mike May S.J., [http://www.slu.edu/classes/maymk/GeoGebra/Pythagoras.html Pythagorean theorem by shear mapping], Saint Louis University website Java applet</ref>
[[Fitxer:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem2.svg|miniatura|Il·lustració incloent-hi les noves línies]]

La demostració és el següent:
# Que ''ACB'' és un triangle rectangle amb angle recte ''CAB''.
# En cada un dels costats ''AC'', ''AB'' i ''AC'', els quadrats es dibuixen ''CBDE'', ''BAGF'' i ''ACIH'', en aquest ordre. La construcció de quadrats requereix els teoremes d'Euclides immediatament anterior, i depèn del postulat de les paral·leles.<ref name=Gullberg>{{ref-llibre |títol=Mathematics: from the birth of numbers |autor=Jan Gullberg |pàgines=435 |url=http://books.google.cat/books?id=E09fBi9StpQC&pg=PA435 |isbn=039304002X |any=1997 |editorial=W. W. Norton & Company}}</ref>
# Des d'A, traçar una línia paral·lela a ''BD'' i ''CE''. Es tallarà perpendicularment ''BC'' i ''DE'' en ''K'' i ''L'', respectivament.
# Unint ''CF'' i ''AD'', per formar el ''BCF'' triangles i ''BDA''.
# Els angles ''CAB'' i ''BAG'' són caironat, de manera que ''C'', ''A'' i ''G'' estan alineats. De la mateixa manera per a ''B'', ''A'' i ''H''. [[Fitxer:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem3.svg|miniatura|Es mostren els dos triangles congruents de la meitat de l'àrea del rectangle i el quadrat ''BDLK BAGF''.]]
# Els angles ''CBD'' i ''FBA'' són dos caironat, de manera que l'angle ABD és igual a l'angle FBC, ja que ambdós són la suma d'un angle recte i l'angle ''ABC''.
# Com que AB és igual a ''FB'' i ''BD'' és igual a BC, el triangle ABD ha de ser congruent amb el triangle FBC.
# Des AKL és una línia recta, paral·lela a BD, llavors BDLK paral té dues vegades l'àrea del triangle ABD, ja que comparteixen el BD base i tenen la mateixa altura BK, és a dir, una línia normal a la seva base comuna, que connecta les línies paral·leles BD i AL. (Lema 2)
# Com que C és colineal amb A i G, el quadrat BAGF ha de ser el doble de la superfície de triangle FBC.
# Per tant BDLK rectangle ha de tenir el mateix lloc que el quadrat BAGF AB2 =.
# De la mateixa manera, es pot demostrar que CKLE rectangle ha de tenir la mateixa àrea que ACIH quadrats AC2 =.
# La incorporació d'aquests dos resultats, AB2 + AC2 = BD × × BK + KL KC
# Ja que BD = KL, BD * BK + KL × KC = BD (BK + KC) x = BD BC
# Per tant AB2 + AC2 = BC2, ja que CBDE és un quadrat.

Aquesta prova, que apareix en els Elements d'Euclides com el de la Proposició 47 en el llibre 1,<ref>[http://www.perseus.tufts.edu/cgi-bin/ptext?doc=Perseus:text:1999.01.0085:book=1:proposition=47 Elements 1.47] by Euclid. Retrieved 19 December 2006.</ref> demostra que l'àrea del quadrat de la hipotenusa és la suma de les superfícies de les altres dues places.<ref>[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI47.html Euclid's Elements, Book&nbsp;I, Proposition&nbsp;47]: web page version using Java applets from [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html Euclid's Elements] by Prof. David E. Joyce, Clark University</ref> Per tant, un mostreig d'àrees la prova en el sentit de Dantzig, que depèn de les zones, no longituds. Això fa que sigui molt diferent de la prova per semblança de triangles, que es conjectura que és la prova que Pitàgores.<ref name=Hawking/><ref name=Pythagoras>The proof by Pythagoras probably was not a general one, as the theory of proportions was developed only two centuries after Pythagoras; see {{Harv |Maor|2007 |p=25}} [http://books.google.cat/books?id=Z5VoBGy3AoAC&pg=PA25&hl=ca#v=onepage&q&f=false page 25]</ref>

=== Demostració de Bhaskara ===
[[Fitxer:Teorema de Pitágoras.Bhaskara.svg|miniatura|Diagrama de la demostració de Bhaskara.]]

[[Bhaskara II]], el matemàtic i astrònom hindú del segle XII, fa la següent demostració del teorema de Pitàgores. 

El teorema es pot demostrar algebraicament amb quatre còpies d'un triangle rectangle amb costats ''a'', ''b'' i ''c'', disposades dins d'un quadrat de costat c com en la meitat superior del diagrama.<ref name=rotate>{{ref-web|url=http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml#3 |títol=Cut-the-knot.org: Pythagorean theorem and its many proofs, Proof #3 |autor=Alexander Bogomolny |data= |obra=Cut the Knot |editor= |consulta= 4 novembre 2010}}</ref> Els triangles són similars amb àrea de <math>\tfrac12ab</math>, mentre que el petit quadrat té el costat {{nowrap|''b'' − ''a''}} i una àrea de {{nowrap|(''b'' − ''a'')<sup>2</sup>}}. L'àrea del quadrat gran és per tant
:<math>(b-a)^2+4\frac{ab}{2} = (b-a)^2+2ab = a^2+b^2. \, </math>

Però això és un quadrat amb ''c'' laterals i zona ''C''<sup>2</sup>, per la qual cosa
:<math>c^2 = a^2 + b^2. \, </math>

=== Demostració de Garfield ===
[[Fitxer:Garfield Pythagoras.svg|miniatura|120px|Diagrama de la prova de Garfield]]

Una prova similar ala de Bhaskara va ser publicada per James A. Garfield.<ref name=Garfield>Published in a weekly mathematics column: {{ref-publicació |publicació=The New England Journal of Education |volum=3 |pàgina=161 |any=1876 |autor=James A Garfield |ref=harv}} as noted in {{ref-llibre |títol=The mathematical universe: An alphabetical journey through the great proofs, problems, and personalities |url=http://books.google.cat/?id=3tG_FRQ9N1QC&cd=1&dq=%22mathematical+universe%22+inauthor%3AWilliam+inauthor%3ADunham&q=New+England+Journal#search_anchor |autor=William Dunham |any=1997 |editorial=Wiley |isbn=0471176613 |pàgines=96}} and in [http://www.math.usma.edu/people/rickey/hm/Dates/April.pdf A calendar of mathematical dates: April 1, 1876] by V. Frederick Rickey</ref><ref name=animation>[http://math.colgate.edu/faculty/dlantz/pythpfs/garfldpf.html Prof. David Lantz' animation] from his [http://math.colgate.edu/faculty/dlantz/Pythpfs/Pythpfs.html web site of animated proofs]</ref> En lloc d'un quadrat s'utilitza un trapezi, que pot ser construït a partir de la plaça en la segona de les proves dalt per bisectriu al llarg d'una diagonal de la plaça interior, per donar el trapezi com es mostra en el diagrama. L'àrea del trapezi es pot calcular a la meitat de l'àrea del quadrat, és a dir
:<math>\frac{1}{2}(b+a)^2.</math>

La plaça interior és similar a la meitat, i només hi ha dos triangles, perquè aquesta prova que l'anterior excepte per un factor de <math>\frac{1}{2}</math>, que es retira de multiplicar per dos per obtenir el resultat.

=== Demostració de Leonardo da Vinci === 
[[Fitxer:Teorema de Pitágoras.Leonardo da Vinci.svg|framed|<center>El disseny inicial, amb el triangle i els quadrats de catets i hipotenusa, és modificat per Leonardo da Vinci en afegir dos triangles iguals al ABC: el ECF i el HIJ. <center>]] 

Partint del triangle rectangle ABC amb els quadrats de catets i hipotenusa, Leonardo afegeix els triangles ECF i HIJ, iguals al donat, resultant-ne dos [[polígon]]s, les superfícies dels quals va a demostrar que són equivalents: 

# Polígon ADEFGB: la línia DG el divideix en dues meitats idèntiques, ADGB i defg. 
# Polígon ACBHIJ: la línia CI determina CBHI i CIJA. 

Comparant els polígons destacats en gris, ADGB i CIJA: 

* Es veu que tenen tres costats iguals: AD = AC, AB = AJ, BG = BC = IJ 
* Així mateix la igualtat entre els àngles dels següents vèrtexs: 
* A de ADGB i A de CIJA 
* B de ADGB i J de CIJA 

Es conclou que ADGB i CIJA són iguals. 

De manera anàloga es comprova la igualtat entre ADGB i CBHI. 

A més, cal notar que un gir de centre A, i sentit positiu, transforma CIJA en ADGB. Mentre que un gir de centre B i sentit negatiu, transforma CBHI en ADGB. 

Tot això porta que els polígons ADEFGB i ACBHIJ tenen àrees equivalents. Doncs bé, si a cada un se li trauen els seus dos triangles -iguals - les superfícies que resten forçosament seran iguals. I aquestes superfícies no són sinó els dos quadrats dels catets al polígon ADEFGB, d'una banda, i el quadrat de la hipotenusa al polígon ACBHIJ, per l'altra. El teorema de Pitàgores queda demostrat.

== Generalitzacions ==
=== Cas d'un triangle qualsevol ===
[[Fitxer:Triangle_with_notations.png|miniatura|Triangle amb la notació habitual]]
{{Principal|Teorema del cosinus}}
En el cas d'un triangle qualsevol es compleix el [[teorema del cosinus]], i segons la notació del triangle de la imatge adjunta, es compleix que:

<math>
c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma 
</math>

Pel cas concret d'un triangle rectangle, l'angle <math>\gamma</math> val 90°. Com que el cosinus de 90° val zero, l'últim terme de l'equació s'anul·la i s'obté l'expressió del teorema de Pitàgores.

Així doncs, es pot dir que el teorema de Pitàgores és un cas particular del teorema del cosinus per triangles rectangles.
=== Amb altres figures formades sobre els costats ===
[[Fitxer:lunules.png|miniatura|alt=Triangle rectangular amb les lúnules formades sobre els catets.|Propietat de les lúnules]]
Euclides diu als ''Elements'':<ref>[http://www.euclides.org/menu/elements_cat/06/proposicionsllibre6.htm#Proposici%C3%B3%2031 Proposició 31 del llibre VI]</ref>

: <Blockquote>En els triangles rectangles, la figura construïda a partir del costat que subtendeix l'angle recte és igual a les figures semblants i construïdes de manera semblant a partir dels costats que comprenen l'angle recte.</blockquote>

Aplicant aquesta generalització als semi-discs formats sobre cada costat d'un triangle rectangle, se'n desprèn el [[teorema de les dues lúnules]], segons el qual l'àrea del triangle rectangle és igual a la suma de les àrees de les [[lúnules]] dibuixades sobre cada costat de l'angle recte.

El [[Teorema de Clairaut]] és una altra generalització, vàlida sobre un triangle qualsevol, sobre els costats dels quals es construeixen paral·lelograms.

=== En dimensions superiors ===
Es pot concebre la hipotenusa d'un triangle rectangle com la diagonal d'un rectangle, una generalització del teorema en dimensió superior es pot enunciar com segueix:

: En un [[ortòedre]], el quadrat de la gran diagonal és igual a la suma dels quadrats de les dimensions del ortòedre.

Aquest resultat és equivalent al càlcul de la longitud d'un segment a partir de les coordenades cartesianes dels seus extrems en un [[sistema de coordenades cartesianes]]:
:<math>AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}</math>

o en dimensió superior, si <math>A</math> té les coordinades <math>(x_i)</math> i <math>B</math> les coordenades <math>(x'_i)</math>:
:<math>AB = \sqrt{\sum_i(x'_i-x_i)^2}</math>.

Aquesta última fórmula també és vàlida en un [[espai de Hilbert]] de dimensió infinita i porta a la [[Identitat de Parseval]].

El [[teorema de de Gua]] dóna una altra generalització del teorema de Pitàgores en un espai euclidià: si un [[tetràedre]] té totes les seves arestes ortogonals a un vèrtex llavors el quadrat de l'àrea de la cara oposada al vèrtex és la suma dels quadrats de les àrees de les altres tres cares.

=== En geometria no euclidiana ===
El teorema de Pitàgores és equivalent a l'[[cinquè postulat d'Euclides|axioma de les paral·leles]], que es pot redactar així:

{{Teorema|Axioma de les paral·leles|Per un punt hi passa una i només una recta paral·lela a una recta donada.}}

Això significa que, en els [[axioma|axiomes]] de la geometria euclidiana, es pot reemplaçar l'«axioma» de les paral·lels pel « teorema » de Pitàgores sense que els altres resultats de la geometria siguin modificats. L'estatus d'axioma i de teorema d'aquests dos resultats són llavors inversos: el «teorema» de Pitàgores esdevé un axioma (una veritat de base, indemostrable, en la qual es recolza la teoria) i l'« axioma » de les paral·lels esdevé un teorema, que pot ser demostrat amb l'ajuda de l'axioma de Pitàgores.

En altres geometries, l'axioma de les paral·leles és reemplaçat per un altre, i el teorema de Pitàgores ja no es compleix. 

[[Fitxer:Triangle trirectangle.png|miniatura|alt=Triangle format per tres circumferències màximes a la superfície d'una esfera, tallant-se dos a dos en angle recte.|Triangle trirectangle a la superfície d'una esfera, per al qual la relació del teorema de Pitàgores no s'aplica.]]

En [[geometria esfèrica]], si un triangle està format per tres [[circumferència|arcs]] de [[cercle màxim|circumferències màximes]] a la superfície d'una [[esfera]] de radi <math>R</math> i si dos d'aquests arcs es creuen en angle recte, la relació del teorema de Pitàgores ja no és vàlida, com en el cas del [[triangle equilàter trirectangle]]. S'ha de substituir per la fórmula:
:<math> \cos \left(\dfrac{c}{R}\right) = \cos \left(\dfrac{a}{R}\right)\,\cos \left(\dfrac{b}{R}\right)</math>

on <math>c</math> és la longitud de l'arc oposat a l'angle recte.

Hi ha una relació similar en [[geometria hiperbòlica]] per a una curvatura constant igual a −1:
:<math> \mathrm{ch} \left(\dfrac{c}{R}\right) = \mathrm{ch}\left(\dfrac{a}{R}\right)\,\mathrm{ch}\left(\dfrac{b}{R}\right)</math>

on ''ch'' designa la funció [[cosinus hiperbòlic]].

En els dos casos, un [[desenvolupament limitat]] d'ordre 2 dóna, per a triangles de petita dimensió, la relació del teorema de Pitàgores en geometria plana.

De forma més general, la propietat resisteix malament a ser transferida a [[geometria no euclidiana|altres geometries]] a causa de la seva [[curvatura]]:
* si la curvatura és positiva: <Math>c^2 < a^2 + b^2</math>;
* si la curvatura és negativa: <Math>c^2 > a^2 + b^2</math>; 
* si la curvatura és nul·la: <Math>c^2 = a^2 + b^2</math>.

En el marc de la [[relativitat general]], l'espai euclidià és reemplaçat per un espai corb on els segments són reemplaçats per geodèsiques.

La teoria de la [[relativitat general]] sosté que la [[matèria]] i l'[[energia]] condueixen l'[[espai]] a ser no-euclidià i el teorema no s'aplica doncs estrictament en presència d'energia. Tanmateix, la desviació respecte a l'espai euclidià és feble excepte amb imponents fonts gravitacionals com els [[forat negre|forats negres]]. Determinar si el teorema s'infringeix sobre escales cosmològiques importants, és a dir mesurar la [[curvatura de l'univers]], és un problema obert de la [[cosmologia]].

== Altres conceptes relacionats ==

Les [[Terna pitagòrica|ternes pitagòriques]] són conjunts de tres [[nombre natural|nombres sencers positius]] que satisfan el teorema de Pitàgores: la suma dels quadrats dels dos primers és igual al quadrat de l'últim. Exemples de ternes pitagòriques són
:{3, 4, 5}
:{5, 12, 13}
:{8, 15, 17}

La no existència de cap terna per a qualsevol exponent natural més gran que el quadrat, és el [[Teorema de Fermat]].

Les ternes pitagòriques van ser utilitzades profusament pels egipcis en les seves construccions. Els triangles formats amb ternes pitagòriques eren de fàcil construcció, i permetien dibuixar angles rectes només utilitzant nombres naturals. Es per això que als triangles formats per ternes pitagòriques se'ls anomena '''triangles egipcis'''.

== Referències ==
{{Referències}}

== Enllaços externs ==
{{commonscat}}
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml Pythagorean Theorem] (més de 70 demostracions a ''cut-the-knot'')
* Enllaços interactius:
** [http://www.sunsite.ubc.ca/LivingMathematics/V001N01/UBCExamples/Pythagoras/pythagoras.html Demostració interactiva] en llenguatge [[Java (llenguatge de programació)|Java]] del Teorema de Pitàgores.
** [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Perigal.shtml Una altra demostració interactiva] en llenguatge [[Java (llenguatge de programació)|Java]] del Teorema de Pitàgores.
** [http://www.mathopenref.com/pythagorastheorem.html del Teorema de Pitàgores] amb una animació interactiva.
** [http://math.ucr.edu/~jdp/Relativity/Pythagorus.html Animació no algebraica] del Teorema de Pitàgores.
* [http://www.gogeometry.com/pythagoras/right_triangle_formulas_facts.htm Fórmules del Teorema de Pitàgores i de triangles rectangles].
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PrintHT/Babylonian_Pythagoras.html ''History topic: Pythagoras's theorem in Babylonian mathematics''].

{{Triangle}}
{{Trigonometria}} 
{{1000 Ciència}}
{{Autoritat}}

{{ORDENA:Teorema De Pitagores}}	<!--ORDENA generat per bot-->
[[Categoria:Triangle|Pitagores]]
[[Categoria:Teoremes de geometria|Pitagores]]